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一、 几何符号
1、 垂直（符号：⊥）
（1） 定义：如果两条直线相交成直角，那么就说这两条直线互相垂
直。 其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。

（2）知识拓展：
a. 两条直线、两个平面相交，或一条直线与一个平面相交，如果交角成直角，叫做互相垂直。陆定一《老山界》：“﹝路﹞果然陡极了，几乎是九十度的垂直的石梯，只有一尺多宽。”
b. 向下伸直。洪深《电影戏剧表演术》第三章：“平常时手臂垂直，
肩里不用气力。”本词的基本意思是：当两直线所成的角为直角时，
称它们互相垂直。这一概念也可推广到两平面间或直线与平面间的
情况。
2、 平行(符号：∥）
（1） 定义：在平面上两条直线、空间的两个平面或空间的一条直线
与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。如图直
线AB平行于直线CD，记作AB∥CD。平行线永不相交。

（2）知识拓展：
a. 畅流；平安前行。
《管子·度地》：“水之性，行至曲必留退，满则推前，地下则平行，地高即控。”《汉书·李广利传》：“自此而西，平行至 宛城 。” 颜师古 注：“平行，言无寇难。” 明 徐弘祖 《徐霞客游记·粤西游日记二》：“踯躅杳冥中，不若出洞平行为便。”
b. 谓高度等同。
北周庾信 《小园赋》：“檐直倚而妨帽，户平行而碍眉。”
c. 平等相待。
元辛文房《唐才子传·刘禹锡》：“公恃才而放心，不能平行，年益晏，偃蹇寡合，乃以文章自适。”
d. 谓等级相当，不相隶属。
清吴乔《围炉诗话》卷二：“‘故老思飞将，何时议筑坛’，是为攻相州九节度平行无主帅也。”张天翼 《谭九先生的工作》：“这大会是个法团，跟县政府自必是平行的。”
e. 同时进行的。如：平行作业。
f. 数学名词。
两个平面或一个平面内的两条直线或一条直线与一个平面任意延长始终不能相交，叫做平行。夏诒彬 《花卉盆栽法·总论》：“﹝三角松﹞果实有双翅，或相平行，或成锐角。”
3、 角（符号：∠）
（1） 定义：从一点引出两条射线所组成的图形叫做角，这个点叫做
角的顶点，这两条射线叫做角的边（如下左图），角通常
用符号“∠表示。
（2） 度量方法：用量角器的中心对准角的定点，量角器的零刻度线
对齐角的一边，角的另一边所指的刻度就是角的大
小。
（3） 角的种类：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定
于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就
越大，相反，张开的越小，角则越小。在动态
定义中，取决于旋转的方向与角度。角可以分
为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正
角、优角、劣角、0角这10种。以度、分、
秒为单位的角的度量制称为角度制。此外，还
有密位制、弧度制等。
按角度分：
u 锐角（acute angle）：大于0°，小于90°的角叫做锐角。[3]
u 直角（right angle）：等于90°的角叫做直角。
u 钝角（obtuse angle）：大于90°而小于180°的角叫做钝角。
u 平角（flat angle）：等于180°的角叫做平角。
u 优角（reflex angle）：大于180°小于360°叫优角。
u 劣角（Inferior angle）：大于0°小于180°叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。
u 周角(round angle)：等于360°的角叫做周角。
u 负角( negative angle)：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。
u 正角( positive angle)：逆时针旋转的角为正角。
u 0角(zero angle)：等于零度的角。

