第四章弯曲应力习题解.docx
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1、 习题4-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩. (a)解: 。(b)解:(1)求支座反力 ()() (2)求指定截面上的内力 (c) 解:(1)求支座反力 由力偶只能由偶平衡的原理可知:A、 B支座的反力构成一约束反力偶,与主动力偶等值、共面、反向,故: ()()(2)求指定截面上的内力; 。; (d)解:(1)求支座反力 因为AB平衡,所以: () () (2)求指定截面上的内力 。(e)解:(1)求支座反力 由力偶只能由偶平衡的原理可知:A(左)、C(右)支座的反力构成一约束反力偶,与主动力偶等值、共面、反向,故: ();()(2)求指定截面上的内力; 。; ; (f)解:(1)求支
2、座反力 因为AB杆平衡,所以: () () (2)求指定截面上的内力;。 (g)解:(1)求支座反力 由对称性可知: () (2)求指定截面上的内力 (h)解:(1)求支座反力 由对称性可知: () (2)求指定截面上的内力 习题4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。(a)解: (b)(b)解:当 时 当时 (c) 解: 当时 当 时 (d)解: 当 时, 当 时, (e)解:当时, 当 时, (f)解:AB段: BC段: (g)解:AB段内: BC段内: (h) 解:AC段内: CD段内: DB段内: 习题4-3 试利用荷载集度、剪力和弯矩间和微分关系作下列各梁的剪
3、力图和弯矩图。 (a)(b) (c)(d) (e)(f) (g)(h) (i)(j)习题4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图(a)(b)(c)习题4-5 试根据弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系指出图示剪力图和弯矩图的错误。(a)解:(a)图中的剪力图是错误的。因为本例中, (向上为正,向下为负),所以悬臂段的剪力图应该是:倾斜线与x轴的正向的夹角(直线的倾斜角)大于。悬臂段的剪力应该为正。 (a)图中的弯矩图是错的。因为左段的弯矩图的凸向应该向下。(b)解:(b)图中,弯矩图应该中集中力偶作用处,左右两侧弯矩有突变,突变的数值等于集中力偶的数值。(c)解:在(c)图中,剪力图明显错
4、误,在集中力偶作用处,剪力不会发生突变。弯矩图中集中力偶作用处应该有突变,突变的数值等于集中力偶的数值。另外,在AC段,弯矩图的凸向应该向上。习题4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。(a)解:从剪力图可知,剪力是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D,则根据以上控制截面的弯矩、剪力图,可作出如图所示的弯矩图和荷载图。(b) 解:从剪力图可知,剪力是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C,则从图Q中可知,AB段作用着线均布荷载,(),在C处作用有铅垂向下的集中荷载()。最在大正弯矩出现在剪力为零处,出现最大弯矩的截面位置在处,。由控制截面
5、的弯矩和以上受荷分析,可作出如图所示的弯矩图的荷载图。习题4-7 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪力图与荷载图。(a)解:从弯矩图可知,弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D。弯矩图的斜率是剪力。因为AB平行于DB,所以这两段的剪力相同。A为铰,其弯矩为零。B处弯矩有突变,突变的数值等于集中力偶,从图中可读得20kN.m。D截面左右两侧的弯矩也有突变,突变的数值等于集中力偶的数值10kN.m。据此,可以画出如图所示的剪力图与荷载图。(b)解:从弯矩图可知,弯矩是分段函数。设从左到右的分段点为A、B、C、D。弯矩图的斜率是剪力。AB段:BC段: CD段:根据以上分析,可作出如图所示
6、的剪力图和荷载图。习题4-8 试用叠加法作出如图所示各图的弯矩图。解:在外力偶单独作用下,跨中呈直线变化。在F单独作用下,。这两种外力共同作用叠加的结果如图所示。(b)解:(1)求控制截面的弯矩 AC跨中叠加弯矩: BC跨中叠加弯矩: (2)画控制截面弯矩的竖标,连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。(c)解:(1)求控制截面的弯矩 AB跨中叠加弯矩: (2)画控制截面弯矩的竖标,连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。 (d)解:(1)求控制截面的弯矩 (2)画控制截面弯矩的竖标,连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。(e)解:(1)求控制截面的弯矩 AD跨中叠加弯矩:(2)画控制截面弯矩的竖标,连竖标叠加后得
7、如图所示的弯矩图。(f)解:(1)求控制截面的弯矩 CD跨中叠加弯矩:(2)画控制截面弯矩的竖标,连竖标叠加后得如图所示的弯矩图。习题4-9 选择适当的方法,试作图示各梁的剪力图和弯矩图。(a)解:(1)求剪力与弯矩方程以B为原点,AB为x轴,BA方向为x轴正向。 (2)由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图X00.20.40.60.811.21.41.61.7Q-3-2.8-2.2-1.20.224.26.89.811.45M(0.00 0.59 1.09 1.44 1.55 1.33 0.72 -0.37 -2.03 -3.09 4-9(a)(b)解:(1)求剪力与弯矩方程以A为原点,AB为x轴
8、,AB方向为x轴正向。AC段: CD段: AC段:(2)由剪力方程与弯矩方程作Q图和M图x011.522.533.544.556Q0403020100-10-20-30-400x00.30.60.911.522.533.544.555.15.45.76M01.87.216.22037.55057.56057.55037.52016.27.21.804-9(b)(c)解:(1)求支座反力()(2)求剪力与弯矩方程以A为原点,AB为x轴,AB方向为x轴正向。AC段: , 。令,得:时,CB段: ,。x00.511.522.533.54Q43.7531.750-1.8-3-3.8-4M01.963.
