曲线积分与曲面积分20834.pptx
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1、1.1.对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分(又称第一类曲线积分)(又称第一类曲线积分)第五部分第五部分第五部分第五部分 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质1.引例:求曲线形构件的质量。引例:求曲线形构件的质量。设一曲线形构件位于设一曲线形构件位于xoy平面上的一段平面上的一段曲线弧曲线弧 L上上,线密度线密度(x,y)为为L上的连续函数上的连续函数,求该曲线形构件的质量求该曲线形构件的质量 M。光滑曲线光滑曲线-具有连续切线的曲线具
2、有连续切线的曲线。xy0AB思想方法:思想方法:(1)分割分割:插入分点插入分点:设设每一小弧段长每一小弧段长(2)取近似取近似:则小弧段质量则小弧段质量:(3)求和求和:(4)取极限取极限:2、定义定义 设设L为为xoy平面内的一条光滑曲线弧段平面内的一条光滑曲线弧段(各点都具有切线各点都具有切线,且当切点连续移动时切且当切点连续移动时切线也连续转动线也连续转动),),用用L上的任意点上的任意点 M1,M2,Mn-1 把把L分成分成若和式的极限若和式的极限则称此极限值为则称此极限值为f(x,y)在曲线弧在曲线弧L上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分。函数函数 f(x,y)在在 L上有界上有界
3、,也称为也称为第一类曲线积分第一类曲线积分。记作记作L 积分弧段积分弧段(积分路径积分路径)ds 弧元素弧元素说明说明说明说明:(1)f(x,y)在在L上连续上连续,则曲线积分必存在则曲线积分必存在。(2)f(x,y)虽为二元函数虽为二元函数,但点但点(x,y)被限制在被限制在L上上,变量变量 x,y 不独立不独立,须满足曲线须满足曲线 L 的方程的方程。(3)若若L是是光滑闭曲线光滑闭曲线,常记成常记成(4)推广到空间曲线推广到空间曲线,有有3.性质性质(与定积分性质相仿与定积分性质相仿)(3)若若L是分段光滑的曲线段是分段光滑的曲线段,即即(4)设在设在 L 上上,则则(5)(积分中值定理
4、积分中值定理)设设 f(x,y)在在 L 上连续上连续,则必存在则必存在使使 其中其中 l 为为 L 的长度。的长度。第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性(1)如曲线如曲线 L 关于关于 x=0 对称,对称,L1 是是 L 的的 部分,部分,(2)若交换若交换x,y两变量时,两变量时,L的方程不变,则的方程不变,则-轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法定理定理:具有一阶连续导数具有一阶连续导数,且且L的参数方
5、程为的参数方程为:则曲线积分则曲线积分存在存在,且且说明说明说明说明:ds 弧元素弧元素 (弧微分弧微分)(1)(3)(2)当当 f(x,y)=1,或或(4)(5)(6)上述所有计算公式中上述所有计算公式中,等式右边的定积分等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限的积分下限都必须小于上限。一段弧一段弧(如图如图).例例 题题 讨讨 论论例例1:ABA(0,a),解:解:法一:法一:选选 x 为积分变量为积分变量,L:xy0a一段弧一段弧(如图如图).法二法二:选选 y 为积分变量为积分变量,L:ABxy0a一段弧一段弧(如图如图).ABxy0法三法三:L 用参数方程表示用参数方程表示:axy0
6、122例例2:AB解:解:例例3:解:解:L利用极坐标利用极坐标。0三三、几何与几何与物理意义物理意义设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为段为L,且它的线密度为且它的线密度为 若线密若线密 度在度在L上连续上连续,则则:它的质量它的质量 它的质心它的质心(3)例例4.的质心坐标的质心坐标。xy0a2a解:解:由对称性由对称性,.2.对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(第二类曲线积分第二类曲线积分)一、对一、对一、对一、对坐标的曲线积分的坐标的曲线积分的坐标的曲线积分的坐标的曲线积分的概念与性质概念与性质概念与性质概念与性质1.引例引例:求变力沿曲线所作的功。求
7、变力沿曲线所作的功。常力作功常力作功:变力作功变力作功,力力 f(x)的方向与运动方向一致的方向与运动方向一致,思想方法思想方法:(元素法元素法)xy0AB(1)插入分点插入分点 M1(x1,y1),Mn-1(xn-1,yn-1),n个个有向小弧段有向小弧段M1Mn-1Mi-1Mi将将L任意分成任意分成设一质点在设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧面内沿光滑曲线弧L从从A移移动到动到B。移动过程中移动过程中,这质点受到变力这质点受到变力 的作用的作用,其中其中P、Q在在L上连续上连续。现计算在上述移动过程中变力所现计算在上述移动过程中变力所作的功作的功。xy0ABM1Mn-1Mi-1Mi(2)则由
8、常力则由常力:近似代替近似代替则则(3)(4)取极限取极限 2 2、定义定义定义定义 设设L为为xoy平面上从点平面上从点A到到B的一条有向的一条有向 光滑曲线光滑曲线,函数函数 P(x,y)、Q(x,y)在在L上有界上有界。把把L分成分成 n个有向小弧段个有向小弧段则称此极限值则称此极限值为函数为函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧 L 上上对坐标对坐标 x的曲线积分的曲线积分,记作记作同理同理,则称此极限值为函数则称此极限值为函数 Q(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧常用其组合形式:常用其组合形式:统称为第二统称为第二类曲线积分。类曲线积分。L上上对坐标对坐标 y 的曲线积分的曲线积