（4） 特殊角：
u 余角和补角：两角和为90°则两角互为余角，两角和为180 °则
两角互为补角。等角的余角相等，等角的补相等。
u 对顶角：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两
边互为反向延长线，这样的两个角叫做互为对顶角。两
条直线相交，构成两对对顶角。互为对顶角的两个角相
等。
u 邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
u 内错角：互相平行的两条直线直线，被第三条直线所截，如果两
个角都在两条直线的内侧，并且在第三条直线的两侧，
那么这样的一对角叫做内错角。
如：∠1和∠6，∠2和∠5
u 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具
有这样位置关系的一对角互为同旁 内角。如：∠1和
∠5，∠2和∠6
u 同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同
侧,具有这样位置关系的一对角叫做同位角∠1和∠8，∠
2和∠7
u 外错角：两条直线被第三条直线所截，构成了八个角。如果两个
角都在两条被截线的外侧，并且在截线的两侧，那么这
样的一对角叫做外错角。例如：∠4与∠7，∠3与∠8。
u 同旁外角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之外，具
有这样位置关系的一对角互为同旁 外角。如：∠4和
∠8，∠3和∠7
u 终边相同的角：具有共同始边和终边的角叫终边相同的角。与角
a终边相同的角属于集合：
（5）角的性质
对称性：角具有对称性，对称轴是角的角平分线所在的直线。
（6）角的定理
u 相等：角平分线上的一点到角两边的距离相等
u 角平分线反向延长线上的点到角两边反向延长线的距离相等
4、 圆（符号：⊙)
（1）定义：一条线段绕着它固定的一端在平面内转动一周时，它的
另一端就会画出一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做
圆。 圆是平面上一条封闭的曲线，曲线上每一点到圆中
心的距离都相等。圆内中心的一点叫圆心，圆心通常用
O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段，叫圆的半径，
通常用字r
表示；
通过圆心并且两端都在圆上的线段，叫做直径，通常用字母
d表示。

（日食发生时出现的圆）

（2）生活科普：车轮为什么是圆形的?(摘自小学数学基础手册）
在同一圆中，所有的半径都是相等的。因此，人们把车轮做成圆形，并使车轴通过圆心，当车轮在地面上滚动时，车轴离开地面的距离就总是等于车轮半径那么长。这样行驶起来才会平稳，如果这只车轮变了形，不是圆形的了，车缘到轮子圆心的距离不是相等的，那么这种车子走起来，一定会上下颠簸，不能更好的前进。（摘自小学数学基础知识 薛金星 北京教育出版社）
5、 恒等于(符号：≡)
（1） 定义：恒等号一般用于一些参变量恒为一个常数或恒定表达式
时，表示这种等于关系与变量无关。
（2） 举例：例如函数f（x）≡0表示该函数的值始终为0而与x的
值无关。（百度百科）
（3） 知识拓展：例如：x+1=0翻译为一般语言为：使得式子x+1=0
的x的值，显然，这个x=-1；而x+y≡y+x翻译为
一般语言为：任意x,y的值都能使得式子x+y=y+x
成立。注意，此处使用加号默认了这是一个交换运
算。此外，在数论中，≡被用来描述一种等价关系，
比如1≡5(mod 4)表示1除以4和5除以的余数相同。
在对除法良定义的系统中，我们甚至可以得到形如
1/2≡3(mod5)的式子。但是，一般的等价关系往往
用~来表示。“≡”一般只用于模运算。
（摘自百度百科—恒等）
6、 约等于(符号：≈)
（1） 定义：在数学中表示相近的数值（准确值与近似值）之间的关
系用约等来表示。
（2） 举例：
下列数值的近似值：3。155（保留两位小数）答：3。155≈3。16
3。1415926……（保留四位小数）答：3。1415926……≈3。1416
（3）知识拓展：求近似值常用的方法：
a. 四舍五入法
根据要求，要省略的尾数的最高位上的数字小于或等于4的，就直接把尾数舍去；如果尾数的最高位数大于或等于5，把尾数舍去后并向它的前一位进“1”，这种取近似数的方法叫做四舍五入法。
如：把3。15482分别保留一位、两位、三位小数。
u 保留一位小数：3。15482≈3。2
u 保留两位小数：3。15482≈3。15
u 保留三位小数：3。15482≈3。155
b. 进一法
进一法是去掉尾数以后，在需要保留的部分的最后一位数字上进“1”。这样得到的近似值为过剩近似值（即比准确值大）。
² 如：一个麻袋能装小麦100千克，现有830千克小麦，需要几个麻袋才能装完？
错解：830÷100=8。3≈8（个）
麻袋的个数不能用小数来表示的。但不能用四舍五入法，将8。3
保留整数为8个，因为8个麻袋只能装800千克，还剩下30千克
小麦不可能不要，因此必须采用进一法，用9个麻袋才能装完。
正解：830÷100=8。3≈9（个）
c. 去尾法
在实际计算中，根据实际情况有时需要把一个数某位后面的数字全部舍去，而不管这些数字是否等于或大于5，这种取近似数的方法叫去尾法。
² 如：一件上衣用布2。8米，现有布16米，可做多少件上衣？
错解：16÷2。8=5。71……≈6（件）
商的整数部分是5（可做5件），余数是20（还余下2米），但余
下的2米不够做一件上衣，实际做完的只是5件。因此，尽管十
分位上是7，也不能向前一位进一，而只能把尾数全部去掉。
正解：16÷2。8=5。71……≈5（件）
温馨提示：在我们的现实生活中四舍五入法不一定都可以用上，有时会用到进一法，而有时要用到去尾法。
（4）知识延伸：求近似值的方法
牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0。多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
设r是f(x)=0的真根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y=f(x)的切线L，L的方程为y=f(x0) +f'(x0)(x-x0),求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0-f(x0)/f'(x0),称x1为r的一次近似值，过点（x1,f(x1)）做曲线y=f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2=x1-f(x1)/f'(x1)称x2为r的二次近似值，重复以上过程，得r的近似值序列,其中Xn +1=Xn-f(Xn)/f'(Xn),称为r的n+ 1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。
[插值法的基本思想和方法]：已知函数y= f(x)在[a,b]上n+1个点x0,x1…。xn的函数值y:= f (xi) I=0,1,2,…。n,但y= f(x)的确表达式不知道或相当复杂。设法建立一个函数μ(x),使μ(x)=y(i),进一步 μ1(xi)= y1(xi), I=0,1,2,…n-1在实际应用中以 μ(x)替代 f(x)，此即插值法。称 μ(x)为f (x)的插值函数，称xi，I=0,1,2,…n,为结点。
7、 三角形（符号：△）
（1） 定义：由不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所得到的
几何图形叫做三角形（triangle），三角形是几何图案的基
本图形。三角形具有稳定的特性。

