大学数学概率篇之随机变量的数字特征——大数定理与中心极限定理描述.pptx
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1、4.4大数定理与中心极限定理一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定理二、大数定理三、中心极限定理三、中心极限定理四、小结四、小结 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科.随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来.也就是说,要从随机现象中去寻求必然也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量随机现象的法则,应该研究大量随机现象.研究大量的随机现象,常常采用极限研究大量的随机现象,常常采用极限形式,由此导致对极限定理进行研究形式,由此导致对
2、极限定理进行研究.极极限定理的内容很广泛,其中最重要的有两限定理的内容很广泛,其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率 定理定理1设随机变量设随机变量的期望值的期望值方差方差则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数有有切比雪夫不等式切比雪夫不等式证证这里只证明这里只证明为连续型随机变量的情形为连续型随机变量的情形.设
3、设的概率密度为的概率密度为则有则有(如图)如图)一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式完完注注:(1)切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成(2)切比雪夫不等式表明:切比雪夫不等式表明:随机变量随机变量的方差越小,的方差越小,则事件则事件发生的概率越大,发生的概率越大,即,即,随机变量随机变量集中在期望附近集中在期望附近的可能性越大的可能性越大.由此可见方差刻画了随机变量取值的由此可见方差刻画了随机变量取值的离散程度离散程度.(3)在方差已知的情况下,在方差已知的情况下,它的期望的偏差不小于它的期望的偏差不小于的概率的估计式的概率的估计式.如如取取则有则有切比雪夫不等式给出了切比雪夫不
4、等式给出了与与故对任给的分布,故对任给的分布,只要期望和方差存在,只要期望和方差存在,则随机变则随机变量量取值偏离取值偏离超过超过3倍均方差的概率小于倍均方差的概率小于例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞每一毫升白细胞数平均是数平均是 7300,均方差是均方差是 700.利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在等式估计每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的之间的概率概率.解解 设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为依题意依题意,所求概率为所求概率为由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式即每毫升白细胞数在即每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的概率
5、不之间的概率不小于小于 8/9.完完例例2 在每次试验中在每次试验中,事件事件发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求利用切比雪夫不等式求:独立试验次数独立试验次数最小取最小取何值时何值时,事件事件 出现的频率在出现的频率在 0.74 0.76 之间的之间的概率至少为概率至少为 0.90?解解 设设为为 次试验中次试验中,事件事件出现的次数出现的次数,则则所求为满足所求为满足的最小的最小的的可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取则则依题意依题意,取取使使解得解得即即取取 18750 时时,可以使得在可以使得在次独立重复试验次独立重复试验中中,事件事件出现的频率
6、在出现的频率在之间的概率之间的概率至少为至少为 0.90.二、大数定理二、大数定理随机变量随机变量相互独立相互独立,是指对任意是指对任意都相互独立都相互独立.定理定理2 设随机变量设随机变量相互独立,相互独立,且具有相同的期望和方差且具有相同的期望和方差记记则对任意的则对任意的有有(*)证明证明 由由根据切比雪夫根据切比雪夫等式即得等式即得令令再注意到概率不可能大于再注意到概率不可能大于1,即证得结果即证得结果.注注:定理表明:定理表明:对任意对任意事件事件发生的概率很大,发生的概率很大,从概率意义上指出了,从概率意义上指出了,时,时,逼近逼近的确切含义的确切含义.在概率论中,在概率论中,当当
7、很大很大收敛于收敛于记为记为把把(*)式表示的收敛性称为随机变量序列式表示的收敛性称为随机变量序列依概率依概率定理还表明:定理还表明:随机变量序列随机变量序列的算术平均序列的算术平均序列依概率收敛于其数学期望依概率收敛于其数学期望完完推论推论 设设是是重伯努试验中事件重伯努试验中事件发生的次数,发生的次数,是事件是事件在每次试验中发生的概率,在每次试验中发生的概率,则对任意的则对任意的有有(*)证明证明因为因为所以所以其中其中相互独立,相互独立,且都服从以且都服从以为参数为参数分布,分布,的的因而因而注意到注意到由定理由定理2即证得即证得(*)式式.注注:这个推论就是最早的一个大数定理,这个推
8、论就是最早的一个大数定理,称为称为伯努伯努利大数定理利大数定理.它表明:它表明:当重复试验次数当重复试验次数 充分大时,充分大时,事件事件发生的频率发生的频率收敛于事收敛于事件件发生的概率发生的概率定理以严格的数学形式表定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性达了频率的稳定性.实际应用中,实际应用中,当试验次数很大时,当试验次数很大时,在在便可以用事件发生便可以用事件发生的频率来近似代替事件的概率的频率来近似代替事件的概率.如果事件如果事件的概率很小,的概率很小,则由伯努利大数定理知事则由伯努利大数定理知事生,生,即即“概率很小的事件在个别试验中几乎不会发生概率很小的事件在个别试验中几乎不会发生
9、”,这一原理称为这一原理称为小概率原理小概率原理.它的实际应用很广泛,它的实际应用很广泛,应注意到,应注意到,小概率事件与不可能事件是有区别的,小概率事件与不可能事件是有区别的,发生的频率也是很小的,发生的频率也是很小的,件件或者说事件或者说事件很少发很少发但但多次试验中,多次试验中,小概率事件也可能发生小概率事件也可能发生.在在完完中心极限定理的引入中心极限定理的引入在实际问题中,在实际问题中,许多随机现象是由大量相互独立的许多随机现象是由大量相互独立的随机因素综合影响所形成,随机因素综合影响所形成,其中每一个因素在总的其中每一个因素在总的影响中所起的作用是微小的,影响中所起的作用是微小的,
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