第四章-§4.4-三角函数的图象与性质.docx

§4.4　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上、正切函数在上的性质．

1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象

定义域
R
R

值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]

对称中心
(kπ，0)

对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ

微思考
1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？
提示　正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期．
2．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？
提示　(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(3)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
(4)由sin＝sin 知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．(　×　)
题组二　教材改编
2．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3．下列函数中，是奇函数的是(　　)
A．y＝|cos x＋1| B．y＝1－sin x
C．y＝－3sin(2x＋π) D．y＝1－tan x
答案　C
解析　选项A中的函数是偶函数，选项B，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y＝－3sin(2x＋π)＝3sin 2x，所以是奇函数，选C.
4．函数f(x)＝cos的最小正周期是________．
答案　π
题组三　易错自纠
5．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间上单调递增
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
答案　ABC
解析　由题意，可得f(x)＝－cos x，
对于选项A，T＝＝2π，所以选项A正确；
对于选项B，y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递增，所以选项B正确；
对于选项C，f(－x)＝－cos(－x)＝－cos x＝f(x)，所以函数是偶函数，所以其图象关于直线x＝0对称，所以选项C正确；选项D错误．故选ABC.
6．函数y＝tan的图象的对称中心是________．
答案　，k∈Z
解析　由x＋＝，k∈Z，
得x＝－，k∈Z，
∴对称中心是，k∈Z.

题型一 三角函数的定义域和值域

例1 (1)函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
(2)当x∈时，函数y＝3－sin x－2cos2x的值域为________．
答案　
解析　因为x∈，所以sin x∈.
又y＝3－sin x－2cos2x＝3－sin x－2(1－sin2x)
＝22＋，
所以当sin x＝时，ymin＝，当sin x＝或sin x＝1时，ymax＝2.即函数的值域为.
思维升华 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
跟踪训练1 (1)函数f(x)＝ln(cos x)的定义域为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，kπ＋π)，k∈Z
C.，k∈Z
D．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
答案　C
解析　由题意知，cos x>0，
∴2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)的定义域为，k∈Z.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.

题型二 三角函数的周期性与对称性

1．下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案　B
解析　∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
2．函数y＝sin的对称轴为__________________，对称中心为__________________．
答案　x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z
解析　由x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z，由x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋kπ，k∈Z.
故函数y＝sin的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z；对称中心为，k∈Z.
3．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．
答案　2或3
解析　由题意得1<<2，k∈N，
∴<k<π，k∈N，∴k＝2或3.
4．若函数f(x)(f(x)的值不恒为常数)满足以下两个条件：①f(x)为偶函数；②对于任意的x∈R，都有f ＝f .则其解析式可以是f(x)＝________.(写出一个满足条件的解析式即可)
答案　cos 3x(答案不唯一)
解析　因为对于任意的x∈R，都有f ＝f ，
所以函数的图象关于直线x＝对称．
又由于函数为偶函数，
所以函数的解析式可以为f(x)＝cos 3x.
因为f(－x)＝cos(－3x)＝cos 3x＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
令3x＝kπ，k∈Z，∴x＝，k∈Z，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称．
思维升华 (1)三角函数周期的一般求法
①公式法；
②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期．
(2)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝kπ(k∈Z))，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)(或令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z))，求x即可．
(3)对于可化为f(x)＝Atan(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝(k∈Z)，求x即可．

题型三 三角函数的单调性

命题点1　求三角函数的单调区间
例2 (1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案　A
解析　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．故选A.
(2)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝sin＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
命题点2　根据单调性求参数
例3 (2020·湖南师大附中月考)若函数f(x)＝2·sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　因为f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1在区间上单调递增，
所以解得ω≤，
所以正数ω的最大值是.故选B.
方法二　易知f(x)＝sin 2ωx＋1，可得f(x)的最小正周期T＝，所以
解得ω≤.所以正数ω的最大值是.故选B.
思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练2 (1)(2021·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　B
解析　由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，
得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，
所以函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z，故选B.
(2)(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f(x)＝3sin－2在区间上单调，则实数a的最大值是________．
答案　
解析　方法一　令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)在区间上单调递减，所以a的最大值为.
方法二　因为≤x≤a，所以＋≤x＋≤a＋，
又f(x)在上单调，
＋<a＋≤，即<a≤，所以a的最大值为.
课时精练

