秋九年级数学上册 第3章 图形的相似 3.4 相似三角形的判定与性质教案 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

3．4　相似三角形的判定与性质
3．4.1　相似三角形的判定
第1课时　相似三角形的判定(1)
教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程．
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．
【教学重点】
三角形相似的判定定理及应用．
【教学难点】
三角形相似的判定定理及应用．
教学过程
一、情景导入，初步认知
现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？
【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．
二、思考探究，获取新知
1．在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？
(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？

【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．
2．如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似．

证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
3．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.
(1)∠C′＝∠C吗？
(2)分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？
(3)把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题．如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．
【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.

证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，
而∠BHF＝∠DHE，
∴∠D＝∠B，
又∵∠HED＝∠C＝90°，
∴△DEH∽△BCA.
三、运用新知，深化理解
1．见教材P78例2、P80例4.
2．判断题：
(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　　)
(2)所有的直角三角形都相似．(　　)
(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　　)
(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　　)
【答案】(1)√；(2)×；(3)×；(4)√
3．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽______∽________．

解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1＝∠4(对顶角)，由AB∥DG可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△EAB.
【答案】△EGC　△EAB
4．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.
求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B
＝180°－40°－80°
＝60°，
∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，
∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，
∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等，两三角形相似)
5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.

分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．
证明：∵∠A＝36°，
△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°，
在△ABC和△BCD中，
∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，
∴△ABC∽△BCD.

6．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．
求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.
证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ACD∽△ABC，(两角对应相等，两三角形相似)
同理△CBD∽△ABC，
∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法．从而得到提高．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题3.4”中第2题．
教学反思
通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明．

第2课时　相似三角形的判定(2)

教学目标
【知识与技能】
经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程．
【过程与方法】
让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．
【情感态度】
在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．
【教学重点】
掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．
【教学难点】
会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．
教学过程
一、情景导入，初步认知
问题：(1)相似三角形的定义是什么？
三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．
(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？
方法1：通过定义(不常用)；
方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；
方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．
【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望．
二、思考探究，获取新知
下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似．
1．我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？
2．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，＝＝k.
(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？
(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？
(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？
【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论．
【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
3．如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm，
∴＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠C＝∠F，
∴△ABC∽△DEF.
4．我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？
5．你能证明你的结论吗？
已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，
＝＝.
求证：△A′B′C′∽△ABC.

【教学说明】引导学生证明．
【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似．
6．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.

分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似．可以利用勾股定理来证明．
【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P82例6、P84例8.
2．如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等；
(2)△ADE∽△ACB，两角相等；
(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．
3．在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
(1)AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
(2)∠A＝38°，∠C＝97°，
∠A′＝38°，∠B′＝45°；
(3)AB＝2，BC＝，AC＝，
A′B′＝，B′C′＝1，A′C′＝.
解：(1)SAS，相似；
(2)AA，相似；
(3)SSS，相似．
4．如图，BC与DE相交于点O.问
(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE?
(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE?
(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导．)

解：(1)∵∠A＝∠A，
∴当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.
(2)∵∠A＝∠A，
∴当AC∶AE＝AB∶AD时，
△ABC∽△ADE.
5．如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC.

解：∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠B＝45°.
又∵∠MCN＝45°，
∠CNA＝∠B＋∠BCN＝45°＋∠BCN，
∠MCB＝∠MCN＋∠NCB＝45°＋∠BCN.
∴∠CNA＝∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
，
∴△BCM∽△ANC.
6．如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.

证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∴∠DBE＝∠CBA＝45°，
∴∠DBE－∠CBE＝∠CBA－∠CBE.
即∠ABE＝∠CBD，又＝＝，
∴△ABE∽△CBD.
7．在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F.试说明△AMD∽△EMB.

解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADB＝∠DBC，
∠MAD＝∠MEB，
∴△MAD∽△MEB.
8．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.

