数论2-5(学生用).doc

小升初培训教材
数 论

　　[知识要点]小学升初考试中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。主要的结论有：
　　1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得
　　a=bq+r（0≤r＜b），
　　且q，r是唯一的。
　　特别地，如果r=0，那么a=bq。这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
　　2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
　　3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

　　其中p1＜p2＜…＜pk为质数，a1，a2，…，ak为自然数，并且这种表示是唯一的。（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
　　4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：
　　d（n）=（a1+1）（a2+1）…（ak+1）。
　　5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按数论题的内容来分类讲解。
第一节 整除
【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。
数整除的特征
数
特点
被2整除
一个整数的个位是0,2,4,6,8中的某一个
被3（或者9）整除
一个整数的各位数字之和能被3（或者9）整除
被5整除
一个整数的末尾不是5就是0
被4(或者25)整除
一个整数的末两位能被4(或者25)整除
被8(或者125)整除
一个整数的末三位能被8(或者125)整除
被11整除
一个整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（较大数减较小数）能被11整除
被7(或者11或者13)整除
一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（较大数减较小数）能被7，11，13整除。

【例题精讲】
例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了□13.7□元，你能帮忙补上□中数字吗？

练习1.马虎的采购员，买了72只桶，洗衣服时将购货发票洗烂了，只能依稀看到72只桶共 □67.9□元，□内的字迹已经看不清楚，请帮他算一下一共多少钱？

例2.在算式中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表相同的数，求这个五位数是多少？

练习2.一个六位数，他的个位数字是6，将6移动到最前面，所得的数是原数的4倍，求这个六位数。

例3.从0,3,5,7,这4个数中任选3个，组成没有重复数字的三位数，在组成的数中能同时被2、3、5整除的数有多少个？

练习3.从1、2、3、4、5中任取3个数组成没有重复数字的三位数，在这些三位数中能同时被2和9整除的数有多少个？
【综合练习】
1.学校李老师一共买了28支价格相同的钢笔，共付人民币9□. 2□元，已知 □处的数字相同，请问每支铅笔多少钱？

2. 已知是45的倍数，求所有满足条件的六位数。

3. 小明在一张纸上写下了一个没有重复数字的五位数，9□4 □5，其中十位数字和千位数字都看不清楚了，但已知这个数能被75整除，那么满足上述条件的五位数中，最大的一个数是多少？

4.在25 □79这个数的□内填上一个数字，使这个数能被11整除，问□应填几？

5. 五位数能被3整除，它的末三个数字组成的数能被2整除，求这个五位数？

6.已知六位数□8919□能被33整除，那么这个六位数是多少？

7.一个六位数23□56□是88的倍数，这个数除以88商多少？

8.有一个整数，用它去除70、110、160等到三个余数之和是50，求此整数。

9. 有一个正整数是一个有2008位的数，且是9的倍数，数字之和是A,A的数字之和是B，B的数字之和是C,求C是多少？

第二节 质数与合数的应用
【专题简析】
根据质数、合数的意义，解答与质数合数有关的问题，学习这部分内容，首先要记住20以内、100以内的质数，有利于顺利解题。
【例题精讲】
例1分别判断251，539是质数还是合数？

例2 A是一个质数，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是质数，试求出满足要求的最小质数A。

例3如图，四个小三角形顶点处有6个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20。而且每个小三角形顶点圆圈的数之和相等，问这6个质数的积是多少？

【基础练习】
1．试判断507，619，667是质数还是合数？

2．（1）如果两个质数的和是1999，那么这两个质数的积是多少？

（2）如果三个质数和是130，那么这三个质数的积最大是多少？

3．写出50以内5个连续自然数，要求每个数都是合数。

4.A是一个质数，且A+4，A+6，A+10都是质数，试求出满足要求的最小质数A。

5．把一个一位数的质数A，写在另一个两位质数B的后面，得到一个三位数，这个三位数是A的119倍，求A和B。

6．把一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除，试求出所有这样的质数对。

7．填出下面加法算式中的6个质数。

8 质 9
+ 质 6 质
1 质 质 质

【拓展提高】
1．（1）写出5个质数，按从大到小的顺序排列，每相邻两数差是12。

（2）写出7个连续自然数，要求每个数都是合数。

2．判断数6666667111111是质数还是合数？

3．判断数1111…121111…1是质数还是合数。

1998个1 1998个1

4.判断20032003－2003是质数还是合数。

5.a,b,c都是质数，c是一位数，且a×b＋c=1993，那么a＋b＋c的和是多少？

6．一个长方体，它的正面和上面面积之和是299平方厘米，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？

7．有标号是1—9数字的9张卡片，甲、乙、丙三人每人拿了3张卡片，甲的3张卡片数的积是48，乙的3张卡片上数的和是15，丙的3张卡片上数的积是63，问甲、乙、丙各拿了哪3张卡片？

8．把1—10这10个数字围成一个圆圈，使每相邻两个数的和都是质数。

9．有一个数，如果它的数字倒排以后，所得的数仍是这个数，这个数称为回数，如1991就是这样的年份，回数具有如下两个性质：（1）1991是一个回数；（2）1991是一个两位质数回数和一个三位质数回数的积。在1000年到2000年之间的1000年中，除了1991外，具有性质（1）（2）的年份有哪些？

