第三讲_幂级数.doc

AUTUMN APPLICATION
§8.3 幂级数
一、幂级数的概念
1.定义
定义1 形如

的级数，称为关于的幂级数，其中都是常数，称为幂级数的系数．
形如

的级数，称为关于的幂级数．
将换成，这个级数就变为 ．
下面将主要研究形如的幂级数．
2. 收敛域
幂级数当取某个数值后，就变成一个相应的常数项级数，可利用常数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛．若在点处收敛，称为它的一个收敛点；若在点处发散，称为它的一个发散点；的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的集合称为它的发散域．
例1 判断幂级数的敛散性．
解 由第一节例3可知，当时，该级数收敛于和，当时，该级数发散．因此，其收敛域是开区间，发散域是及．
二、幂级数的收敛性
定理1 （阿贝尔定理）若幂级数当时收敛，则对 的，幂级数绝对收敛．反之，若幂级数当时发散，则对一切适合不等式的，幂级数都发散．
证 若在处收敛，则
，
于是，是有界变量．故存在，使对一切的都有

成立．从而有
，
当时，．故等比级数收敛．由正项级数的比较判别法知，级数收敛；即级数绝对收敛．
用反证法证明后半部分结论．若存在点，使得时，收敛．由前半部分证明的结论知，绝对收敛；这与已知矛盾．故对一切适合的，幂级数发散．
推论 若幂级数不是仅在处收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，使得
当时，幂级数绝对收敛；
当时，幂级数发散；
当与时，幂级数可能收敛也可能发散．
称为幂级数的收敛半径．再由处的收敛性，便可确定该幂级数的收敛区间．若只在处收敛，我们规定它的收敛半径；若对任何实数，幂级数皆收敛，则规定其收敛半径，这时收敛区间是．关于幂级数的收敛半径有如下定理．
定理2 设幂级数，若 ；则幂级数的收敛半径为
　．
例1 试求下列幂级数的收敛区间：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解 （1）因为 ，所以收敛半径．当时， 发散；当时，发散；因此，其收敛区间是．
（2）因为．所以收敛半径
．当时，发散；当时，由莱布尼兹判别法知，条件收敛；因此其收敛区间为．
（3）因为，所以收敛半径．当时， 　发散；当时，条件收敛，因而其收敛区间为．
（4）因为所以收敛半径．当时，收敛；当，发散，因此收敛区间为．
三、幂级数的运算
设有两个幂级数

与

分别在区间及内收敛，且其和函数为与设，则在内有如下运算法则：
1．加法
．
2．数乘幂级数
设在区间内收敛于，则对非零常数，有
．
3．乘法运算

在内收敛，且和函数为 ．
4．逐项微分
设，收敛半径为，则对一切，都有
．
5．逐项积分
设，收敛半径为，则对一切，都有
．
性质4、5表明：收敛的幂级数逐项求导或逐项积分得到的新幂级数，其收敛半径不变．
例2 求的收敛区间．
解 因为．所以，幂级数的收敛半径 ；类似地，可求得幂级数的收敛半径为． 又在处都发散，因此的收敛区间为．
例3 求幂级数 在区间 内的和函数．
解 设和函数为，则 ，显然．于是

逐项求导,得
对上式从到积分,得 ，
于是,有 ， 从而

小结
1.函数项级数的收敛域、和函数的概念;
2.幂级数的收敛半径、收敛区间求法;
3.幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,及和函数的求法。
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