（2） 生活物品：雨伞的支架，三角形彩旗，灯罩的横截面图，空调
外，机支架，风帆，小亭子的屋顶，圆顶形雪山横
截面，金字塔横截面，机器上用的三角铁，某些三
角形路标，长江三角洲鸟瞰图斜拉桥等
（3）分类;
①　 按角分：
u 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形）
u 直角三角形（有一个角是直角的三角形叫做直角三角形）
u 钝角三角形（有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形）
②　 按边分：
u 不等边三角形（三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形）
u 等腰三角形（有两条边长相等的三角形叫做等腰三角形）
u 等边三角形（三条边都相等的叫做等边三角形。等边三角形
又叫做正三角形。）
注：等边三角形是特殊的等腰三角形。
（4）三角形的稳定性
只要三角形3条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就
完全确定了，这个性质，称为三角形的稳定性。三角形的这种
特性，在生活中被广泛的应用。如利用三角形的稳定性建成的
建筑：埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、
屋顶、三角形钢架、钢架桥中的三角形。
（5）资料链接：“勾股定理”
A。文字表述：
在任何一个直角三角形（Rt△）中，两条直角边
的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边
的平方相减与最短边的平方相等）。数学表达：如果直角三角形
的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

（勾股定理示意图）
B应用：
勾股定理在生活中的应用也较广泛，举例说明如下：
挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。
①　 以教室为例，最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积，
从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是
选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕，也就是
说要把学生的视觉感受放在第一位。
一般来说在选购时可参照三点：
u 第一，屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6；
u 第二，屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度；
u 第三，屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。
屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3，教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕，根据勾股定理，很快就能得出屏幕的宽为1。5m，高为1。1m。
②　 2005年珠峰高度复测行动。
测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法，就是把高程引到珠峰脚下，当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时，通过在峰顶竖立的测量觇标，运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程，配合水准测量、三角测量、导线测量等方式，获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算，最终得到珠峰高程的有效数据。
通俗来说，就是分三步走：
u 第一步，先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点，先把这些点的精确高程确定下来；
u 第二步，在珠峰峰顶架起觇标，运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理，推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差；
u 第三步，获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算，最终确定珠峰高程测量的有效数据。
8、 平行四边形（符号： ）
（1） 定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四
边形。

