小学数学中主要的数学模型.pdf
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1、强鬻中国教师研修网小学数学中主要的数学模型1永未4翁中国教师所修网一、对数学模型的认识数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界 事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。在义务教育阶段,用字母、数字及其他数学符号表达 的数学的代数式、关系式、方程、函数、不等式及各种 图表、图形等都是数学模型。数学模型思想是基本的数学思想之一,数学模型的主 要表现形式是数学符号表达式和图表、图形,因而它与 符号化方法有很多相似之处。袁绪由国教师研修网二、数学模型的重要性数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较 广泛的应用;因而,模型方法在数学方法中有非常重要 的地位。如果说符号化方法更注重数学抽象
2、和符号表达,那么模型思想更注重数学的应用,即通过数学结构化解 决问题,尤其是现实中的各种问题;当然,把现实情境 数学结构化的过程也是一个抽象的过程。我玲中国教师研修网.33 mJ心 2n.on2011版课标与原课标相比有了较大变化,在课程内 容的十大核心概念中是唯一以“思想”出现的,并具体 解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与 外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号 建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系 和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。这些内容 的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的 兴趣和应
3、用意识”。模型思想是数学的基本思想之一。中国教师研修网2011版课标在总目标中指出:经历数与代数的抽象、运算与建模等过程,掌握数 与代数的基础知识和基本技能。总之,培养学生的模型思想,有利于培养学生发现 问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。当学 生理解并掌握了各种基本的数学模型后,面对变化多 端的数学问题时,可以利用已有的模型求解,把握数 学的本质,而不至于被各种杂乱的表面信息所迷惑。盘跨中国教师研修网三、模型思想的教学1,使学生经历“问题情境建立模型求解验 证”的数学活动过程。体现了标准2011中模型思想的基本要求,也 有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能,积 累数学活动经验,感
4、悟模型思想的本质。这个过程与问题解决的过程有相似之处。an第K章 关于课程标准(2011年版)中的10个核心概念的基本要求也有利于学生在活动过程中理解、掌握有关知识、技 a上警:动经验感悟模型思想的本质。这-过程更有利于学生去发%提 出、分析、解决问题,培养创新意识。上述活动过程完全可以结合相关课程内容有机进行。比如,关于方程的教学,过 去找心是从概念到概念,强调的是方程定义、类型、解法、同解性讨论等比较“纯粹”的知识、技能,而现在我们可以让学生从丰富多样的现实具体问题中,抽象出“方 程”这个模型,从而求解具体问题。其过程如下(图6-12):图6 123.通过数学建模改善学习方式中国教师潮修网
5、2.重视对数学模型的解构、表征和变式。“建立数学模型应该是提取加还原的过程1 也就是 说在让学生经历建模的过程后,还要注重模型的多种 表征形式,包括模型的还原、生活化。这样有利于培 养学生建模的能力。如用方程解决问题就是一个建模 的过程。陈千举老师方程一课体现了这一理念。口吴正宪、张秋爽对数学核心概念的思考,2012 年课程教材教法增刊。修中国教师硼修网3.数学建模能力的培养是一个长期的过程。低年级学生的基础知识目标达到的水平、语言理 解水平、思维水平、生活经验等各方面因素都决定 了学生的建模能力培养的艰巨性、长期性。低年级的数学模型主要是应用加、减、乘、除及混合运算解决简单的实际问题,重点是
6、让学生理解和掌握四则运算的概念,这是培养学生模型思想的基础。传统上,应用题按类型进行教学,让学生死记硬背一些关键词和公式。这样做的结果是没有抓住问题的核心,没有真正培养分析问题、解决问题的能 力,及抽象思维能力。中国教师宏修网长期以来,我国的基础数学教育有一个重视训练技 能的传统,这是对的。但是一定要建立在基础知识扎 实的基础上,这是最重要的。磨刀不误砍柴工,在基础知识扎实基础上的技能训 练能够事半功倍;否则反之,有些老师进行题海训练 但成绩不理想,道理就在于此。基础知识包括:概念、法则、性质、定律、公式等。要让学生达到:了解 f理解 一掌握 一运用的水 平。再让学生经历、体验、探索数学模型构
7、建的过程。修中国教师硼修网以加法为例,学生对加法的理解有一个逐步抽象概 括的过程。加法的情境和题型非常丰富,从开始的两个数相加,3+1=4加号读作:3加1等于4。其卷中国教师研修网用6、7的加法解决问题,?只jS中国教师场修网10以内的连加,3个数相加(连加连减畲5+2+1=81-1中国教师研修网加数加数 1 被位数减数 1(9加几 9+4l心之:餐得、F j 人共有13盒睡瘴中国教师研修网“仇!23 5JXCI 心 C3JJ E=先放进1盒凑成1。.(10 加 3 得 13。)O 9+4=13上,1 3逑二/_X(你是怎样算的?)打破了加法是 熟悉情境的传 统。需要从加 法的概念入手,去理解
8、用加法 计算的道理。原来有多少个中?原来有个乡.一下:同数相加 的加法3个同学一起折小星星,每人折了 6个。佳佳,他们一共折了多少个小星星?小芳6+6+6=18(个)(检查一下解答过程口答:他们一共折了个小星星。二上:求比一个数多 几的数。二年级卫生评比(1)一班得了 12面小红旗,二班比一班多得3面。二班得了多少面?一班得了 12面,T 红旗,二班比一T多得了口面。,要求二班了多少面。把知道的先画出来Jr在 rrrrrrrrrrrr7 sp 二班 r r r/2面一看就知道求二班的 小红旗要用加法计算。12+3=15(面)15减12等于3,二 班确实比一班多得 了 3面,解答正确。口答:二班
