数学思维的严密性.doc

校本课程---数学思维与方法（三）
第三讲 数学思维的严密性
一、概述
在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：
概念模糊 概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。
判断错误 判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。
推理错误 推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。
例如，解不等式
解
或 这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，理由不充分，所以出错。

二、思维训练实例
思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。
(1) 有关概念的训练
概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”
例1、 不等式
错误解法

错误分析 当时，真数且在所求的范围内（因 ），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。
正确解法

例2、 求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得：
整理得 直线与抛物线仅有一个交点，
解得所求直线为
错误分析 此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
设所求的过点的直线为则
， 令解得所求直线为
综上，满足条件的直线为：

(2) 判断的训练
造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。
①注意定理、公式成立的条件
数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。
例3、 实数，使方程至少有一个实根。
错误解法 方程至少有一个实根，

或
错误分析 实数集合是复数集合的真子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。
正确解法 设是方程的实数根，则

由于都是实数，

解得

②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用
我们知道：
如果成立，那么成立，即，则称是的充分条件。
如果成立，那么成立，即，则称是的必要条件。
如果，则称是的充分必要条件。
充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。
例5 解不等式
错误解法 要使原不等式成立，只需
解得
错误分析 不等式成立的充分必要条件是：或
原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽视了另一种情况，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。
正确解法 要使原不等式成立，则
·P
·
C(3,0)
y
x
O
图3－2－1
M
N
或
，或
· 原不等式的解集为

例6（轨迹问题）求与轴相切于右侧，并与
⊙也相切的圆的圆心
的轨迹方程。

错误解法 如图3－2－1所示，
已知⊙C的方程为
设点为所求轨迹上任意一点，并且⊙P与轴相切于M点，
与⊙C相切于N点。根据已知条件得
，即
化简得
错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是
。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。

③防止以偏概全的错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
例7 设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.
错误解法

错误分析 在错解中，由
时，应有在等比数列中，是显然的，但公比完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。
正确解法 若，则有
但，即得与题设矛盾，故.
又依题意
可得
即
因为，所以所以
所以
说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。

④避免直观代替论证
我们知道直观图形常常为我们解题带来方便。但是，如果完全以图形的直观联系为依据来进行推理，这就会使思维出现不严密现象。
例8 （如图3－2－2），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。

错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，
在内的焦点坐标是
因为二面角等于，
且所以
设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，
从而
所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。
所以曲线在内的射影的曲线方程是
错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为
。
正确解法 在内，设点是曲线上任意一点

O

·
图3－2－3
M
N
H
（如图3－2－3）过点作，垂足为，
过作轴，垂足为连接，
则轴。所以是二面角
的平面角，依题意，.
在
又知轴（或与重合），
轴（或与重合），设，
则
因为点在曲线上，所以

O

·
图3－2－2
即所求射影的方程为
(3) 推理的训练
数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。
例9 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。
错误解法 依题意可设椭圆方程为
则 ，
所以 ，即
设椭圆上的点到点的距离为，
则

所以当时，有最大值，从而也有最大值。
所以 ，由此解得：
于是所求椭圆的方程为
错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：
若，则当时，（从而）有最大值。
于是从而解得
所以必有，此时当时，（从而）有最大值，
所以，解得 于是所求椭圆的方程为
例10 求的最小值
错解

正确解法 取正常数，易得

其中“”取“＝”的充要条件是

因此，当

8