9、674.885.334.883.671.960设,,观察Q、M图的弯化情况。4-9(c)(d)解:左支座为A,右支座为B。(1)求支座反力 ()()(2)求剪力与弯矩方程以A为原点,AB为x轴,AB方向为x轴正向。 令,得:当时, x00.20.40.60.811.1881.21.41.61.822.22.42.62.83Q5040.331.122.414.36.670.026-0.4-6.9-13-18-23-28-32-35-38-40M09.0216.121.525.127.227.8427.827.125.12217.812.76.720.06-7.2-154-9(d)(e)解:(1)
10、求支座反力 ()()(2)求剪力与弯矩方程以A为原点,AB为x轴,AB方向为x轴正向。 令,得:当时,x00.40.81.21.622.42.522.83.23.64Q110.970.890.740.50.14-0-0.4-1-1.9-3M00.40.791.171.51.751.881.891.841.560.980设,,观察Q、M图的弯化情况。4-9(e) (f)解:(1)求支座反力A、 B之间正弦曲线的面积为:()X截面以左部分的面积: (2)求剪力与弯矩方程以A为原点,AB为x轴,AB方向为x轴正向。 当时,;当时, 边界条件: 故:。当时,。x00.40.81.21.622.42.8
11、3.23.64Q3.823.6353.092.251.180-1.2-2.25-3.09-3.63-3.82M01.50 2.863.944.634.874.633.94 2.8611.50 0.00 设,,观察Q、M图的弯化情况。4-9(f)习题4-10 试作简支梁在图示4种荷载况下的弯矩图,并比较其最大弯矩值。这些结果说明梁上的荷载不能任意用其静力等效力系代替,以及荷载分散作用时,使梁内下降的情况。(a)解:(1)求支座反力 ()。如图所示。截面位置ACBX(L)00.250.50.751M(FL/4)00.510.50(b)解:(1)求支座反力 () (2)求控制截面的弯矩 (3)画竖标
12、、连竖标、形成弯矩图如图所示截面位置ACDEBX(L)00.250.50.751M(FL/6)00.7510.750(c)解:(1)求支座反力 () (2)求控制截面的弯矩 (3)画竖标、连竖标、形成弯矩图如图所示截面位置ACDEFGBx(L)01/61/31/22/35/61M(FL)01/122/153/202/151/120(d)解:(1)求支座反力 ()(2)写弯矩方程以A为坐标原点,AB为x轴的正向。令,得:当时,(3)由弯矩方程描绘弯矩图截面位置A跨中Bx(L)00.51M(FL)0 1/80讨论:以上四个算例说明:(1)作用在变形固体上的力不能作静力等效替换,否则会影响内力的分布
13、。(2)以上四个结构,虽然均受到合力为F的作用,但把力分散作用之后,弯矩分布趋于均匀,且最大弯矩变小。最大弯矩变化情况如下图所示。习题4-10Mmax(FL)作用点个数(a)0.251(b)0.1673(c)0.155(d)0.125无穷个习题4-11 图示以三种不同方式悬吊着的长12m 、重24kN的等直杆,每根吊索承受由杆重引起的力相同。试分别作出三种情况下杆的弯矩图,并加以比较。这些结果说明什么问题。(a)解:(1)求约束反力等直杆的线均布荷载为: 吊索承受的力为()(2)写弯矩方程 以A为坐标原点,AB为x轴的正向。 (3)由弯矩方程描绘弯矩图截面位置A跨中Bx(m)024681012
14、M(kN.m)020323632200(b)解:(1)求约束反力等直杆的线均布荷载为: 吊索承受的力为()(2)写弯矩方程 以A为坐标原点,AB为x轴的正向。AC段:,CD段:,DB段:,(3)由弯矩方程描绘弯矩图AC中DBx00.511.522.534567899.51010.51111.512M0-0.3-1-2.3-4-6.3-325652-3-6.3-4-2.3-1-0.30(c)解:(1)求约束反力等直杆的线均布荷载为: 吊索承受的力为:()(2)写弯矩方程 以A为坐标原点,AB为x轴的正向。AC段:,CD段:,DE段:,EF段: ,FB段:,(3)由弯矩方程描绘弯矩图ACDEFx0
15、0.51.522.534.555.567.588.599.51010.51111.512M0-0.25-2.25-1-0.250-2.25-1-0.250-2.25-1-0.250-0.25-1-2.25-1-0.250讨论:本题的三种吊装方法中,吊点越多,弯矩的绝对值越小,对构件的安全越有利;在相同吊点的情况下,合理的布点,也可大大地减小弯矩的数值。习题4-11|Mmax|(a)36(b)6.25(c)2.25习题4-12 如欲使图示外伸梁的跨中点处的正弯矩值等于支点处的负弯矩值,则支座到端点的距离与梁长之比应等于多少?解:(1)求支座反力 ()(2)求欲求截面的矩(3)依题意:,求的值负根
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