10．有四个相同的瓶子里分别装有不同重量的酒，每瓶与其他各瓶分别合称一次，重量分别是8，9，10，11，12，13千克。已知4只空瓶重量之和及酒的重量之和均是质数，最重的两瓶内共有多少酒？
第三节 分解质因数
【专题简析】分解质因数常常运用在实际生活中，在许多竞赛题中初看起来很难，但它都与乘积有关，对于这类题目我们可以用分解质因数的方法来解答，因此掌握并灵活应用分解质因数的的知识能解答许多一般方法不能解答的问题。要注意的是在分解质因数的过程中“2”是很特别的，他是质数中唯一一个偶数，而且还经常结合数的奇偶性来考。注意特例（1001=7×11×13）
【例题精讲】
例1.将12个苹果平均分成若干份，共有多少种分法？

练习1.有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人，那么共有多少种分法？

例2.五个连续自然数的乘积是15120.那么这五个自然数的和是多少？

练习.有4个小孩，恰好一个比一个大一岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的有多少岁？

例3.在下面的算式里,□里的数字各不相同，求这四个数字的和。
□□×□□ =1995

练习3.下面四张小纸片各盖上了一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请将下面的算式补充完整。□×□×□×□=5760

例4.一个两位数除310余37，这个数可以是多少？

练习4. 237除以一个两位数，所得的余数是6，满足这个条件的两位数有哪些？

例5.两个质数的和是39，求这两个质数的积。

练习5.两个质数的和是99，求这两个数的积。

例6.有4个人他们都属虎，年龄之积是27664，求这4个人的年龄分别是多少？

练习6.有6个人，他们都属龙，年龄之积是17597125，那么他们的年龄之和是多少？

例7.十个非零且不相等的自然数的和是2002，那么这十个非零自然数的公约数最大是多少？

例8.一个正整数能分成3个不同质数的积，如果这3个质数的平方和是150，求这个正整数？

练习8：一个正整数能分成3个不同质数的积，如果这3个质数的平方和是1710，求这个正整数？

例9.有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个数的和是2886，求这6个三位数中最小的一个是多少？

练习9：有3个数字能组成6个不同的3位数，这6个数的和是1776，求这6个三位数中最小的一个是多少？

【综合练习】
1、 甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲乙两数分别是多少？

2、 四个连续奇数的积是19305，求这四个奇数的和。

3、在下面算式框内各填上一个不同的数字，使算式成立。
× =1995

4. 5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？

5.三个质数的和是80，求这三个质数的积。

6.已知三个质数的平方和是7950，求这三个质数的积。

7.已知两个数的和是60，最小公倍数是273，求此两数分别是多少？

8.有四个数字能组成6个不同的四位数，这6个数的和是18666，求这6个三位数中最小的一个是多少？

9.主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰恰是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案！”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子，说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了！”请问，主人家的楼号是多少？三个孩子的年龄分别是多少？

第四节 余数问题
【专题简析】
在整数除法中，当不能整除时，就产生余数。a÷b=c……d(0<d<b)是带余除法的基本形式。
如果两个自然数a,b同除以自然数m，所得余数相同，称作a与b对于模m同余，记作a≡b（mod m）。如17与32被5除，余数都是2，即17≡32（mod 5）。
【例题精讲】
例1被除数、除数、商与余数之和是1100，已知余数是9，商是18，求被除数和除数。

例2写出除109后余4的全部两位数。

例3有一个不等于1的整数，它除967，1000，2001得到相同的余数，那么这个整数是多少？

例4在1与3000之间同时被3，5，7除都余2的数有多少个？

例5自然数16510，14893和14167除以m的余数相同，求m的最大值。

【基础练习】
1．一个整数分别去除75,125,201，所得的三个余数之和为31，问：这三个余数中最小的一个是多少？

2． 719除以一个两位数，余数4，问这样的两位数有多少个？

3．两个数相除，商为8，余数为16，被除数、除数与商的和是555，除数是几？

4.求111…11被13除的余数。
2001个1

5.求2579×367＋3325×1303－255×853除以11的余数。

6.自然数a（a〉1）除124，200，352后得到相同的余数，这个自然数最大是几？

7.在1—1000之间同时被2，3，7除都余1的数有多少个？

8.自然数a除以4余1，自然数b除以4余2，那么a+b的和除以4余几？

【拓展提高】
1．用47去除某数余13，被除数与商之和为8605，求被除数。

2．小红在计算一道除法题时，把被除数211错写成121，结果商少了10，而余数相同，求该除法题中的除数。

3． 1363除以一个数，商59，且除数比余数大17，求除数和余数。

4．有一个整数分别去除721，271，127，都有余数，三个余数之和是44，求这个数。

5．在一张纸上连续写下：2012201120102009……321.把第一个数字2乘以2加上第二个数字0，然后再乘以2加上第三个数字1，再乘以2加上第四个数字2，……，一直到最后一个数字1，得到一个新数，这叫一次操作，若干次操作后，得到一个1位数，请问这个一位数是几？

