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13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题1、两点之间、两点之间 最短。最短。2、连接直线外一点与直线上各点的所有线段连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，中，最短。最短。3 3、三角形的三边有什么关系？、三角形的三边有什么关系？复习复习 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？你的理由是什么？两点之间两点之间,线段最短线段最短()两点在一条直线异侧已知：如已知：如图，A，B在直在直线L的两的两侧，在，在L上求一点上求一点P，使得，使得PA+PB最小。最小。P连接连接AB,线段线段AB与直线与直线L的交点的交点P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么什么这样做就能得到最短距做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.引言：引言：前面我前面我们研究研究过一些关于一些关于“两点的所有两点的所有连线中，中，线 段最短段最短”、“连接直接直线外一点与直外一点与直线上各点的所有上各点的所有线段段中，垂中，垂线段最短段最短”等的等的问题，我，我们称它称它们为最短路径最短路径问 题现实生活中生活中经常涉及到常涉及到选择最短路径的最短路径的问题，本，本节 将利用数学知将利用数学知识探究数学史中著名的探究数学史中著名的“将将军饮马问题”引入新知引入新知问题问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的从图中的A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然饮马，然后到后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知探索新知BAl追问追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？将将A，B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l 抽象为一抽象为一条直条直 线线 BAl追问追问1对于问题对于问题2，如何，如何将点将点B“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度的长度相等？相等？探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlA追问追问2你能利用轴对称的你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB的和最小？的和最小？BlA作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？BlABC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABC证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC =AC+BC=AB，AC+BC =AC+BC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？最短吗？BlABCC证明：证明：在在ABC中，中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即即AC+BC 最短最短1.如图，如图，A.B两地在两地在一条河的两岸，现要一条河的两岸，现要在河上建一座桥在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使，桥造在何处才能使从从A到到B的路径的路径AMNB最短？（假设最短？（假设河的两岸是平行的直河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直线，桥要与河垂直）ABMNE作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个河沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到到E E，2.2.连接接AEAE交河交河对岸与点岸与点M,M,则点点M M为建建桥的位置，的位置，MNMN为所建的所建的桥。证明明：由由平平移移的的性性质，得得 BNEM BNEM 且且BN=EM,BN=EM,MN=CD,MN=CD,BDBDCE,BD=CE,CE,BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若若桥的位置建在的位置建在CDCD处，连接接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则ABAB两地的距离两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE,AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以所以桥的位置建在的位置建在CDCD处，ABAB两地的路程最短。两地的路程最短。ABMNECD()一点在两相交直线内部已知：如已知：如图A是是锐角角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周成三角形，使三角形周长最小最小.BCDE分析：分析：当当ABAB、BCBC和和ACAC三条边的长度恰好能够体现在三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小一条直线上时，三角形的周长最小()一点在两相交直线内部已知：如已知：如图A是是锐角角MON内部任意一点，内部任意一点，在在MON的两的两边OM，ON上各取一点上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周成三角形，使三角形周长最小最小.分别作点分别作点A关于关于OM，ON的对称的对称点点A，A；连接；连接A，A，分别交，分别交OM，ON于点于点B、点、点C，则点，则点B、点点C即为所求即为所求