随机信号课后习题答案2.doc

2.1 随机过程，其中为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且，。求X(t)的数学期望和自相关函数。
解：

（）

（）

（）

2.2 若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。
证： 由均方连续的定义，
展开左式为：
=
固有，证得数学期望连续。

2.3 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时存在二阶偏导数。
证：

在时存在，
也就是存在。

2.4 判断随机过程是否平稳？其中为常数，A、分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。
；
解：

与时间的起点无关，且
因此，是广义平稳的随机过程。

2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程

是宽平稳而不一定是严平稳的。其中为常数，A、B的数学期望为零，方差相同。
证：

（）

因此，是广义平稳的随机过程。

可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。
第六次作业：练习二之6、7、8、9、10题

2.6 有三个样本函数组成的随机过程，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？
解：

由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严平稳或宽平稳的条件。

2.7 已知随机过程，为在[]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，是各态历经过程？
解：
（1）考查为平稳过程的条件
在A为常数或与不相关的随机变量时，满足

（2）考查为各态历经过程的条件
在A为常数或与不相关的随机变量时，满足

而

只有在A为常数时，满足。
欲使是各态历经过程，A必为常数。

2.8 设和是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？
解：令

又
和的乘积是平稳的。
2.9 求用自相关函数及功率谱密度表示的的自相关函数及功率谱密度。其中，为在[]内均匀分布的随机变量，是与相互独立的随机过程。
解：

2.10 平稳高斯过程的自相关函数为，求的一维和二维概率密度。
解：

（1）的一维概率密度：

（2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。

2.11 对于两个零均值联合平稳随机过程和，已知，说明下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。

解：
（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足；
（b），（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；
（c）对于非周期平稳过程有，（b）中仅有(6)满足。
因此，(6)是自相关函数。

2.12 求随机相位正弦信号的功率谱密度，为在[]内均匀分布的随机变量，是常数。
解：

2.13 已知随机过程，式中是常数，是平稳过程，并且相互之间是正交的，若表示的功率普密度，证明功率谱密度为

证：因是平稳过程，并且相互之间是正交的，。

2.14 由和联合平稳过程定义了一个随机过程
（1）和的数学期望和自相关函数满足那些条件可使是平稳过程。
（2）将（1）的结果用到，求以和的功率谱密度和互谱密度表示的的功率谱密度。
（3）如果和不相关，那么的功率谱密度是什么？
解：
（1）
欲使与时间无关，不随时间函数、t变化，和的数学期望必须是；

在时，上式可写作与时间起点无关的表达式：

因此，当，时，是平稳过程。
（2）对两边同时作傅氏变换：

（3）和不相关，的互功率谱密度为零。

2.15 设两个随机过程和各是平稳的，且联合平稳

式中，为在[]内均匀分布的随机变量，是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。
解：

和是相关的，不是统计独立的；
又，和是非正交的