分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，如果再进一步证明＝，则问题得证．

证明：∵△ABD∽△ACE，
∴∠BAD＝∠CAE.
又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，
∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE.
∵△ABD∽△ACE，∴＝.
在△ABC和△ADE中，
∵∠BAC＝∠DAE，＝，
∴△ABC∽△ADE.
【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题．
教学反思
相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到．我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论．不能理解每个量所表示的含义．我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高．

3．4.2　相似三角形的性质
教学目标
【知识与技能】
理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系．
【过程与方法】
对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度．
【情感态度】
在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．
【教学重点】
相似三角形性质的应用．
【教学难点】
相似三角形性质的应用．
教学过程
一、情景导入，初步认知
1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？
2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3．相似三角形的判定方法有哪些？
【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备．
二、思考探究，获取新知
1．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？
【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B′，
又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.
你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
3．如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比．

解：∵△A′B′C′∽△ABC，
∴∠B′＝∠B，∠A′B′C′＝∠ABC，
∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠B′A′D′＝∠BAD，
∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)．
∴＝＝k.
根据上面的探究，你能得到什么结论？
【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
4．在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？
【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．
5．如图，△ABC∽△A′B′C′，′＝k，AD、A′D′为高线．
(1)这两个相似三角形周长比为多少？
(2)这两个相似三角形面积比为多少？

分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，
所以AB︰A′B′＝BC︰B′C′＝AC︰A′C′＝k.
由合比的性质可知，
(AB＋BC＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.
(2)由题意可知，
因为△ABD∽△A′B′D′，
所以AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.
因此可得，
△ABC的面积︰△A′B′C′的面积
＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k2.
【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论．学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法．
三、运用新知，深化理解
1．见教材P86例9、P88例11、例12.
2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且＝，B′D′＝4，则BD的长为____．
分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，＝，即＝，∴BD＝6.
【答案】6
3．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为(　　)
A．8，3　　　B．8，6　　　C．4，3　　　D．4，6
分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.
【答案】A
4．已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝________．
分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′＝1∶.
【答案】1∶
5．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的，那么边长应缩小到原来的____．
分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为，所以边长应缩小到原来的.
【答案】
6．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．
(1)则图中有几对相似三角形；
(2)若AD＝9cm，CD＝6cm，求BD；
(3)若AB＝25cm，BC＝15cm，求BD.

解：(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.
在△ADC和△ACB中，
∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB.
∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形．
(2)∵△ACD∽△CBD，∴＝，
即＝，∴BD＝4cm.
(3)∵△CBD∽△ABC，∴＝，∴＝，
∴BD＝＝9cm.
7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.
(1)求证：△CDF∽△BGF；
(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6cm，EF＝4cm，求CD的长．

(1)证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，
∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，
∴△CDF∽△BGF.
(2)由(1)知△CDF∽△BGF，
又F是BC的中点，∴BF＝FC，
∴△CDF≌△BGF，
∴DF＝FG，CD＝BG.
又∵EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG.
.∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2，
∴CD＝BG＝2cm.
8．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.
分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．
解：设△ABC的三边依次为：
BC＝5，AC＝12，AB＝13，
∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.
又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.
＝＝＝＝，
又BC＝5，AC＝12，
∴B′C′＝10，A′C′＝24.
∴S＝A′C′×B′C′＝×24×10＝120.
9．(1)已知＝＝，且3x＋4z－2y＝40.求x，y，z的值；
(2)已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．
分析：(1)用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；
(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解．
解：(1)设＝＝＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，
∴6k＋20k－6k＝40，
∴k＝2，∴x＝4，y＝6，z＝10.
(2)设一个三角形周长为Ccm，
则另一个三角形周长为(C＋560)cm，
则＝，
∴C＝240，C＋560＝800，
即它们的周长为240cm，800cm.
【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力．
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
课后作业
布置作业：教材“习题3.4”中第6、7、9题．
教学反思
本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想．