尔雅高考数学第三次模拟预测卷卷A-理.doc

2010-2011学年尔雅高考大纲版第三次模拟预测卷（理科数学卷A）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（理）已知复数的实部是虚部的3倍，则 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
（文）设集合，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知函数表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为-1，给出以下结论：①的解析式为； ②的极值点有且仅有一个
③的最大值和最小值之和等于0；
其中正确的结论有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知函数，则其最小正周期和图像的一条对称轴方程为 （ ）
A． B． C． D．
5．（理）已知满足约束条件，则的最小值是 （ ）
A． B． C． D．1
（文）正方体的表面积是，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 （ ）
A． B． C． D．
6．一块每个面上均涂有油漆的正方体被锯成1000个同样大小的正方体，若将这些小正方体均匀搅混在一起，则任意取出一个小正方体，该小正方体两面均涂有油漆的概率是 （ ）
A． B． C． D．
第7题图
7．过圆的圆心，作直线分别交正半轴于点，
被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足
则直线有 （ ）
A．0条 B．1条
C．2条 D．3条
8．已知数列满足，则等于 （ ）
A．0 B． C． D．
9．在棱长为2的正方体中，动点在内，且到直线的距离之和等于，则
的面积最大值是 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
10．（理）对任意实数，定义运算如下：，则函数的值域
为 （ ）
A． B． C． D．
（文）已知是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
且，则P的轨迹一定通过的 （ ）
A．内心 B．垂心 C．重心 D．AB边的中点
11．将函数的图像按向量平移后得到函数的图像，若函数满足，则向量的坐标是 （ ）
A．（-1，-1） B． C．（2,2） D．

12．已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以为边的三角形是 （ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形
第Ⅱ卷
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．在的展开式中，的系数是 ．
14．（理）设是内一点（不包括边界），且，则的范围是 ．
（文）若实数满足，则目标函数取最大值时对应的点为 ．
D
C
A
B
第15题图
15．如图，以为直径的圆有一内接梯形，且，若双曲线以为焦点，且过两点，则当梯形的周长最大时，双曲线的离心率为 ．
16．（理）数列的构成法则如下：，如果为自然数且该自然数之前未
出现过，则用递推公式，否则用递推公式，则 ．
（文）有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日增添一倍多，
问君每日读多少？”（注：《孟子》全书共34685个字，“一倍多“指一倍），由此诗
知该君第二日读的字数为 ．
三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
第17题图
17．（本小题满分10分）
已知函数的图象如图所示．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求函数的单调递增区间．

18.（本小题满分12分）
某电子科技公司遇到一个技术性难题，决定成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻
关，同时决定对攻关期限内就攻克技术难题的小组给予奖励．已知此技术难题在攻关期限内被甲小组攻克的概率
为，被乙小组攻克的概率为．
（I）设为攻关期满时获奖的攻关小组数，求的分布列及；
（II）设为攻关期满时获奖的攻关小组数与没有获奖的攻关小组数之差的平方，
记“函数在定义域内单调递增”为事件C，求事件C的概率．

19．（本小题满分12分）
已知函数；
（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列满足：，求证：

20．（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与
y轴交于点，与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）求m的取值范围．

21．（本小题满分12分）
（理）已知数列满足，点在直线上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足且求的值；
（Ⅲ）对于（II）中的数列，求证：
（文）已知数列的前项的和为，且有，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项的和．

22．（本小题满分12分）
如图1所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作，
分别交，于点，，作，分别交，于点，，将该正方形沿，
折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
A
A
A
B
B
C
D
P
Q
P
Q
C

A

A

A

A

A

A

图1
图2

2010尔雅高考第三次模拟卷（B）
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
第Ⅰ卷
一．选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（理）设复数，那么点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（文）已知函数的定义域，函数的定义域为，则 （ ）
A B． C． D．
3．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是m、m，不考
第3题图
A
B
D
C
P
am
4m
虑树的粗细．现在想用m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃．设此矩形花圃的面积为，的最大值为，若将这棵树围在花圃内，则函数的图象大致是 （ ）
u
u
u
u
a
a
a
a
O
O
O
O

A． B． C． D．
4．大小质地完全相同的八个小球中，有3个红球，3个白球和2个黑球，现将它们排成一排，要求3个红球相邻，两个黑球不相邻，则排法种数有 （ ）
A．480种 B．240种 C．80种 D．40种