9、得了|一|面。二上:连续两问的 问题。美术兴趣小组有14名女生,男生比女生少5人。男生 有多少人?美术兴趣小组一共有多少人?有名女生,男生 比女生少5人。要解决两个问题.第一个是求美术小组一共有、多少人,就要用男/男生的人数我会求。)辱男生人数:I 牛、生人数加女生人数美术兴趣小组建;q十什二(人)口答:男生有II人,美术兴趣小组一共有口人。二上:多个数相加。1.乘法的初步认识(2)小火车里共有多少人?(3)过山车里共有多少人?这种加数相同的加法,还可以用乘法表示。中国教师研修网案例1:二年级1班男生有26人,女生有29人。二年级1班一共有多少学生?案例2:二年级1班男生有26人,女生比男生多
10、3人。二年级1班有多少女生?案例3:二年级1班男生有26人,男生比女生少3人。二年级1班有多少女生?第3题传统上是反叙的应用题,难度较大,低年级 不再编排。同时说明有部分学生对加法的概念还没有 达到理解和掌握的水平。实际上即使用方程解决此类问题,也需要学生理解“男生比女生少3人”这句话,才能正确列出方程。中国教师研修网需要学生理解各种生活语言,不仅仅是看到一共用 加法,如前面案例,再转化为数学语言:a+b+c+.=最后抽象概括出“把若干个数合并成一个数的运算,就是加法”。盘跨中国教师研修网再比如等式的性质,如何做到真正理解和掌握。等式的性质1 b r等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等
11、等式的性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,左右两边仍然相等有些老师会问形如ax=b,a+x=方程如何解。说明对等式的性质还没有完全理解和掌握,等式的性 质中说的数可以是已知数,也可以是未知数。中国教师研修网4.数学建模可分为以下几个层次。第一,学生可以经历构建模型的探索过程。现实生活中已有的数学模型基本上是数学家、物理 学家等科学家们把数学应用于各个科学领域经过艰辛 的研究创造出来的,使得我们能够享受现有的成果。如阿基米德发现了杠杆定律:平衡的杠杆,物体到 杠杆支点的距离之比,等于两个物体质量的反比,即 F1:F2=L2:L1o在学习了反比例关系以后,可 以利用简单的学具进行操作
12、实验,探索杠杆定律。再如各种图形的周长、面积、体积公式的探索,运 算定律的探索等等。中国教师研修网“*35 川切 心 3入sn第二,有些数学模型,由学生进行探索是有难度的。如物体运动的路程、时间和速度的关系为s=vt,利用 这个基本模型可以解决各种有关匀速运动的简单的实际 问题。但是由于这个模型比较抽象,不适合学生进行探 索。教师只需要通过现实模拟或者动画模拟,使学生能 够理解模型的意义便可。再如反比例关系等,让学生进 行实验探究也是有难度的,可借助表格的数据让学生发 现规律,理解概念。小国教师研修网第三,应用已经掌握的模型解决问题。前面两条说的是新知识的学习,第3条说的是学生学 习了教材上的
13、各种基本模型以后,利用已有知识解决 新的更加复杂的各种问题,能够举一反三。如方程、正比例、反比例、植树问题、鸡兔同笼、找次品、抽 屉原理等。中国教师研修网以植树问题为例,可以封闭圆圈植树为核心模型,演变出其他模型。点与间隔一一对应,长度+间隔=棵数。再根据实 际情况演变出其他模型。一端栽一端不栽:长度+间隔=棵数两端都栽:长度+间隔+1=棵数两端都不栽:长度+间隔一1=棵数盘跨中国教师研修网U!I、小学数学中主要的数学模型(一)数与代数1.用数字和图形表示有规律的数列或图形。岂若中国教师研修网一下,找规律3(1)找规律,填数。(2)5 10 15 20 25+5+5+5+()24 20 16
14、12 8I 4|%-*:*-K说一说你发现的规律。/跨中国教师研修网找规律,填数。1,6,11,16,21,.o这列数中小于100的最大数是,第n项是y=5n+l,96o一个一个地加是算术思维,建模是代数思维。低年 级让学生感受、了解数学模型,在高年级,注意从算 术思维到代数思维的过渡,培养代数思维。2.数的运算。中国教师研修网a+b=c,ca=b,cb=a,aXb=c(a#0,b#0),c4-a=b,c4-b=a四则运算关系式是小学数学最基本的数学模型,其 他很多模型都是在此基础上的进一步发展。运算律的探 索过程也是建 模的过程。加法交换律:a+b=b+a加法结合律:a+b+c=a+(b+c
15、)乘法交换律:ab=ba乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac叁汽中国教师研修网*33 皿3.sorn 上门3.数量关系式。时间、速度和路程:s=vt数量、单价和总价:a=np工效义时间=工作总量单产义面积=总产耗油量/千米X千米数=总耗油量消耗量/天义天数=总消耗量合格率=合格产品数+产品总数X 100%发芽率=发芽种子数+种子总数X 100%出勤率=实际出勤人数+应出勤人数X 100%中国教师院修网以上数量关系式的变式也很重要,可以培养学生的 逻辑思维和辩证思维能力。速度一定:路程/时间=定值单价一定:总价/数量=定值工效一定:工作总量/时间=定值单产一定:
16、总产/面积=定值耗油量/千米一定:总耗油量/千米数=定值中国教师斫修网*33xJlcJ心,snF面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹 配,包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较,现在有问题串,这些都是很好的做法和经验,是知识 结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题 为核心,构建问题链,可以是网状结构,从而最大限 度地整合丰富多彩的问题。/转中国教师研修网wash J 3.conrsn以$=丫1为例,模型结构图如下,a是常数。请老师 自己编题。市国教师研修网案例1:甲地到乙地原来运行的是动车,上午8时出发 中午12时到达,运行路程是700
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