有限元方法.ppt
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1、有限元方法有限元方法2 有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数有限元法是求解偏微分方程问题的一种重要数值方法,它的基础分两个方面:一是变分原理,值方法,它的基础分两个方面:一是变分原理,二是剖分插值二是剖分插值 从第一方面看,从第一方面看,有限元法是有限元法是Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法的一种变形方法的一种变形它提供了一种选取它提供了一种选取“局部基函局部基函数数”的新技巧,从而克服了的新技巧,从而克服了Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法方法选取基函数的固有困难选取基函数的固有困难 从第二方面看,从第二方面看,它是差分方法的一种变形它是差分方
2、法的一种变形差分法是点近似差分法是点近似,它只考虑在有限个离散点上函,它只考虑在有限个离散点上函数值,而不考虑在点的邻域函数值如何变化;数值,而不考虑在点的邻域函数值如何变化;有有限元方法考虑的是分段(块)的近似限元方法考虑的是分段(块)的近似因此有限因此有限元方法是这两类方法相结合,取长补短而进一步元方法是这两类方法相结合,取长补短而进一步发展了的结果在几何和物理条件比较复杂的问发展了的结果在几何和物理条件比较复杂的问题中,有限元方法比差分方法有更广泛的适应性题中,有限元方法比差分方法有更广泛的适应性37.7.两点边值问题的有限元方两点边值问题的有限元方法法 本节以两点边值问题为例,并从本节
3、以两点边值问题为例,并从RitzRitz法和法和GalerkinGalerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程想及解题过程.7.1 7.1 基于基于RitzRitz法的有限元方程法的有限元方程 考虑两点边值问题考虑两点边值问题其中,其中,4 1.1.写出写出RitzRitz形式的变分问题形式的变分问题 与边值问题与边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)等价的变分问题是:等价的变分问题是:求求 ,使,使其中,其中,(7.37.3)式式(7.3)(7.3)是应用有限元法求解边值问题是应用有限元法求解边值问题(7.1)(7.1)、(7
4、.2)(7.2)的出发点的出发点.5 2.2.区域剖分区域剖分 剖分原则与差分法相同,即将求解区域剖分成若剖分原则与差分法相同,即将求解区域剖分成若干个互相连接,且不重叠的子区域,这些子区域称干个互相连接,且不重叠的子区域,这些子区域称为为单元单元单元的几何形状可以人为选取,一般是规单元的几何形状可以人为选取,一般是规则的,但形状与大小可以不同对于一维情形最为则的,但形状与大小可以不同对于一维情形最为简单简单.将求解区间 分成若干个子区间,其节点为每个单元 的长度为 .单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小,可根据问题的物理性质来决定,一般来说,在物理量变化剧烈的地方,单元尺寸要相对小一些
5、,排列要密一些.6 设 为 的有限维子空间,它的元素为 .要构造 ,只需构造单元基函数 .构造单元基函数所遵循的原则是:其中,是单元节点序号为 的节点.(1)每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同,每个节点对应一个基函数,本例中,单元 有两个节点,因此基函数有两个.(2)基函数应具有性质7 3.3.确定单元基函数确定单元基函数 有限元法与有限元法与Ritz-GalerkinRitz-Galerkin方法的主要区别之一,方法的主要区别之一,就在于就在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的有限元方法中的基函数是在单元中选取的由于各个单元具有规则的几何形状,而且可以不必由于各个单元具有规则的几
6、何形状,而且可以不必考虑边界条件的影响,因此在单元中选取基函数可考虑边界条件的影响,因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则遵循一定的法则891011 (7.6)令 4.4.形成有限元方程形成有限元方程便得到确定 的线性代数方程组称式(7.5)为有限元方程有限元方程.12 (7.8)(7.7)值得注意的是,在实际计算中,并不是按照上述值得注意的是,在实际计算中,并不是按照上述步骤形成有限元方程的,而是步骤形成有限元方程的,而是先先进行进行单元分析单元分析,即,即在单元上建立有限元特征式,然后在单元上建立有限元特征式,然后再再进行进行总体合成总体合成,即将各单元的有限元特征式进行累加,合成为有限即