1．函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C．π D．2π
答案　C
解析　∵y＝2＝2sin，∴T＝＝π.
2．函数y＝tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　y＝tan＝－tan，由x－≠＋kπ(k∈Z)，得x≠kπ＋(k∈Z)．故选D.
3．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)
A．－1 B．－ C. D．0
答案　B
解析　由已知x∈，得2x－∈，
所以sin∈，
故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.故选B.
4．函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，
由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴函数f(x)＝sin xcos x的单调递减区间是(k∈Z)．
5．(多选)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的可能值是(　　)
A. B. C. D．π
答案　AC
解析　由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0<m≤.
6．(多选)已知函数f(x)＝sin4x－cos4x，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的最大值为2
C．f(x)的图象关于y轴对称
D．f(x)在区间上单调递增
答案　ACD
解析　∵f(x)＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，
∴函数f(x)的最小正周期T＝π，f(x)的最大值为1.
∵f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．
∵y＝cos 2x在上单调递减，
∴f(x)＝－cos 2x在上单调递增，故选ACD.
7．比较大小：sin________sin.
答案　>
解析　因为y＝sin x在上单调递增且－>－>－，故sin>sin.
8．(2019·全国Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
答案　－4
解析　∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.
综上，f(x)的最小值为－4.
9．(2018·北京)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
答案　
解析　∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立，
∴当x＝时，f(x)取得最大值，
即f ＝cos＝1，
∴ω－＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值.
10．(2021·合肥调研)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是________．(填序号)
①f(x)的周期是；
②f(x)的值域是{y|y∈R，且y≠0}；
③直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；
④f(x)的单调递减区间是，k∈Z.
答案　④
解析　函数f(x)的周期为2π，①错；f(x)的值域为[0，＋∞)，②错；当x＝时，x－＝≠，k∈Z，
∴x＝不是f(x)的对称轴，③错；令kπ－<x－<kπ，k∈Z，可得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间是，k∈Z，④正确．

11．已知函数f(x)＝sin(2π－x)sin－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值和最大值．
解　(1)由题意，
得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－cos2x＋
＝sin xcos x－cos2x＋
＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期T＝＝π；
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
故所求图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
由函数图象(图略)可知，－≤sin≤1.
即0≤sin＋≤.
故f(x)的最小值为0，最大值为.
12．已知函数f(x)＝4tan xsincos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
解　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，
函数y＝2sin z在z∈，k∈Z上单调递增．
由≤≤，k∈Z，
得≤x≤，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．

13．(2019·全国Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；
②f(x)在区间上单调递增；
③f(x)在[－π，π]上有4个零点；
④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案　C
解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当<x<π时，
f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在上单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，

由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.
14．(多选)已知函数f(x)＝sin－2sin·cos，则下列关于函数f(x)的描述正确的是(　　)
A．f(x)在区间上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心是
C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－
D．将f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于y轴对称
答案　AC
解析　f(x)＝sin－2sincos
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kx＋(k∈Z)，
当k＝0时，⊆，故A正确；
f ＝sin ＝1≠0，故B不正确；
f ＝－sin ＝－1，故C正确；
将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝sin的图象，显然不关于y轴对称，故D不正确．

15．(2020·江赣十四校联考)如果圆x2＋(y－1)2＝m2至少覆盖函数f(x)＝2sin2－cos(m>0)的一个最大值点和一个最小值点，则m的取值范围是________．
答案　
解析　化简f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin ＋1，所以，函数f(x)的图象靠近圆心(0,1)的最大值点为，最小值点为.
所以只需解得m≥.
16．(2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1，
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.