新疆乌鲁木齐市XXXX年一模数学试题及答案.docx

乌鲁木齐地区2011年高三年级第一次诊断性测验
文理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选 项
A
A
A
B
B
D
文A理C
C
D
C
A
B
1．选（A）【解析】由图可知，，，
∴，，故选A．
2．选（A）【解析】∵图象关于坐标原点对称的函数是奇函数，，是奇函数；而，，是非奇非偶函数；函数中，是非奇非偶函数；，所以是偶函数．
3．选（A）【解析】∵，∴ ，故选A．
4．选（B）【解析】①②正确，对于③，与还可能是异面直线；对于④与还可能斜交，平行或，③、④错误.
5．选（B）【解析】依题意知，对任意，都有 令，，从而，∴，同理，则，选B．
6．选（D）【解析】由题意知，即
解得，故选D．
7．(文科)选（A）【解析】由得，解之，得
(理科)选（C）【解析】∵ ，依题意有，∴
，，于是，展开式中含的项是第项.
8．选（C）【解析】由框图可知，该程序的功能是计算到首次不少于的的值，即由以下运算得：
，所以输出，故选C.
9．选（D）【解析】由已知得，算得，而，又，故，又由，解得，故选D．
10．选（C）【解析】依题意知所得的多面体是各棱长均为的八面体，且该八面体可看作两个相同的四棱锥组成的，不妨在各棱长为的正四棱锥—中求该球的半径．球心为正方形的中心，半径为，一定在正三角形中线上，在中，，由，解得，∴该球的表面积，故选C．
11．选（A）【解析】画出与的图象，不妨设，易知，，所以，即，于是
12．选（B）【解析】设，则
(*)
曲线在其上点处的切线方程分别为…①
…②，解由①②组成的方程组，得，又依题意知，∴，又，
∴，
将它们代入(*)式 得，故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．填．【解析】由已知得，∴，故，即，∴
14．(文科) 填．【解析】，
，∴，∴≤≤，即≤≤ ∴的最小值为．
(理科)填①②③．【解析】∵，其中，
∴①②③正确；而，，∴，∴≤≤，
即≤≤ ∴的最小值为．
15．填．【解析】∵在全校学生中随机抽取1名，抽到高三年级男生的概率是，
∴，解得，设分层抽样的方法在全校抽取名学生参加社区服务，则有，解得，．
16．填b∈[0,+∞）．【解析】如图，
若非空，

，则直线，
在直线与直线之间平行移动，故．
若为空集，则b>8.
三、解答题（共70分）
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）由已知得，则，则. …6分
（Ⅱ），
≤，≥．
由题意知当且仅当时，取最小值． …12分
18．（本小题满分12分）
（文科）
（Ⅰ）取的中点，连结，是的中点，是的中点，
. 又底面，
底面，平面，,
又是正方形，、分别是、的中点，
由平面几何知识可得：,,
平面,平面，…6分
（Ⅱ）取线段的中点即可.
设的中点为，连结，
且；又且；
且是平行四边形，
，平面，平面，
平面. …12分
（理科）
（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系，则
，，
,

，即. …6分
（Ⅱ）易知平面的一个法向量是,
设平面的法向量为，又 ,
，令，则 ，
于是 . …12分
19．（本小题满分12分）
（文科）
（Ⅰ）甲、乙两人可能被排在号；号；号；号；号；号；号； 号；号；或号共10种情形．其中甲、乙两人至少有一个被安排在偶数号 的情形有：安排在号；号；号；号；号；号；或号共种情形；甲、乙两人的演出序号被安排在不相邻的演出序号有：号；号；号；号；号；或号共种情形．记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”为事件，则； …6分
（Ⅱ）记“甲、乙两人的演出序号不相邻”为事件，
由（Ⅰ）的分析可知． …12分
（理科）可能的取值为，则
；；；
； .

的分布列为：
…12分

20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）∵，∴的定义域为，
当≤时，，在上无极值点；
当时，，∴，
、随的变化情况如下表：

极大值

从上表可以看出，当时，有唯一的极大值点； …6分
（Ⅱ）当时，在处取得极大值，此极大值也是最大值．
要使≤恒成立，只需≤∴≥，
∴的取值范围是． …12分
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线的斜率为，同理，直线的斜率为,
由已知有：，
整理得的轨迹的方程为： …6分（Ⅱ）
（文科）
设直线的斜率为，方程为 ，由点到直线的距离公式得：，解得：.
①当时，直线为：，代入得：，
解得：，，
于是，可以得到，两点的坐标，不妨设
故；
②当时，同理可得： .
若不存在，则原点到直线的距离为，与已知矛盾．
综上：． …12分
（理科）
设对角线的方程为：，依题意知存在，且．
由消去得：，得．
又依题意知，等腰梯形的中位线的长即为
，
≤ ，当且仅当即或时等号成立． …12分
22．（本小题满分10分）
（Ⅰ）∵四边形内接于圆，
∴，
又∵，∴
∴，而
∴ …6分
（Ⅱ）∵，
∴，又
∴∽
∴，即 …10分
23．（本小题满分10分）
根据题意，设直线的参数方程为：（为参数）．
曲线化成普通方程得：，
将代入得：，
化简整理得：， ，
由题意得： ，
而，
即：，解得：，，
所求直线的方程为：，或． …10分
24．（本小题满分10分）
令，
∵
∴
由题意，，解得，，于是 …10分

以上各题的其它解法，限于篇幅，从略.请相应评分.