（2） 类别：
u 平行四边形属于平面图形。
u 平行四边形属于四边形。
u 平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等。
u 平行四边形属于中心对称图形。
（3） 特殊：
u 平行四边形 + 直角 = 矩形
u 平行四边形 + 一组邻边相等 = 菱形
u 平行四边形 + 直角 + 一组邻边相等 = 正方形
（4） 应用：
平行四边形应用主要有两个方面：
u 第一是利用它的不稳定性，容易变形，比如拖车之间的链接网架，用作缓冲。
u 第二是利用内角和等于360度而且规则，用于铺设地板或者划分地域。
9、 相似（符号：∽)
（1） 定义：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两
个图形相似。

（2） 概述：如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个
图形相似。（相似的符号：∽）相似是初中数学的重要组
成部分，也是初中几何的重难点，尤其是相似三角形的
判定、性质和应用。相似是继全等学习后初中几何发展到
高级阶段的标志，难度也将比全等大幅度提升，全面锻炼
几何抽象想象能力和数形结合的思想。相似在中考中为必
考，或单独出现，或结合函数等题型作为压轴题出现，对
于考生的要求较高。
（3） 判定：如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那
么这两个多边形相似(两个条件一个也不能缺)。
（4）性质：a。相似多边形的对应角相等，对应边的比相等
b。相似多边形的周长比等于相似边的比
c。相似多边形的面积比等于相似边比的平方
（5） 举例：

10、 全等(符号：≌)
（1） 定义：若两个几何图形的形状、大小完全相同，则称这两个图
形是全等的图形。全等是相似的一种特例，当相似比为
1时，两图形全等。

（2）概念：
u 在数学上，两个图形可以完全重合，或者说两个物体大小、形状完全相同，那么这两个物体全等。“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。
u 一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。
u 两个多边形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合角的叫对应角。
（3） 性质：在数学中。一般是全等三角形。全等三角形是指两
个形态大小完全相等的三角形。全等三角形的对应
角相等、对应边相等。

（4）举例：

二、 代数符号
1、 无穷大(符号：∞)
（1） 定义：无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限
增大的变量或函数。

（2） 举例：例如，f(x)=1/x，是当x→0时的无穷大，记作lim(1/x)=
±∞(x→0)。
（3） 分类：正无穷大，+∞
负无穷大，—∞
无穷大，∞
注意：无穷大记作∞，不可与很大的数混为一谈。
三、 运算符号
1、 加（符号：＋）
（1） 定义：加法是基本的四则运算之一，它是指将两个或者两个以
上的数、量合起来，变成一个数、量的计算。表达加法
的符号为加号(+)。进行加法时以加号将各项连接起来。
把和放在等号(=)之
后。
（2） 性质：
u 加法交换律：a+b=b+a 例：8+1=1+8=9
u 加法结合律:a+b+c=a+(b+c) =得数（几）例：7+4+1=7+（4+1）=（7+4）+1=12
（3） 举例：例：1、2和3之和是6，就写成︰1+2+3=6
2、 减（符号：－）
（1） 定义：减法是四则运算之一，从一个数量中减去另一个数
量的运算叫做减法。
已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数
的运算叫做减法。
（2） 性质：减去一个数，等于加这个数的相反数。
（3） 算式名称：“—”是减号，减号前面的数是被减数，减号后
面的数是减数，“=”是等于号，等于号后面的
数是差。
10000（被减数）—（减号） 6000（减数） =（等于号） 4000（差）
（4） 借位运算：减法不一定要硬算，也可以简算。这个方法适用于
学前班，一年级的小孩学。例如：24-8=16可以这样
想：借位14-8，先用10-8=2，再用2+4=6，差个位
一定就是6，十位算就简单了。就是说，借位后，
去掉个位的数字先减，然后用减出来的数去加少减
的个位的数，十位就不难了。不过前提是被减数个
位一定要比减数个位小才能简算。
3、 乘（符号：×）

是指将相同的数加法起来的快捷方式。其运算结果称为积。
（1） 定义：乘法是四则运算之一，乘法是指一个数或量，增加了多
少倍。乘5，就是4增加了5倍率，也可以说成5个4
连加。
（2） 名称：“×”是乘号，乘号前面和后面的数叫做因数，“=”是
等于号，等于号后面的数叫做积。因数也叫乘数
10（因数） ×（乘号） 200（因数） =（等于号） 2000（积）
（3）读法：3×5=15
读作：三乘五等于十五
注意：现行课本中，只说“乘”不说“乘以”。要注意和除法
中“除”和“除以”区分
（4）意义：3×5表示5个3相加。
5x3表示3个5相加。
（注意：在如上乘法表示什么中，常把乘号后面的因数做为乘
号前因数的倍数）

