高考热点专题——有关弹簧问题的分析与计算.doc

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审　 稿：李井军　　 责　 编：郭金娟
高考热点专题——有关弹簧问题的分析与计算
　　弹簧类问题在高中物理中占有相当重要的地位，且涉及到的物理问题多是一些综合性较强、物理过程又比较复杂的问题，从受力的角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量的角度看，弹簧是个储能元件；因此，关于弹簧的问题，能很好的考察学生的分析综合能力，备受高考命题专家的青睐。解决这些问题除了一般要用动量守恒定律和能量守恒定律这些基本规律之外，搞清物体的运动情景，特别是弹簧所具有的一些特点，也是正确解决这类问题的重要方法。

　　在有关弹簧类问题中，要特别注意使用如下特点和规律：
　　1.弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力。当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置，找出形变量x与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，以此来分析计算物体运动状态的可能变化。

　　2. 弹簧的弹力不能突变，它的变化要经历一个过程，这是由弹簧形变的改变要逐渐进行决定的。在瞬间内形变量可以认为不变，因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小不变，即弹簧的弹力不突变。

　　3、弹簧上的弹力是变力，弹力的大小随弹簧的形变量发生变化，求弹力的冲量和弹力做功时，不能直接用冲量和功的定义式，一般要用动量定理和动能定理计算。弹簧的弹力与形变量成正比例变化，故它引起的物体的加速度、速度、动量、动能等变化不是简单的单调关系，往往有临界值。如果弹簧被作为系统内的一个物体时，弹簧的弹力对系统内物体做不做功都不影响系统的机械能。

　　4、对于只有一端有关联物体，另一端固定的弹簧，其运动过程可结合弹簧振子的运动规律去认识，突出过程的周期性、对称性及特殊点的应用。如当弹簧伸长到最长或压缩到最短时，物体的速度最小（为零），弹簧的弹性势能最大，此时，也是关联物的速度方向发生改变的时刻。若关联物与接触面间光滑，当弹簧恢复原长时，物体速度最大，弹性势能为零。若关联物与接触面间粗糙，物体速度最大时弹力与摩擦力平衡，此时弹簧并没有恢复原长，弹性势能也不为零。若关联物同时处在电磁场中，要注重过程分析。

　　5、两端均有关联物的弹簧，弹簧伸长到最长或压缩到最短时，相关联物体的速度一定相同，弹簧具有最大的弹性势能；当弹簧恢复原长时，相关联物体的速度相差最大，弹簧对关联物体的作用力为零。若物体再受阻力时，弹力与阻力相等时，物体速度最大。针对此类问题，要立足运动和受力分析，在解题方法上以动量定理、动量守恒定律和动能定理等为首选。

　　下面我们结合例题来分析一下弹簧类问题的研究方法。

　　〖典型例题透析〗
　　类型1：弹簧中的力学问题
　　（一）平衡中的弹簧问题
　　〖例1〗S1和S2表示劲度系数分别为k1和k2的两根弹簧，k1＞k2。a和b表示质量分别为ma和mb的两个物块，
ma＞mb，将弹簧与物块按如图所示方式悬挂起来。现要求两根弹簧的总长度最大，则应使：（　 ）
　　A．S1在上，a在上
　　B．S1在上，b在上　
　　C．S2在上，a在上
　　D．S2在上，b在上

　　[答案]D

　　[解析]上面弹簧弹力是确定的，等于ab两物体的重力，要使上面的伸长量大，应使劲度系数小的在上，即S2在上面；要使下面伸长量大，应让质量大的物体在下面，即a物体在下面。

　　[点评]本题是根据胡克定律解题的，由F=kx知要使形变量x最大，则必有F最大或k最小。

　　〖例2〗如图所示，两木块的质量分别为m1和m2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k1和k2，上面木块压在上面的弹簧上（但不栓接），整个系统处于平衡状态。现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面弹簧，在这过程中下面木块移动的距离为：（　 ）
　　A.　 　B.　　　 C.　 　　D.

