无穷区间上的反常积分简介PPT课件.ppt

6.4 无穷区间上的反常积分简介6.4.1 无穷区间上的反常积分的概念6.4.2 无穷区间上反常积分计算举例1例 1求由曲线 y=e-x，y 轴及 x 轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取 b 0,+)，在有限区间 0,b 上，以曲线 y=e-x为曲边的曲边梯形面积为by=e-x yxO(0,1)开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 一、无穷区间上的广义积分2y=e-xyxbO(0,1)即当 b +时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，3定义 1设函数 f(x)在 a,+)上连续，取实数 b a，如果极限 则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作记作即存在，否则称广义积分发散.4定义 2设函数 f(x)在(-,b 上连续，取实数 a b，如果极限 则称此极限值为函数 f(x)在无穷区间(-,b 上的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作记作即存在，否则称广义积分发散.5定义 3设函数 f(x)在(-,+)内连续，且对任意实数 c，如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之和为 f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，这时也称广义积分收敛，记作记作即都收敛，否则称广义积分发散.6若 F(x)是 f(x)的一个原函数，并记则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为7例例 2求求解解例例 3判断判断解解由于当 x +时，sin x 没有极限，所以广义积分发散.8例例 4计算计算解用分部积分法，得9例例 5判断判断解故该积分发散.102024/2/26 周一11例例 6证明反常积分证明反常积分 当 p 1 时，收敛；当 p 1 时，发散.证 p=1 时，则所以该反常积分发散.12当 p 1 时，综合上述，该反常积分收敛.当 p 1 时，该反常积分发散.p 1 时，则1314定 义 4设函数 f(x)在区间 (a,b 上连续，取 e 0，如果极限 则称此极限值为函数 f(x)在区间(a,b 上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且且记作记作即存在，二、无界函数的广义积分15定义 5设函数 f(x)在区间 a,b)上连续，取 e 0，如果极限 则称此极限值为函数 f(x)在区间 a,b)上的反常积分.这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.且且即存在，16定义 6设函数 f(x)在 a,b上除点 c (a,b)外连续，如果下面两个反常积分 则称这两个反常积分之和为函数 f(x)在区间 a,b 上的反常积分，这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.记作记作即都收敛，17若 F(x)是 f(x)的一个原函数，则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为18例例 7判断判断解故积分的收敛.-19例例 8讨论反常积分讨论反常积分解当 p=1 时，则故积分发散.当 p 1 时20综上所述，得：当 p 1 时，该反常积分收敛，212024/2/26 周一22