9、分,记作记作说明说明说明说明:1)P(x,y),Q(x,y)中的中的 x,y 受受 L 的限制而的限制而相互有关相互有关。2)对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。3)前述变力作功前述变力作功(有向弧元素有向弧元素)变号变号4)对空间曲线对空间曲线 L,有有5)在在 L 上连续上连续,则此曲线积分必存在则此曲线积分必存在。3 3、性质性质性质性质(1)设有向曲线设有向曲线 L,L 与与 L 方向相反方向相反,则有则有:(2)其余性质类似于对弧长的曲线积分其余性质类似于对弧长的曲线积分。注:第一类曲线积分没有这一性质。注:第一类曲线积分没有这一性质。第二类曲线
10、积分的对称性第二类曲线积分的对称性第二类曲线积分的对称性第二类曲线积分的对称性 如曲线如曲线 L 关于关于 x=0 对称,对称,L1 是是 L 的的 部分,部分,方向不变,方向不变,二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法 设曲线设曲线L由参数方程由参数方程一阶连续导数一阶连续导数,且且又函数又函数 P(x,y),Q(x,y)在在L上连续上连续,L 的的起点起点 A终点终点 B描出有向曲线描出有向曲线LAB,起点起点A(x=a),终点终点B(x=b)f(x)在在 a,b 或或 b,a 有连续导数有连续导数,则则起点起点A(
11、y=c),终点终点B(y=d)g(y)在在 c,d 或或 d,c 有连续导数有连续导数,则则特例:特例:特例:特例:空间曲线空间曲线:起点起点 A(t=),终点终点 B(t=),例例 题题 讨讨 论论例例1.(1)L:圆心为原点圆心为原点,半径为半径为1,按逆时针方向按逆时针方向绕行的上半圆周绕行的上半圆周。xy0AB1-1解解:0(2)L:直线直线AB.xy0AB1-1解:解:=0.(3)L:折线折线 ACB.xy0ABC1-1解:解:100-1路径不同路径不同,值不同。值不同。例例2.(1)(2)Axy01xxx0101=1.Axy01B(3)0000111101路径不同路径不同,值却相同
12、。值却相同。例例3.:由点由点(1,1,1)到点到点(2,3,4)的直线段的直线段。解:解:求求 的方程的方程。的方向向量的方向向量:的方程的方程:其参数式其参数式:(t+1)d(t+1)+(2t+1)d(2t+1)+(t+1)+(2t+1)-1 d(3t+1)0123 dt=13.三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向线段设有向线段 L:起点起点A,终点终点B,xy0ABM(x,y)为为L上任一点上任一点。M.得得L的参数方程的参数方程:L的正向为的正向为s增大的方向增大的方向。设设 x(s),y(s)在在 0,l 具有
13、一阶连续导数具有一阶连续导数,dxdydsxy类似类似,切线向量的方向余弦。切线向量的方向余弦。例例:解:解:曲线上点曲线上点(x,y)的切线的方向余弦的切线的方向余弦:3.3.3.3.格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用一、格林公式一、格林公式一、格林公式一、格林公式(Green 1793 1841 英英)在一元函数积分学中在一元函数积分学中,牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨公式公式:表示表示:f(x)在区间在区间a,b上的积分可以用它的原函数上的积分可以用它的原函数F(x)在这个区间端点上的函数值来表达在这个区间端点上的函数值来表达。现在要介绍的格林公式现在要介绍的格林
14、公式,表示在平面闭表示在平面闭区域区域D上的二重积分也可以用沿闭区域上的二重积分也可以用沿闭区域 D的的边界曲线边界曲线L上的曲线积分来表达上的曲线积分来表达。设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D,则称则称D为平面为平面单连通区域单连通区域,否则称为否则称为复连通区域复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD平面区域的连通性:平面区域的连通性:平面区域的连通性:平面区域的连通性:边界曲线边界曲线L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区域区域D内在他附近的那一部分总在他的左边内在他附近的那一部分总在
15、他的左边,则他则他行走的方向就是行走的方向就是边界曲线边界曲线L的正向。的正向。LL1L2定理定理定理定理1 1 1 1格林公式格林公式证明证明 (1)(1)若区域若区域 D 既是既是 X型型又是又是Y 型型.L3L4CEDcdL3L4CEDcd类似,把类似,把 D 看成看成 X 型,有型,有两式相加得两式相加得证明证明证明证明 (2)(2)DGFCE证明证明证明证明 (3)(3)由由(2)知知AB例例 题题 讨讨 论论例例1.xy0D由格林公式:由格林公式:解:解:xy0ABD解解:作辅助线作辅助线:C圆方程代入圆方程代入?用格林公式用格林公式?非闭曲线。非闭曲线。xy0ABDC格林公式的简
16、单应用格林公式的简单应用格林公式的简单应用格林公式的简单应用:例例3:利用曲线积分利用曲线积分,求下列曲线所围的求下列曲线所围的图形的面积图形的面积:星形线星形线解:解:面积面积 A=二、二、二、二、四个等价命题四个等价命题四个等价命题四个等价命题定理定理2.2.设函数设函数 P(x,y),Q(x,y)在在单连通域单连通域G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则下列则下列四命题等价四命题等价:(1)(2)与路径无关与路径无关,只与起点只与起点A与终点与终点B有关有关。(3)(4)证明:证明:设设G内闭曲线内闭曲线 L由由ABL1L2G 即曲线积分与路径无关即曲线积分与路径无关,只与只与
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