（5） 法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（6） “小九九”的由来：
《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。
中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。
乘法表
1x1=1

1x2=2
2x2=4

1x3=3
2x3=6
3x3=9

1x4=4
2x4=8
3x4=12
4x4=16

1x5=5
2x5=10
3x5=15
4x5=20
5x5=25

1x6=6
2x6=12
3x6=18
4x6=24
5x6=30
6x6=36

1x7=7
2x7=14
3x7=21
4x7=28
5x7=35
6x7=42
7x7=49

1x8=8
2x8=16
3x8=24
4x8=32
5x8=40
6x8=48
7x8=56
8x8=64

1x9=9
2x9=18
3x9=27
4x9=36
5x9=45
6x9=54
7x9=63
8x9=72
9x9=81
口诀表
一一得一

一二得二
二二得四

一三得三
二三得六
三三得九

一四得四
二四得八
三四十二
四四十六

一五得五
二五一十
三五十五
四五二十
五五二十五

一六得六
二六十二
三六十八
四六二十四
五六三十
六六三十六

一七得七
二七十四
三七二十一
四七二十八
五七三十五
六七四十二
七七四十九

一八得八
二八十六
三八二十四
四八三十二
五八四十
六八四十八
七八五十六
八八六十四

一九得九
二九十八
三九二十七
四九三十六
五九四十五
六九五十四
七九六十三
八九七十二
九九八十一
（7）双位乘法
u 十几乘十几：
口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。
例：12×14=？
解: 1×1=1
2+4=6
2×4=8
12×14=168
16×16=256
1×1=1
6+6=12
6×6=36
1
+12
+ 36
=256
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
u 头相同，尾互补(尾相加等于10)：
口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：23×27=?
解：2+1=3
2×3=6
3×7=21
23×27=621
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
u 第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：
口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。
例：37×44=?
解：3+1=?
4×4=16
7×4=28
37×44=1628
注：个位相乘，不够两位数要用0占位。
u 几十一乘几十一：
口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。
例：21×41=?
解：2×4=8
2+4=6
1×1=1
21×41=861
u 11乘任意数：
口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。
例：11×23125=?
解：2+3=5
3+1=4
1+2=3
2+5=7
2和5分别在首尾
11×23125=254375
注：和满十要进一。
u 十几乘任意数：
口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。
例：13×326=?
解：13个位是3
3×3+2=11
3×2+6=12
3×6=18
13×326=4238
注：和满十要进一。
u 首数是五的两个数
口诀：头乘头加尾之和的一半为前积，尾乘尾为后积。
例：53×54=？
解：5×5=25
25+（3+4）÷2=28。53×4=12
53×54=2862
注：满十进位
u 首同尾互补
口诀：头乘头加尾为前积，尾乘尾为后积。
例：42×62=？
4×6+2=26
2×2=4
42×62=2604
u 首位为九
口诀：一数减另一补数为前积，两补数积为后积。
例：93×98=？
93-2（98的补数）=91
7（93的补数）×2（98的补数）
93×98=9114
注：两补数的积是一位数时，前面加0顶位。
（8）巧算速算
乘法是数学中基本运算之一。假设a乘b等于c，即记为ab = c或a·b = c。
中国古代利用算筹进行乘法计算。筹算乘法分三层：上位是被乘数，中位是积，下位是乘数。先由乘数的最大一位去乘被乘数，乘完后去掉这位的算筹，再用第二位数去乘，两次之积对应位上的数相加，乘完为止。例如81 × 81，先把乘数和被乘数分别放在上位和下位，如图﹝a﹞。用80去乘81得6480，「8」用完了，便掉去，如图﹝b﹞。再用1去乘81得81加到6480上，即等于6561，「1」亦用完了，便掉去，得图﹝c﹞。
﹝a﹞﹝b﹞﹝c﹞计算的层次就是把多位数变为用单位数去乘多位数，乘一位加一位，基本原理与现在通用的笔算乘法完全一样，只是使用乘数的次序与现在作法相反。
中世纪，印度流行几种实用而且有趣的乘法。「十字相乘法」是其中一种，印度人称之为闪电似的乘法。例如325 × 478 = 1553501494年意大利数学家巴切利﹝1445 - 1514﹞介绍了八种乘法。第一种乘法与现在通用的笔算乘法完全一致，第六种就是方格乘法。此法约于十五世纪传入中国，因其图形有如织锦﹝参看下图﹞，故亦称为铺地锦。

