四川省南充高中2011年自主招生数学素质技能邀请赛试卷(含答案).doc

2011年四川省南充市高中素质技能邀请赛
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 试卷总分：150分）

第Ⅰ卷（选择.填空题）
一、选择题（每小题5分，共计30分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）
1.已知且，则的最小值为
A. B. 3 C. D.13
2. 是锐角三角形的两条高，如果，则等于
A. 3：2 B. 2：3 C. 9：4 D.4：9
3.关于的方程有两个不等的实数根，且，那么的取值范围是
A. B. C. D.
4.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为20℅，又在新盐水中加入与前述“一杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为℅，那么原来盐水的浓度为
A.23℅ B.25℅ C. 30℅ D.32℅
5.已知是两个连续自然数，且，设，则
A.总是奇数 B.总是偶数
C.有时是奇数有时是偶数 D.有时是有理数有时是无理数
6. 为正三角形内部一点，于,于,于，则
A. 的值不变 B. 的值不变
C. 的值不变 D. 的值不变

二、填空题（每小题5分，共计50分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处）
A
B
C
D
E
7.若，则_________.
8.关于的二次式可以分解
为两个一次因式的乘积，则 的值是_______.
9.如图△ABC中，AC＞AB，AB=4，AC=x，AD平分∠BAC，
BD⊥AD于D，点E是BC的中点，DE=y，则y关于x
的函数关系式为_______.
10.袋中装有3个红球，一个白球，它们除了颜色以外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到红球的概率为

11.光线如图示的角度照射到平面镜上，然后在两平面镜之间来回反射，已知，则_______.

12.在平面直角坐标系中，已知的坐标，将其绕着原点按逆时针方向旋转得到，延长到使，再将绕原点按逆时针方向旋转得到，延长到使,如此继续下去，则点的坐标为__________
13.一圆周上有三点，的平分线交边于，交圆于，已知，则_________
14.在锐角中，高交于点，的面积为，则的面积为__________
15.方程的解为______
16.下列命题：①若，则；②若，且，则；③若一直角梯形的两条对角线的长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高为；④已知方程的一个根为1，另一个根的取值范围是.
其中正确的命题的序号为________

///////////////////////////////////////////////////////////

线
封
密
姓名________________ 初中就读学校___________________________ 考号_________________
第Ⅱ卷（答题卷）

一、选择题答案：(每小题5分，共计30分)
题号
1
2
3
4
5
6
答案

二、填空题答案：(每小题5分，共计50分)
7．______________________ 8．______________________
9．______________________ 10．______________________
11．_____________________ 12．______________________
13．_____________________ 14．______________________
15．_____________________ 16．_____________________
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)
17.(本小题10分)设，求的值.

18. (本小题12分)已知的两边的长是关于的一元二次方程
的两个实数根，第三边长为5.
（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形
（2）为何值时，是等腰三角形，并求的周长

19. (本小题12分)在平行四边形中，为边上一点，与分别为和的平分线
（1）判断是什么三角形，并证明你的结论；
（2）比较与的大小；
A
P
B
D
C
（3）以为直径的⊙交于点，连接与交于，若，
求证：∽,并求的值

20. (本小题12分)已知是⊙的内接三角形，为⊙的切线，为切点，为直线上一点，过点做的平行线交直线于点，交直线于点
（1）当点在线段上时求证:
（2）当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；
A
B
O
T
PA
E
C
.
F
（3）若，求⊙的半径

21. (本小题12分)如图所示，已知两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点从点开始，在线段 上以每秒3个长度单位的速度向原点运动，动直线从轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即∥轴），且分别与轴、线段交于点，连接，设动点与动直线同时出发，运动时间为
（1）当时，求梯形的面积，为何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
（2）当梯形的面积等于三角形的面积时，求线段的长；
x
y

O
P
A
E
F
B
（3）设的值分别取时（），所对应的三角形分别为和，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.