6. 写出5个大于零的不同自然数，使其中任意三个自然数的和能被3整除，这5个自然数的和最小是多少？

7. 437×437×…×437－40除以23的余数是多少？
1994个437

8.把310粒糖果分给五（1）班的同学，如果每个同学分得相同数量的糖果后还余下37粒且不够继续分，那么全班有多少人？

9．求3232＋6464＋8888被4除的余数。

10．分数化成小数后，小数点后面第8888位上的数字是几？

11.今天是星期天，再过19591999天是星期几？

12．求11512＋7880＋3320除以11的余数。

13．下面的七张数字卡片中，有3张是未知整数，这3个未知整数都是3的倍数，并且这3个整数的和是180.有3个同学，每人取走2张卡片，各自的两张卡片上的数字之和都相同，请问剩下的1张卡片上写的数字是几？

14、在黑板上写着数字1,2,3,4，……2011。然后从所写的数字中擦出某些数字，同时写上它们的数字之和除以7的余数。这叫一次操作。若干次操作后，在黑板上剩下的两个数中，其中一个数是100，那么剩下的另外一个数是多少？

15.计算1333＋2×1333＋3×1333＋…＋1333×1333被7除的余数。

16、如果一个101位数333…3N555…5，这个数能被7整除，那么N等于多少？
50个3 50个5
第五节 数论常见考题分析
【常考题型1：奇偶性及应用】
模拟题1：有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？

模拟题2：试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

模拟题3：桌子上有11个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的6个，问能否经过若干次翻动，使得11个杯子的开口全都向下？

模拟题4：甲，乙，丙三名选手参加长跑比赛．起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙，甲与丙的位置次序共交换13次．比赛结果甲是第几名？

【常考题型2：整数的整除】
模拟题1：已知自然数A的各个数位上的数码之和与3 A的各个数位上的数码之和相等，证明A必能被9整除。

模拟题2：两个四位数A275和275B的乘积能被72整除，求A和B。

模拟题3：是一个三位数。它的百位数字是4，+9能被7整除，-7能被9整除，那么是多少？
模拟题4：要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，那么A=_______，B=________C=_______

【常考题型3：质数、合数与分解质因数】
模拟题1：一个5位数，它的各位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？

模拟题2：将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。（7543）

模拟题3：已知□△×△□×□〇×☆△=□△□△□△，其中□、△、〇、☆分别表示不同的数字，那么四位数〇△□☆是多少？（7132）

模拟题4：A、B两数都只含有质因数3和2，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有8个约数，那么A+B=______.

【常考题型4：约数与倍数】
模拟题1：在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

模拟题2：已知3☆7×2□△4是891的倍数，其中☆、□、△各代表一个不同的数字，那么三位数☆□△代表的是多少？

模拟题3：甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?

模拟题4：李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组,总共种树667棵,如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____人.

【常考题型5：余数问题】
模拟题1：有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25.这3个余数中最大的一个是多少？

模拟题2：一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

模拟题3：一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是______

模拟题4：一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少

【常考题型6：位值原理】
模拟题1：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

模拟题2：一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍于25之差，求这个数

模拟题3：a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？

模拟题4：有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。

【常考题型7：完全平方数】
模拟题1：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

模拟题2：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方

模拟题3：求证：11,111,1111,……这串数中没有完全平方数

模拟题4：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元？

【综合练习】
1、甲、乙、丙三个数分别为603,939,393，某数A除甲所得的余数是A除乙数所得余数的两倍，A除乙数所得的余数是A除并数所得余数的两倍，则A等于几？

2、把1开始的整数一次写下去，一直到189位上，12345678910111213……，那么这个数用9除的余数是多少？

3、有些四位数是7的倍数，且将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被3整除，后面的数能被5整除，那么所有这样的数中最小的一个是多少？

4、三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，和，将它连续重复写99次成为：。如果此数能被91整除，那么这个三位数是多少？

5、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号？

6、将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数，已知这两个三位数的乘积等于55872，那么，这两个三位数的和为多少？

7、从1到300中所有能被3整除的数相乘所得的乘积末尾有多少个0？

8、各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？

9、从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

10、一个数乘2是4的倍数，乘3是9的倍数，乘4是16的倍数，乘5是25的倍数，乘6是36的倍数，乘7是49的倍数，乘8是64的倍数，乘9是81的倍数.这个数最小是多少？

11、爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？

12、大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米。由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印。求圆形花圃的周长。

13、有一个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数。

14、某个五位数与20万的和的3倍，与这个五位数的右端添加一个数字2所得的数相等，这个五位数是多少？

15、 爷爷和孙子两人从同一地点反向绕一条环形公路跑步，第一相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈要6分钟，爷爷跑一圈的时间是偶数，爷爷跑一圈要多少分钟？

16、六年级五个班共植树100棵，每个班植树棵数都不同且按由多到少的顺序排列为：一、二、三、四、五班。一班植树棵数刚好等于二、三班植树棵数和，二班植树棵数刚好等于四、五班植树棵数和，三班最多植树多少棵？
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