第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛,初二组二试试题及解答.doc

第九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
初二组二试试题及解答

1．一块四边形绿地（如图），求这块绿地的面积。（用表示）。

2.计算

原式=

3。同初一组二试第3题。

4．小明与小华做游戏，记分规则如下：开始每人记分牌上都是1分，以后每赢一次，就将记分牌上的分数乘以3。游戏结束后，小明的得分减去小华的得分恰好为675的整数倍。问：小明至少比小华多赢多少次？
解。设小明赢 m次，小华赢n次，则

答。小明至少比小华多赢20次。

5．同小学组二试第6题。

6．如图，长方阵，行距和列距都是1。第6列上(除与第0行相交处外)，每一个阵点上放有一个靶标，而前5列上所有的阵点上都放有障碍物。神枪手站在第0行第0列的位置，要击中靶标，必须先扫清子弹前进弹道（直线）上的一切障碍物。若神枪手每发子弹都能击中目标，而且每发子弹能击毁且仅能击毁一个障碍物。那么
1）不需要扫除障碍物就能击中的靶标有多少个？
2）要扫清一个障碍物才能击中的靶标有多少个？
3）将全部靶标击中（击中靶标前，要先击毁阻碍子弹前进的所有障碍物），需要多少发子弹（不能浪费子弹）？
解。我们将第x列第y行的阵点记为(x,y).
在（6，a）处有一个靶标，从(0,0)到(6,a)的
直线上若有阵点B(x,y)(如下图),
则连接OA, B点在OA上，
连接BC.，此即

，令最大公约数

AB线段上共有d-1个阵点。因此，在击毁靶标(6,a)之前，先要清除d-1个障碍物。
所以，要击毁靶标(6,a)就要用d发子弹。
1） 若, 且最大公约数(6,a)=1, 则靶标(6,a)只需要1发子弹就能击毁。不超过100的自然数中，既不能被2整除，也不能被3整除的数与6互质。
1到100的自然数被2整除的数的个数=100/2=50；
1到100的自然数被3整除的数的个数=[100/3]=33；
1到100的自然数被6整除的数的个数=[100/6]=16。
故1到100的自然数或被2整除，或被3整除的数的个数=50+33-16=67。因此，100以内的自然数与6互质的数的个数=100-67=33，即有33个靶标只需要一发子弹就能击毁。
2） 若靶标(6,a) 前面只有一个障碍物，那么最大公约数(6,a)=2。
100以内的自然数，能被2整除，但不能被6整除的数有50-16=34个.
所以，用两发子弹就能清除的靶标有34个。
3）在1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=3的数a有33-16=17个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用3发子弹。
1到100的自然数中满足最大公约数(6,a)=6的数a有16个，所以要击毁这样的靶标，每个都要用6发子弹。故而，击毁所有靶标要用
（发）子弹。