22. (本小题14分)如图，已知点(-2,0) (-4,0)，过点的⊙与直线相切于点（在第二象限）,点关于轴的对称点是，直线与轴相交点

O
P

M
D
C
B
A
x
y
（1）求证：点在直线上
（2）求以为顶点且过的抛物线的解析式；
（3）设过点且平行于轴的直线与（2）中的抛物线的另一交点为，当⊙与⊙ 相切时，求⊙的半径和切点坐标

2011年四川省南充市高中素质技能邀请赛
数 学 试 题
一、选择题答案：(每小题5分，共计30分)
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
B
D
B
A
C
二、填空题答案：(每小题5分，共计50分)
7. 3 8. ______-18____
9.___ y=_______ 10．_____________
11．______________ 12．____(0, )__
13．___ ________ 14_________2S____
15．_____5_____________ 16. ②③④
三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤)
17.(本小题10分)设，求的值.
解：
而

原式=
18. (本小题12分)已知的两边的长是关于的一元二次方程
的两个实数根，第三边长为5.
（1）为何值时，是以为斜边的直角三角形
（2）为何值时，是等腰三角形，并求的周长
解：（1）因为是方程的两个实数根，
所以
又因为是以为斜边的直角三角形，且
所以,所以,
即，所以所以
当时，方程为，解得
当时，方程为，解得（不合题意，舍去）
所以当时，是以为斜边的直角三角形。
（2）若是等腰三角形，则有①②③
三种情况。
因为，所以，故第①种情况不成立。所以当或时,5是的根，
所以，解得
当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、4，周长是14
当时，所以，所以等腰的三边长分别为5、5、6，周长是16.
19. (本小题12分)在平行四边形中，为边上一点，与分别为和的平分线
（1）判断是什么三角形，并证明你的结论；
（2）比较与的大小；
A
P
B
D
C
（3）以为直径的⊙交于点，连接与交于，若，求证：∽,并求的值

解：（1）∥

又与分别为和的平分线[来源:Z,xx,k.Com]
是直角三角形。
（2）∥,

同理，
(3)
因为为⊙直径，
又∽

20. (本小题12分)已知是⊙的内接三角形，为⊙的切线，为切点，为直线上一点，过点做的平行线交直线于点，交直线于点
（1）当点在线段上时求证:
（2）当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？如果成立，请证明，否则说明理由；
A
B
O
T
PA
E
C
.
F
（3）若，求⊙的半径
解（1）证明：切⊙于点
∥,
∽

(2) 当点为线段延长线上一点时，第（1）题的结论任成立
H
C
PA
F
T
B
A
E
.

O
切⊙于点
∥,,

∽,,
(3)作直径，连接

切⊙于点

又因为为锐角,
在直角中，
即⊙的半径为3.
21. (本小题12分)如图所示，已知两点的坐标分别为(28,0)和（0,28），动点从点开始，在线段 上以每秒3个长度单位的速度向原点运动，动直线从轴开始，以每秒1个长度单位的速度向上移动（即∥轴），且分别与轴、线段交于点，连接，设动点与动直线同时出发，运动时间为[来源:学科网]
（1）当时，求梯形的面积，为何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
（2）当梯形的面积等于三角形的面积时，求线段的长；
x
y

O
P
A
E
F
B
（3）设的值分别取时（），所对应的三角形分别为和，判断这两个三角形是否相似，请证明你的结论.
解：（1）当时，
∥

[来源:Zxxk.Com]
，梯形的面积最大，最大面积是98
（2）
H2
F2
x
y

O
P
A
E
F
B
E2
P2
H1
当时，有（舍去）
过点作，垂足为

在中，
(3)相似，下面证明
分别过点，作，垂足分别为

又
且∽

O
P

M
D
C
B
A
x
y
22. (本小题14分)如图，已知点(-2,0) (-4,0)，过点的⊙与直线相切于点（在第二象限）,点关于轴的对称点是，直线与轴相交点
（1）求证：点在直线上
（2）求以为顶点且过的抛物线的解析式；
（3）设过点且平行于轴的直线与（2）中
的抛物线的另一交点为，当⊙与⊙ 相切时，
求⊙的半径和切点坐标[来源:学。科。网Z。X。X。K]
解：易知(-1,0)，.
与⊙相切于，是⊙的割线，
即
在第二象限, 点关于轴的对称点是 ,可得
从而直线的解析式为
当时，即点在直线上
（2）所求抛物线以为顶点，
抛物线的解析式可设为，将点坐标带入，可得
抛物线的解析式为
（3）过点且平行于轴的直线为
由和解得
以点为圆心且与⊙相切的圆有两种情况：外切或内切
当⊙与⊙外切时， ⊙的半径为2，点就是切点，
当⊙与⊙内切时，⊙的半径为6，点⊙是切点.

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