曲面及其方程2.pptx
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1、2011.2.6北京工商大学8-3-18.3 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面旋转曲面柱面柱面二次曲面二次曲面小结小结 思考题思考题 作业作业2011.2.6北京工商大学8-3-2一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念定义定义(1)曲面曲面S上任一点的坐标都满足方程上任一点的坐标都满足方程;(2)不不在曲面在曲面S上的点的坐标都上的点的坐标都不不满足方程满足方程;如果曲面如果曲面S有下述关系有下述关系:那么那么,就叫做曲面就叫做曲面S的方程的方程,而曲面而曲面S就叫做方程的图形就叫做方程的图形.曲面及其方程曲面及其方程与三元方程与三元方程2011.2.6北京工商大学8
2、-3-3解解所求方程为所求方程为球心在原点的球面方程球心在原点的球面方程特殊特殊是球面上任一点是球面上任一点,曲面及其方程曲面及其方程例例2011.2.6北京工商大学8-3-4例例解解所求方程所求方程是曲面上任一点是曲面上任一点,的全体所组成的曲面方程的全体所组成的曲面方程.曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-5二、旋转曲面二、旋转曲面1.定义定义曲面及其方程曲面及其方程此定直线叫旋转曲面的轴此定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称此曲线称称此曲面为称此曲面为旋转曲面旋转曲面.一周所成的曲面一周所成的曲面,母线母线.为方便为方便,取作坐标面取作坐标面,常把曲线所在平面常把曲线所
3、在平面以一条平面曲线以一条平面曲线绕绕其平面上的一条直线旋转其平面上的一条直线旋转母线母线轴轴旋转轴取作坐标轴旋转轴取作坐标轴.定义定义2011.2.6北京工商大学8-3-62.旋转曲面方程旋转曲面方程将将得方程得方程代入代入曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-7旋转曲面方程为旋转曲面方程为旋转一周的旋转一周的由上面的分析得:由上面的分析得:同理同理,旋转曲面方程旋转曲面方程为为旋转一周的旋转一周的绕绕z轴轴绕绕y轴轴曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-8 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成求生成的旋转曲面的方程
4、的旋转曲面的方程.旋旋转转双双曲曲面面例例双曲线双曲线(1)分别绕分别绕x轴和轴和z轴轴;绕绕x轴轴旋转旋转绕绕z轴轴旋转旋转曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-9旋旋转转椭椭球球面面 旋转抛物面旋转抛物面(2)绕绕y轴和轴和z轴轴;(3)绕绕z轴轴.曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-10 选择题选择题 B方程方程(A)xOz平面平面上曲线上曲线 绕绕y轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面;(B)xOz平面平面上直线上直线 绕绕z轴旋转所得曲面;轴旋转所得曲面;(C)yOz平面平面上直线上直线 绕绕y轴旋转所得曲面;轴旋转所得曲面;(D)yOz平面平面
5、上曲线上曲线 绕绕x轴旋转所得曲面轴旋转所得曲面.表示表示().曲面及其方程曲面及其方程2011.2.6北京工商大学8-3-11定义定义三、柱面三、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线这条定曲线C 称为柱面的称为柱面的动直线动直线L称为柱面的称为柱面的准线准线,母线母线.曲面及其方程曲面及其方程所形成的曲面称为所形成的曲面称为移动的直线移动的直线L 柱面柱面.准线准线母母线线2011.2.6北京工商大学8-3-12因此因此,该方程的图形是以该方程的图形是以xOy面上圆为准线面上圆为准线,例例 讨论方程讨论方程 的图形的图形.在在xOy面上面上,解解母线平行于母线平行于z
6、轴的轴的柱面柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一个表一个圆圆C.过点过点作平行作平行z轴的直线轴的直线L,设点设点 在圆在圆C上上,对任意对任意z,点点的坐标也满足方程的坐标也满足方程沿曲线沿曲线C,平行于平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标的坐标都满足此方程都满足此方程,在在空间空间,就是就是圆柱面方程圆柱面方程.此曲面称为此曲面称为圆柱面圆柱面.2011.2.6北京工商大学8-3-13平面平面表示母线平行于表示母线平行于z表示母线平行于表示母线平行于z轴轴曲面及其方程曲面及其方程抛物柱面抛物柱面柱柱面面举举例例 其准线是其准线是xOy面面上的抛物线上的抛
7、物线轴的柱面轴的柱面,的柱面的柱面,其准线是其准线是xOy面上面上的直线的直线2011.2.6北京工商大学8-3-14总结:总结:柱面的特征柱面的特征:(其他类推)(其他类推)实实 例例椭圆椭圆柱面柱面双曲双曲柱面柱面 抛物抛物柱面柱面 直角坐标系中表示平行于直角坐标系中表示平行于z轴的柱面轴的柱面,在空间在空间为为xOy面上的曲线面上的曲线C.其准线其准线曲面及其方程曲面及其方程母线平行于母线平行于x轴轴母线平行于母线平行于z轴轴母线平行于母线平行于y轴轴2011.2.6北京工商大学8-3-15二次曲面的定义二次曲面的定义四、二次曲面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程具体形式为:具体形式为
8、:三元二次方程三元二次方程所表示的曲面称为所表示的曲面称为其中其中均为常数均为常数.球面、球面、二次曲面二次曲面.如如某些柱面某些柱面(圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等圆柱面、抛物柱面、双曲柱面等)都是二次曲面都是二次曲面.2011.2.6北京工商大学8-3-16 研究二次曲面的方法是采用研究二次曲面的方法是采用截痕法截痕法.下面用下面用截痕法截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面讨论上面几种特殊的二次曲面.即用即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线考察其交线(即截痕即截痕)的形状的形状,然后加以综合然后加以综合,从而了解曲面的全貌从而了解曲面的全貌.曲
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