4除（符号：÷）
（1） 定义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运
算，叫做除法。
（2） 性质：一个数连续除以几个数，等于这个数除以那几个数的乘
积，就是除法的性质。有时可以根据除法的性质来进行
简便运算。如：300÷25÷4=300÷（25×4）
（3）公式：被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
商*除数+余数=被除数
（4） 关系：被除数扩大（缩小）n倍，商也相应的扩大（缩小）n
倍。
除数扩大（缩小）n倍，商相应的缩小（扩大）n倍）。

5、根号（符号：√）
（1）定义：根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算
的符号
（2） 书写方式：开n次方手写体和印刷体用√￣表示，被开方的
数或代数式写在符号左方v形部分的右边和符号
上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且能
出界；开n次方的n写在符号√￣的左边，n=2
时n可以忽略不写；若被开方的数或代数式过长，
则上方一横必须延长确保覆盖下方的被开方数或
代数式（如下图）。

（3） 根号的由来：现代，我们都习以为常地使用根号（如√ 等），并感到它使用起来既简洁又方便。那么，根号是 怎样产生和演变成这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根。印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka。阿拉伯人用 表示 。1840年前后，德国人用一个点“。”来表示平方根，两点“。。”表示4次方根，三个点“。。。”表示立方根，比如，。3、。。3、。。。3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根。到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“ √￣”。1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写√4是2，√9是3，并用√8，√8表示，但是这种写法未得到普遍的认可与采纳。与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一个字母的大写R来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q，或“立方”的第一个字母c，来表示开的是多少次方。例如，中古有人写成R。q。4352。数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成R。c。?7p。R。q。14╜,其中“?╜”当于今天用的括号，P（plus）相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-”还没有通用）。 直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“√”。在一本
书中，笛卡尔写道：“如果想求n的平方根，就写作±√n，如果想求n的立方根，则写作3√n（3上标）。”
这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现时根号形式。
立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号3√（3上标）的使用，比如25的立方根用3√25（3上标）表示。以后，诸如√等等形式的根号渐渐使用开来。
由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数学家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，也绝不是从天上掉下来的。电脑中的根号是√的样式。可以按AIT，同时按顺序按41420就是了。当然，在QQ、Word里面是不能用的。
（4） 书写规范：根号的书写在印刷体和手写体是一模一样的，这里
只介绍手写体的书写规范。
u 写根号
先在格子中间画向右上角的短斜线，然后笔画不断画右下中斜线，同样笔画不断画右上长斜线再在格子接近上方的地方根据自己的需要画一条长度适中的横线，不够再补足。（这里只重点介绍笔顺和写法，可以根据印刷体参考本条模仿写即可，不硬性要求）
u 写被开方的数或式子
被开方的数或代数式写在符号左方v形部分的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界，若被开方的数或代数式过长，则上方一横必须延长确保覆盖下方的被开方数或代数式。
u 写开方数或者式子
开n次方的n写在符号√￣的左边，n=2时n可以忽略不写。
（5）举例：

（根号手写体)
四、 集合符号
1、 并（符号：∪)
（1） 定义：一般地，对于两个给定的集合A,B，把所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合(两个集合全部元素加起来的全部元素所组成的集合）叫做并集，记作A∪B，读作“A并B” A∪B={xIx∈A或x∈B}

（2）举例：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。数字 9 不 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集，因为 9 既不是素数，也不是偶数。
更通常的，多个集合的并集可以这样定义：例如，A， B 和 C 的并集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而没有其他元素。
形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，当且仅当 x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。
2、交(符号：∩）
（1）定义：数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和 集合B 的交集是指含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。

（2）交集的记法：A 和 B 的交集写作 "A ∩B"。形式上： x 属于 A ∩B 当且仅当 x 属于 A且 x 属于 B。
（3）举例：例如：集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的交集为 {2, 3}。数
字 9 不属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 1