E
F
C
B
A
第6题图
5．已知圆C：及直线：，当直线被C截得的弦长为时，则=（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，正三棱柱的各棱长都是2，分别是的中点，
则与平面所成角的正弦值为 （ ）
A． B． C． D．
7．函数的图像与直线有三个交点，三个交点的横坐标依次为
，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（理）若实数满足，且的最大值等于34，则正实数的值等于 （ ）
A． B． C． D．
（文）已知正数满足等式则 （ ）
A．的最大值是2，且的最小值为4 B．的最小值是4，且的最大值为4
C．的最大值是2，且的最大值为4 D．的最小值是4，且的最小值为4
9．的三个内角所对的边分别为设向量，若
，则角的大小为 （ ）
A． B． C． D．
10．设是首项为，公比为的等比数列，是数列的前 项和，对任意的，点
都在直线上，则直线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
11．若关于的方程在【0,2】上有解，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．

O
y
x
第12题图
12．我们把半椭圆和半椭圆的合成曲线称作“果园”，其中，
，设点是相应椭圆的焦点，和
是“果园”与轴，轴的交点，若是边长为1的等边三
角形，则的值分别为 （ ）
A． B．
C． D．5,4
第Ⅱ卷
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．二项式展开式中含项的系数是 ．
14．对于函数，有如下四个命题：
①的最大值为； ②在区间上是增函数；
③是最小正周期为的周期函数； ④将的图像向右平移个单位可得的图像；
其中真命题的序号是 ．
15．（理）已知数列的每一项都是非负实数，且对于任意有或，又知，．则 ， ．
（文）已知数列满足，则 ．
16．若点为共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，分别是它们的左右焦点，设椭圆离心率为，双曲线离心率为，若，则 ．
三．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0．25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为

0
2
3
4
5
P
0．03
P1
P2
P3
P4
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）求随机变量的数学期望；
（Ⅲ）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，已知，侧面；
（Ⅰ）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；
（Ⅱ）在棱（不包含端点）上确定一点的位置，使得 (要求说明理由)；
A
B
C
E

第19题图
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若，求二面角的大小．

20．（本小题满分12分）
（理）已知抛物线经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同直线．
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，求直线的方程
（Ⅲ）设直线分别交抛物线于B，C两点（均不与A重合），若以线段BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程．
（文）动点P到A（-1，0）及B（1，0）连线的斜率之积为m（m>0）且P的轨迹E的离心率为m．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设直线L：交曲线E于M、N，求ΔAMN的面积．

21．（本小题满分12分）
已知数列满足：，其中为数列的前项和．
（Ⅰ）试求的通项公式；
（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式；
（III）设，数列的前项和为，求证：．

22．（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）若x=1为的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若的图象在点（1，）处的切线方程为，
（i）求在区间[-2，4]上的最大值；
（ii）求函数的单调区间．

2010尔雅高考第三次模拟卷答案（A）
数学
一：1．A 2．（理）D（文）B 3．C 4．D 5．（理）D（文）B 6．A
7．B 8．C 9．B 10．（理）B（文）D 11．B 12．B
二：
13．【答案】：9
14．【答案】：（理）（文）（4,1）
15．【答案】：
16．【答案】：（理）15（文）9910
三：
17．解：（Ⅰ）由图可知,， …2分
又由得，，又，得 …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
因为
所以，，即．
故函数的单调增区间为． …10分
18. 解：记“甲攻关小组获奖”为事件A，则，记“乙攻关小组获奖”为事件B，则．
（I）由题意，ξ的所有可能取值为0，1，2． …1分
，
， …4分
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P

∴． …6分
（II）∵获奖攻关小组数的可能取值为0，1，2，相对应没有获奖的攻关小组的取值为2，1，0．
∴η的可能取值为0，4． …8分
当η=0时, 在定义域内是减函数．
当η=4时, 在定义域内是增函数． …10分
∴． …12分
19．解：（Ⅰ）
依题意在时恒成立，即在恒成立．
则在恒成立，即
当时，取最小值
∴的取值范围是 …4分
（Ⅱ）
设则列表：

­
极大值
¯
极小值
­
∴极小值，极大值，又 …6分
方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则， 得 …8分
（Ⅲ）设，则
在为减函数，且故当时有．
假设则，故
从而
即，∴ …12分
20．解：（Ⅰ）由题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆方程为，
由题意知，，又则，
所以椭圆方程为 …4分
（Ⅱ）设，由题意，直线的斜率存在，
设其方程为，与椭圆方程联立
即，
则
由韦达定理知； …6分
又，即有
…8分
整理得
又时不成立，所以 …10分
得，此时
所以m的取值范围为． …12分
21．（理）解：（Ⅰ）∵点在直线上，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
…3分
（Ⅱ）且，

