圆周角定理.doc

“在同圆或等圆中”的条件真的不可少吗？
湖北省房县实验中学 王福运
在《圆》一章的学习过程中，有很多定理都有“在同圆或等圆中”这样的条件，如人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册P83页有这样的三个定理：（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等； P85页圆周角定理及推论：（4）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；（5）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。这几个定理的题设中都有“在同圆或等圆中”这样的条件。在教学过程中老师一直在反复强调“在同圆或等圆中”这个条件不可缺少，学生也觉得这个条件真的重要。其实仔细推敲就会发现，在定理（1）（3）（5）中如果少了“在同圆或等圆中”这个条件，定理就不成立，这很容易举出反例说明，如图：

∠AOB=∠COD AB=CD ∠ AMB=∠CND
图（1） 图（2） 图（3）
这三个图形明显说明了（1）（3）（5）三个定理不能少了“在同圆或等圆中”这一条件。
但对（2）（4）两个定理来说“在同圆或等圆中”是真的不可或缺吗？现在让我们去掉“在同圆或等圆中”这个条件看一看:（6）如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（7）同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这样的两个命题是不是真命题呢？让我们来看看“等圆”“等弧”的定义：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册P79页是这样定义的：能够重合的两个圆叫做等圆;在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.从定义中可以明确看出，等弧存在的前提条件是同圆或等圆中，“同弧或等弧”的条件隐含了“同圆或等圆”，所以去掉“在同圆或等圆中”这个条件后，以上两个定理仍然是成立的，相反，在定理中加上“在同圆或等圆中”的条件，题设条件反而重复。定理变得不精炼、不严谨。由同弧和等弧的定义，我们有理由得出：当已知条件中有同弧或等弧的条件时，同圆或等圆的条件可以删去。而教材的编写者显然没有注意到这些细节，进而给广大一线教育工作者带来了很多不必要的麻烦，笔者在长期的教学过程中，经常就遇到很多学生问到这个问题，是不是“在同圆或等圆中”的条件在圆心角定理和圆周角定理及推论中必不可少？要回答学生的这一问题，确实要花费很多口舌。基于此，笔者建议，在定理（2）（4）中应删去“在同圆或等圆中”这一重复条件，采用（6）（7）的方式叙述更简洁。如果不删去的话也不能以黑体字出现在定理当中，应以正常字体编写并和定理分开，以免引起误会。
以上观点仅是个人看法，望行家指正。