概率论与数理统计公式超全版.docx
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1、第 1 章 随机事件及其概率( 1 )排列 组合公式(2)加法 和 乘 法 原 理(3)一些 常见排列(4)随机 试 验 和 随 机事件(5)基本 事件、样本 空 间 和 事 件(6)事件 的 关 系 与 运算m!P n = 从 m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。m (m n)!m!C n = 从 m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。m n!(m n)!加法原理(两种方法均能完成此事): m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事): mn某件事由两个步骤来完成,
2、第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由 mn 种方法来完成。重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个, 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试 验。试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下, 不管事件有多少个, 总可以从其中找出这样一组事件, 它具有 如下性质:每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表
3、示。一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母 A, B, C, 表示事件,它们是 的子集。 为必然事件,为不可能事件。不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件()的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系:如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, (A 发生必有事件 B 发生): A 仁 B如果同时有 A 仁 B, B A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于B: A=B。A、 B 中至少有一个发生的事件: AU B,或者 A+B。属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为A 与B 的差
4、,记为A-B,也可表示为 A-AB 或者 AB ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。A、 B 同时发生: AnB,或者 AB。 A n B=,则表示 A 与 B 不可能同时发生,称事件 A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。(7 )概率 的 公 理 化 定义(8 )古典 概型(9 )几何 概型(10)加法 公式(11)减法 公式(12)条件 概率(13)乘法 公式 -A 称为事件 A 的逆事件,或称 A 的对立事件,记为A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率: A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率: (AB) C=(AC) (BC) (A
5、B) C=(AC) (BC)n A U Ai i德摩根率: i 1 i 1 A U B A n B, A n B A U B设 为样本空间, A 为事件,对每一个事件A 都有一个实数 P(A),若满 足下列三个条件:1 0P(A)1,2 P() =13 对于两两互不相容的事件A1, A2 ,有常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A 的概率。1 , ,1 2 n12 P( ) P( ) P( ) 。1 2 n n设任一事件A ,它是由 , 组成的,则有P(A) = ( )U ( )U 1U (2 ) =P(m)( ) P( ) P( )1 2 m 1 2 m若随机试验的结果为无限不可数
6、并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,L(A)P(A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积)。L()P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB) 0 时, P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)当 B A 时, P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时, P(B )=1- P(B)P(AB)定义 设 A 、B 是两个事件,且 P(A)0,则称 为事件 A 发生条件下,事P(A)P(AB)件 B 发生的条件概率,记为P(B / A) 。P(A)条件概率
7、是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)乘法公式: P(AB) P(A)P(B /A)更一般地,对事件 A, A ,A ,若 P(A A A )0,则有1 2 n 1 2 n- 1P(A A12 A )n P(A )P(A12 | A )P(A13 | A A )12 P(An | A1A2 An 1)。(14)独立 性(15)全概 公式(16)贝叶 斯公式(17)伯努 利概型两个事件的独立性设事件A、 B 满足P(AB) = P(A)P(B), 则称事件A、 B 是相互独立的。 若事件A、 B 相互独立,且P(A) 0 ,则有若事
8、件A、 B 相互独立, 则可得到A 与B、 A 与B、 A 与B 也都相互独 立。必然事件 和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC 是三个事件,如果满足两两独立的条件,P(AB)=P(A)P(B); P(BC)=P(B)P(C); P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、 B、 C 相互独立。对于 n 个事件类似。设事件 B1,B2, ,Bn 满足1B1,B2, ,Bn 两两互不相容, P(Bi ) 0(i = 1,2, ,n),A 仁 Un Bi2 i=1 ,则有P(A) = P(B1)P(A | B1
9、)+ P(B2)P(A | B2)+ + P(Bn )P(A | Bn )。设事件B1, B2, B n及A 满足1 B1, B2, Bn两两互不相容, P(Bi) 0, i = 1, 2, n,A 仁 Un B2 i=1 i, P(A) 0,则P(B )P(A /B )P(B /A) = i i , i=1, 2,n。 P(B )P(A/B )i nj jj =1此公式即为贝叶斯公式。P(B ), ( i = 1, 2, , n ), 通常叫先验概率。 P(B /A), ( i = 1, 2, ,n ),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了i i“由果朔因”的推断。
10、我们作了n 次试验,且满足令 每次试验只有两种可能结果, A 发生或A 不发生;令 n 次试验是重复进行的,即A 发生的概率每次均一样;令 每次试验是独立的,即每次试验 A 发生与否与其他次试验A 发生与 否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n 重伯努利试验。用p 表示每次试验A 发生的概率,则A 发生的概率为1 p = q ,用Pn(k)表示n 重伯努利试验中A 出现k(0 k n)次的概率,nPn (k) = C k p k q nk k = 0,1,2, ,n, 。第二章 随机变量及其分布(1)离散 型 随 机 变 量 的 分 布律设离散型随机变量X 的可能取值为 X (k=1
11、,2, )且取各个值的概率,即事k件(X=X )的概率为kP(X=x )=p, k=1,2, ,k k则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出:X | x1,x2, ,xk , P(X = xk ) p1,p2, ,pk , 。显然分布律应满足下列条件: pk = 1k = 1,2, (2) k =1 。,(1) pk 0,(2)连续 型 随 机 变 量 的 分 布密度设 F(x)是随机变量X 的分布函数, 若存在非负函数f (x), 对任意实数 x, 有 F(x) = jx f (x)dx ,则称X 为连续型随机变量。 f (x) 称为X 的概率密度函数或密
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