且；
当n=1时， …7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知

时，

，
即 …12分
（文）解：（Ⅰ）由
得，， …3分
所以数列是以2为首项，为公比的等比数列 ，所以 …5分
（Ⅱ）
∴ …7分
同乘公比得 …9分
∴ …10分
…11分
∴ …12分
22．解：（Ⅰ）证明：在正方形中，因为，
所以三棱柱的底面三角形的边．
因为，，
所以，所以． …2分
因为四边形为正方形，，
所以，而，
所以平面． …4分
（Ⅱ）解：因为平面，
所以为四棱锥的高．
因为四边形为直角梯形，且，，
所以梯形的面积为．
所以四棱锥的体积． …8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，，，两两互相垂直．以为原点，
建立如图所示的空间直角坐标系，
第22题图
则，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为．
则 即
令，则．
所以． …10分
显然平面的一个法向量为．
设平面与平面所成锐二面角为．
则．
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． … 12分
2010尔雅高考第三次模拟卷答案（B）
数学
一：1．B 2．（理）A（文）B 3．C 4．D 5．C 6．C
7．B 8．（理）B（文）D 9．B 10．D 11．A 12．A
二：
13．【答案】：-192
14．①②
15．【答案】：（理）1 3 （文）2
16．【答案】：2
三：
17．解：

． …3分
（Ⅰ），故的最小正周期为． 2 …5分
（Ⅱ）因为 ，
所以．
所以当，即时，有最大值，
当，即时，有最小值． …10分
18．解：（Ⅰ）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,
且P(A)=0．25,, P(B)=q,．
根据分布列知： =0时=0．03,
所以，q=0．8． …4分
（Ⅱ）当=2时, P1=
=0．75 q( )×2=1．5 q( )=0．24
当=3时, P2 ==0．01,
当=4时, P3==0．48,
当=5时, P4=
=0．24
所以随机变量的分布列为

0
2
3
4
5
p
0．03
0．24
0．01
0．48
0．24

随机变量的数学期望 …9分
（Ⅲ）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为：
;
该同学选择（Ⅰ）中方式投篮得分超过3分的概率为0．48+0．24=0．72． …12分
19．解：（Ⅰ）在直三棱柱中， 在平面上的射影为．
为直线与底面所成角． …2分
，
即直线与底面所成角正切值为2． …4分
（Ⅱ）当E为中点时，． ；
第19题图
，即 …6分
又，
，， …8分
（Ⅲ）取的中点，的中点，
则∥，且，

连结，设，连结，
则∥，且
为二面角的平面角． …10分
，
∴二面角的大小为45° …12分
另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，
第19题图
（Ⅰ）直三棱柱中，平面的法向量，又，
设，
则 …2分

即直线与底面所成角正切值为2． …4分
（Ⅱ）设，
则，
，∴ …6分
，即 …8分
（Ⅲ）∵，则，
设平面的法向量，
则，取 …10分
∵，∴，又
∴平面的法向量，∴，
∴二面角的大小为45° …12分
20．（理）解：（Ⅰ）由于A(2,1)在抛物线上， 所以 ，即． …2分
故所求抛物线的方程为，其准线方程为． …3分
（Ⅱ）当直线与抛物线相切时，由，
可知直线的斜率为1，其倾斜角为，所以直线的倾斜角为，
故直线的斜率为，所以的方程为 …6分
（Ⅲ）不妨设直线AB的方程为，
第20题图
由 得,
易知该方程有一个根为2，所以另一个根为，
所以点B的坐标为,
同理可得C点坐标为, …8分
所以
,
线段BC的中点为，因为以BC为直径的圆与准线相切，
所以 ,由于， 解得 ． …10分
此时，点B的坐标为，点C的坐标为，
直线BC的斜率为，
所以，BC的方程为，即． …12分
（文）解：（Ⅰ）∵设p(x, y)，依题意 即 …3分
2m2-m-1=0 (2m+1)(m-1)=0 ∵m>0 ∴m=1 …6分
∴E：x2- y2=1
（Ⅱ） 消去y并整理得：，设M（x1, y1）,N (x2, y2) ．
则
∴ …9分
又A（-1，0），到L：的距离

∴ …12分
21．解：（Ⅰ） ①
②
②-①得
又时，
…4分
（Ⅱ）
③
④
③-④得
整理得： …8分
（III）
…10分
又

…12分
22．解：（Ⅰ）
是极值点
，即
或2． …3分
（Ⅱ）在上．
∵（1，2）在上
又

（i）由可知x=0和x=2是的极值点．

在区间[－2，4]上的最大值为8． …8分
（ii）

令，得
当m=2时，，此时在单调递减
当时：
x
(－∞，2，－m)
2－m
（2－m，0）
0
（0，+∞）
G′（x）
－
0
+
0
－
G（x）
减

增

减
当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增．
当时：

x
（－∞，0）
0
（0，2－m）
2－m
（2－m+∞）
G′（x）
－
0
+
0
－
G（x）
减

增

减
此时G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：
当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；
时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；
时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增． …12分
30
用心 爱心 专心