任意角和弧度制.doc

从心而悟 由学而通
授课教案（ 11 月第 3 次课）
学员姓名：__ _授课教师：____ 所授科目：___数学______
学员年级：___高一__上课时间：
教学标题
任意角和弧度制
教学目标
1. 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
2. 理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
上次作业
完成情况

授课内容：
（一）知识点梳理
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
始边
终边
顶点
A
O
B
②角的名称：

③角的分类：
负角：按顺时针方向旋转形成的角
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角

④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．

2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

3. 终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{ β | β = α + k·360 °k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．
注意：
⑴ k∈Z ； ⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；
⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．

1. 弧度角：我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=

2.角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
； ；；．
②将弧度化为角度：
；；；．

3.常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数．
② 弧度与角度不能混用．

4.特殊角的弧度
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0

5．弧长公式

弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．

（二）例题讲解
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
⑵
B1
y
⑴
O
x
45°
B2
O
x
B3
y
30°
60o

例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹480°；

例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
例4．写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．

例5．写出终边在上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

例6. 已知α角是第三象限角，则2α，各是第几象限角？
例1． 把67°30＇化成弧度．
例2．把化成度．
例3．计算：；．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2kπ（k∈Z）的形式：
；．

例5．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．；．

（三）练习巩固
1.(2013江苏镇江模拟) 将分针拨快10分钟, 则分针转过的度是　　　　.　
2.(2013黑龙江哈尔滨模拟) 与-2 002°终边相同的最小正角是　　　　.  
3.(2012海南海口模拟) 若φ是第二象限角, 那么和90°-φ都不是(　　)
A. 第一象限角　　B. 第二象限角　　C. 第三象限角　　D. 第四象限角
4.(2012新疆乌鲁木齐模拟) 与405°角的终边相同的角α的集合是(　　)
A. {α|α=-45°+k·360°, k∈Z}
B. {α|α=-405°+k·360°, k∈Z}
C. {α|α=45°+k·360°, k∈Z}
D. {α|α=405°+k·180°, k∈Z}
5.在12时15分的时刻, 时钟的分针与时针的夹角是　　　　.　
6.若α为锐角, 则-α+k·360°(k∈Z) 是第　　　　象限角.　
7.已知角α、β的终边相同, 那么角α-β的终边一定在　　　　　　　.　
8.50°角的始边与x轴的非负半轴重合, 把其终边按顺时针方向旋转3周, 所得的角是　　　　.　
9. 已知α=-130°, 则α的终边落在(　　)
A. 第一象限　　B. 第二象限　　C. 第三象限　　D. 第四象限
10.下列各组角中, 终边相同的是(　　)
A. 390°与690°　　B. -330°与750°C. 480°与-420°D. 3 000°与 -840°
11.下列命题正确的是(　　)
A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限的角都是锐角
C. {α|α是锐角}⫋{β|0°≤β< 90°} D. 大于90°的角都是钝角
12.若角α的终边经过点P(0,3), 则α是(　　)
A. 第一象限角 B. 终边在x轴的非负半轴上的角
C. 第四象限角 D. 终边在y轴的非负半轴上的角
13.已知α是锐角, 则2α是(　　)
A. 第一象限角　B. 第二象限角C. 小于180°的正角　D. 第一或第二象限角
14.下列角中与30°角终边相同的角是(　　)
A. -30°　　B. 210°　　C. 390°　　D. -360°
15.已知α是第一象限角, 则2α在坐标系内的位置如何?
16.零点整时针与分针重合, 则经过多少分钟后时针与分针再次重合? 若记这次重合为第1次重合, 则第12次重合时是什么时刻?
17.已知角α与β的终边有下列关系, 分别求出α与β之间的关系式:
(1) 角α与β的终边关于原点对称;
(2) 角α与β的终边关于x轴对称;
(3) 角α与β的终边关于y轴对称.
18. 如下图, 阴影区域表示角α终边所在位置, 写出角α的集合是(1) 　　　　; (2) 　　　　.　

19.设集合A={α|α=45°+k·360°, k∈Z},
B={α|α=225°+k·360°, k∈Z},
C={β|β=45°+k·180°, k∈Z},
D={β|β=-135°+k·360°, k∈Z},
E={α|α=45°+k·360°或α=225°+k·360°, k∈Z},
则其中相等的集合是　　　　.　
21.设集合M={α|α=45°+k·90°, k∈Z}, N={α|α=90°+k·45°, k∈Z}, 则集合M与N的关系是(　　)
A. M∩N=⌀　　B. M⫌N　　C. N⫌M　　D. M=N
作业：
学员课堂表现：
签字确认
学员_____________ 教师_____________ 教研主任_____________

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