万有引力定律.doc

广州市第八十中学高一物理《从竞赛到高考》校本教材
专题七：万有引力定律
一、知识点整理
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示．
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg2.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝ma＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
3．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝， 天体密度ρ＝＝＝.
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度 ρ＝＝＝；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
4.卫星问题
（1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律

（2）．极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心．
（3）．同步卫星的六个“一定”

（4）.卫星变轨问题
运动分析
(1)当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时减小．
(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ 可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
能量分析：卫星由低轨道进入高轨道后，重力势能增大，动能减小，机械能增大．
二、 竞赛题汇总：
1．（11 8分）两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA：TB＝1：8，则两卫星的轨道半径之比和运动速率之比分别为：rA：rB= 、vA：vB=

2.（13 5分）设在地球上对准月球发射一枚飞行器。该飞行器离开地球表面不久燃料就用尽并达到最大速度，以后靠惯性飞向月球且到达了月球。设地球质量为M1，月球质量为M2，地球与月球的球心距离为L，不考虑地球自转及月球公转的影响，则当火箭离地球球心距离为 时，火箭的速度最小。

3．（14 10分）宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。则该星球的重力加速度和质量分别为 和 。

4．（16 10分）假设地球同步卫星绕地球运行的轨道半径为地球半径的6.6倍，地球赤道平面与地球公转平面共面。站在地球赤道某地的人，日落后4小时的时候，在自己头顶正上方观察到一颗恰好有阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星在赤道所在平面内做匀速圆周运动。则此人造卫星绕地球运行的周期约为　　　 　小时，绕地球运行的速率约为同步卫星绕地球运行速率的　　　 　　倍

5．（06 12分）在宇宙中存在许多有趣现象。
（1）人们发现宇宙间有一些射电源，它每隔一定时间会发出一个脉冲讯号，这类星体称为“脉冲星”，脉冲现象来源于自转。现观察到某脉冲星发射脉冲讯号的周期为T，设阻止该星体离心瓦解的力是万有引力（万有引力常量为G），求该星体的密度。
（2）在宇宙间有三颗质量都为m的星球组成三星系统，三星位于等边三角形的三个顶点上，它们围绕三角形的中心做匀速圆周运动，每颗星运行的线速度都为v（忽略其它天体对它们的引力），求其中两个星球之间的距离。

6．（06 15分）一宇航员在某星球上用长为L＝0.8m的细绳拴一小球做圆锥摆运动，当细绳与竖直方向夹角为600时，测得小球运动一周的时间为2s。计算中取π2＝10。求：
（1）当宇航员以8m/s的初速从星球地面竖直上抛一个m＝1kg的小球，小球经多少时间到达最高点？最高点离星球地面多高？
（2）若小球到达最高点时，在该星球即刮起一股水平方向持续恒定的宇宙风，其风对小球产生F＝3N的水平恒力。小球经多长时间落回星球地面？
（3）若小球落到星球地面时宇宙风即停止，此时，小球被星球地面反弹，其水平分速度不变，竖直分速度变为原来的，则小球再次落回星球地面距第一次落地点多远？

7．（10 15分）已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T，不考虑大气层对电磁波的影响且电磁波在空气中的传播速度为c。
A
B
R
O
图4
如图4所示，设A、B为地球赤道圆上一条直径的两端，利用地球同步卫星将一电磁波信号由A传到B，至少需要几颗同步卫星？这几颗同步卫星间的距离最近是多少？已利这几颗卫星把电磁波信号由A传到B需要的时间是多少？

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