7、将各单元的有限元特征式进行累加,合成为有限元方程具体过程如下:元方程具体过程如下:第一步:单元分析单元分析.注意到作变换13 (7.10)并引入记号其中,.于是或写成 (7.9)其中,.从而有 (7.11)这里 (7.12)称为单元刚度矩阵单元刚度矩阵,其中 (7.13)(7.16)(7.14)式中 (7.15)将式(7.11)、(7.14)代入式(7.7),便有对式(7.7)右端第二项积分,有这样,我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式:于是有第二步:第二步:总体合成总体合成.总体合成就是将单元上的有总体合成就是将单元上的有限元特征式进行累加,合成为总体有限元方程限元特征式进行累加,合成
8、为总体有限元方程.这一过程实际上是将单元有限元特征式中的系数矩阵(称为单元刚度矩阵)逐个累加,合成为总体系数矩阵(称为总刚度矩阵);同时将右端单元荷载向量逐个累加,合成为总荷载向量,从而得到关于的线性代数方程组为此,记从而式(7.16)右端第一个和式为 (7.17)其中(未标明的元素均为0)这就是总刚度矩阵总刚度矩阵对式(7.16)右端第二个和式,有其中这就是总荷载向量总荷载向量.从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出,的计算,实际上是把 中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加,的计算也是如此我们引入 ,只是为了叙述方便,实际上,在编制程序时并不需要显然,方程组(7.18)的系数矩阵
9、是对称正定的三对角矩阵,因此可采用追赶法求出 在节点上的近似值 .(7.18)其这样,就可将式(7.16)写成因此,有限元方程为197.7.两点边值问题的有限元方两点边值问题的有限元方法法 本节以两点边值问题为例,并从本节以两点边值问题为例,并从RitzRitz法和法和GalerkinGalerkin法两种观点出发来叙述有限元法的基本思法两种观点出发来叙述有限元法的基本思想及解题过程想及解题过程.7.1 7.1 基于基于RitzRitz法的有限元方程法的有限元方程7.2 7.2 基于基于GalerkinGalerkin法的有限元方程法的有限元方程 从从GalerkinGalerkin法出发形成
10、有限元方程的过程与前法出发形成有限元方程的过程与前面完全一样,针对边值问题面完全一样,针对边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)所得到的所得到的结果也是一致的但是从结果也是一致的但是从GalerkinGalerkin法出发形成的有法出发形成的有限元方程限元方程更具一般性更具一般性,它不仅适用于对称正定的算,它不仅适用于对称正定的算子方程,而且也适用于非对称正定的算子方程,所子方程,而且也适用于非对称正定的算子方程,所以我们今后主要是依据这一观点建立有限元方程以我们今后主要是依据这一观点建立有限元方程20与边值问题与边值问题(7.1)(7.1)、(7.2)(7.2)等价的等价的Gal
11、erkinGalerkin变分问变分问题是:题是:求求 ,使得,使得 (7.19)(7.19)其中其中仍用分段线性函数构成的试探函数空间仍用分段线性函数构成的试探函数空间 替代替代 ,将,将代入代入(7.19)(7.19),则得到,则得到 所满足的线性代数所满足的线性代数方程组方程组 (7.20)(7.20)这和方程组这和方程组(7.6)(7.6)是完全一样的是完全一样的.与容易看出,方程组与容易看出,方程组(7.20)(7.20)的系数矩阵就是总刚的系数矩阵就是总刚度矩阵在总刚度矩阵形成的过程中,注意到度矩阵在总刚度矩阵形成的过程中,注意到 (7.21)(7.21)而而从而有从而有即即故有故
12、有这就是有限元方程这就是有限元方程(7.18).(7.18).由上述看出,按由上述看出,按GalerkinGalerkin法推导有限元方程更加法推导有限元方程更加直接方便尤其重要的是按这一观点推导的有限直接方便尤其重要的是按这一观点推导的有限元方程,不仅适用于元方程,不仅适用于定常的定常的微分方程定解问题,而微分方程定解问题,而且也适用于且也适用于不定常的不定常的微分方程定解问题,因此具有微分方程定解问题,因此具有广泛的适应性广泛的适应性例例7.1 7.1 用有限元方法解边值问题用有限元方法解边值问题将区间将区间0,10,1等分成等分成4 4个单元个单元.解解 利用上述分析结果,我们只需构造出
13、单元刚利用上述分析结果,我们只需构造出单元刚度矩阵和单元荷载向量,然后合成为总刚度矩阵和度矩阵和单元荷载向量,然后合成为总刚度矩阵和总荷载向量总荷载向量注意到注意到(7.13)和和(7.15),并将,并将 形成单元形成单元 上的中点值上的中点值 则不难得到则不难得到其中,其中,单元,单元 的中点为的中点为 于是有于是有如果把单元刚度矩阵如果把单元刚度矩阵 和单元荷载向量和单元荷载向量 “扩大扩大”,便得到,便得到 和和 为为类似地,可写出类似地,可写出 和和 .然后进行叠加,便得到总刚度矩阵和总荷载向量:然后进行叠加,便得到总刚度矩阵和总荷载向量:依边界条件依边界条件 即即 在在 中划去首末两
14、行中划去首末两行和首末两列,在和首末两列,在 中划去首末两行,便得到如下中划去首末两行,便得到如下线性代数方程组:线性代数方程组:解之,得解之,得8.8.二维椭圆边值问题的有限二维椭圆边值问题的有限元方法元方法 用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与用有限元方法求解二维椭圆边值问题的过程与两点边值问题的有限元方法大体相同,只是在具体两点边值问题的有限元方法大体相同,只是在具体处理时比一维情形更复杂些考虑如下椭圆型方程处理时比一维情形更复杂些考虑如下椭圆型方程的第一边值问题:的第一边值问题:(8.1)(8.1)(8.2)(8.2)其中,其中,是是 平面的一个有界域,其边值平面的一个有界域,其边
15、值 是分段是分段光滑的简单闭曲线光滑的简单闭曲线.以下我们从以下我们从GalerkinGalerkin法出发,叙述有限元求解问法出发,叙述有限元求解问题题(8.1)(8.1)、(8.2)(8.2)的全过程的全过程与边值问题与边值问题(8.1)(8.1)、(8.2)(8.2)等价的等价的GalerkinGalerkin变分问变分问题是:题是:求求 ,使得,使得 (8.3)(8.3)其中其中8.1 8.1 区域剖分区域剖分正如前章所言,对高维区域的剖分与对一维区域正如前章所言,对高维区域的剖分与对一维区域的剖分有很大不同的剖分有很大不同.对对一维区域一维区域无论作哪一种剖分,无论作哪一种剖分,其其
16、单元仍然是一个区间单元仍然是一个区间,对不同的剖分只是区间长对不同的剖分只是区间长度不同而已度不同而已.对高维区域而言,不同的剖分其对高维区域而言,不同的剖分其单元的形状各异单元的形状各异,如对二维区域,剖分后的子区域可以是如对二维区域,剖分后的子区域可以是三角形、矩三角形、矩形或四边形形或四边形.限于篇幅,本书只讨论剖分后所得的子限于篇幅,本书只讨论剖分后所得的子区域是三角形的情况,这种剖分称为区域是三角形的情况,这种剖分称为三角形剖分三角形剖分.将区域将区域 划分成有限个三角形单元,剖分方法划分成有限个三角形单元,剖分方法见前章,那里曾假定剖分的单元应是见前章,那里曾假定剖分的单元应是锐角
17、三角形锐角三角形现在我们去掉这一限制,现在我们去掉这一限制,只假定不同的单元是无重只假定不同的单元是无重叠的内部,且单元的顶点不是其它单元边的内点叠的内部,且单元的顶点不是其它单元边的内点当然还要当然还要尽量避免出现大钝角的三角形尽量避免出现大钝角的三角形在物理量在物理量变化剧烈的地方,单元要划分得细密一些,变化缓变化剧烈的地方,单元要划分得细密一些,变化缓和的地方,划分得稀一些和的地方,划分得稀一些划分好单元之后,要对单元和节点进行编号设划分好单元之后,要对单元和节点进行编号设 是区域中的单元总数,将全区域中的单元统一编号,是区域中的单元总数,将全区域中的单元统一编号,单元号记为单元号记为
18、全区域中的节点也要按一全区域中的节点也要按一定的顺序统一编号,记全区域中共有定的顺序统一编号,记全区域中共有 个节点,节个节点,节点号记为点号记为节点编号的一般原则是尽可能使同一单元内的节点节点编号的一般原则是尽可能使同一单元内的节点号比较接近以后可以看到,单元内节点序号的差号比较接近以后可以看到,单元内节点序号的差值决定了总体系数矩阵的带宽值决定了总体系数矩阵的带宽8.2 8.2 确定单元基函数确定单元基函数与一维情形一样,为了构造试探函数空间与一维情形一样,为了构造试探函数空间 我我们只需在每个单元上构造插值基函数这里,我们们只需在每个单元上构造插值基函数这里,我们仅考虑三角形单元上的线性
19、插值函数为了便于后仅考虑三角形单元上的线性插值函数为了便于后面积分的计算,我们先将直角坐标转换为面积坐标面积分的计算,我们先将直角坐标转换为面积坐标.1.1.面积坐标及有关公式面积坐标及有关公式(1)(1)面积坐标的定义面积坐标的定义设设 是以是以 为顶点的为顶点的任意三角形单元,面积为任意三角形单元,面积为 ,我们,我们规定规定 的次序按逆时针方向排列的次序按逆时针方向排列在在 中中(图图8.1)8.1)任意一点任意一点 的位置,可用它在直角坐标系的位置,可用它在直角坐标系 中的两个坐标值中的两个坐标值 来确定来确定.图(8.1)如果我们过点如果我们过点 作与三个顶点的连线,形成三个作与三个
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