　　[答案]C

　　[解析]我们把看成一个系统，当整个系统处于平衡状态时，整个系统受重力和弹力，则下面弹簧被压缩x1，则有：
　　当上面的木块刚离开上面的弹簧时，上面的弹簧显然为原长，此时对下面的木块m2则有：，
　　因此下面的木块移动的距离为，

　　[点评]该题涉及到整体法和隔离法的应用，解题时要看清问题的关键，根据整体法和隔离法的运用条件，选择适当的方法。
　　思考：此题若求ml移动的距离又当如何求解? 参考答案：

　　（二）动力学的弹簧问题
　　〖例3〗一条轻弹簧和一根细线共同拉住一个质量为m的小球，平衡时细线是水平的，弹簧与竖直方向的夹角是θ，如图所示。若突然剪断细线，则在刚剪断细线的瞬时，弹簧拉力的大小是_______，小球加速度的大小是______，方向________。

　　[答案] mg/cosθ，gtanθ，水平向右

　　[解析]在细线未断之前，小球受三个力作用：重力mg、弹簧的弹力F和细线的拉力T，如图所示：

　　根据平衡条件，可知T=mgtanθ，F=mg/cosθ。
　　当细线突然剪断的瞬间，拉力消失了，但弹簧还没有恢复形变，此时，F大小、方向均不变，仍为F=mg/cosθ。
　　细绳剪断瞬间，小球受的重力与弹簧的弹力的合力必与细绳未剪断时对它的作用力等值反向，即mgtanθ=ma，所以a=gtanθ，方向水平向右。

　　[点评]
　　（1）小球的加速度与小球受到的合外力具有瞬时对应关系。分析时应按时间的先后顺序逐次分析物体的受力情况和合外力所产生的加速度，以及引起物体运动性质、运动状态的改变。

　　（2）注意不可伸长的绳和弹簧的区别：弹簧的形变需要时间，刚剪断的瞬间弹簧的形变可认为是不变的；不可伸长的柔绳发生形变过程所需时间极短，在极短时间内弹力可发生很大变化。
　　〖例4〗如图所示，物块B和C分别连接在轻弹簧的两端，将其静置于吊篮A的水平底板上，已知A、B、C三者质量相等且为m，则将挂吊篮的轻绳烧断的瞬间，吊篮A、物块B和C的瞬时加速度分别为：（　 ）
　　A.g、g、g　　　 B.g、g、0　　　 C.1.5g、1.5g、0　　　 D.g、2g、0

　　[答案] C

　　[解析] 此问题应用到弹簧的弹力不能突变的性质。未烧断绳子之前，C受到一个重力mg和弹簧的弹力F弹，两者平衡。绳烧断瞬间，F弹不能突变，大小仍为mg，所以物块C在轻绳烧断的瞬间，瞬时加速度aC=0。

　　若物体A和B之间没弹力，则aA=g，而B的合外力则为mg+F弹=2mg，所以aB=2g，显然这种情况是不可能的。

　　当绳被烧断后，A和B的加速度应该相等，AB可看成一个整体来分析，绳子未断之前，它们受重力2mg，弹簧向下的弹力F′弹=mg，绳子向上的拉力T=3mg，处于平衡状态。绳子断的瞬间，拉力T消失，而弹簧的弹力不能突变，所以它们受到的合力向下，大小为3mg，由牛顿第二定律可得：3mg=2maAB，则aA=aB=1.5g。

　　因此本题的正确选项为C。

　　可以进一步分析，对A有：N+mg=maA，则吊篮A和物块B之间的弹力N=0.5mg。

　　[点评] 要注意两物体“刚性接触” 和“弹性接触” 的区别。对于吊篮A和物块B，由于它们是刚性接触，它们之间的相互作用力可发生突变，因此在轻绳烧断的瞬间A和B的加速度相等。

　　类型2：弹簧连接物体的分离
　　〖例5〗如图所示，一劲度系数为k=800 N / m的轻弹簧两端各焊接着两个质量均为m=12 kg的物体A、和B，物体A、B和轻弹簧竖立静止在水平地面上。现要加一竖直向上的力F在上面物体A上，使物体A开始向上做匀加速运动，经0.4 s物体B刚要离开地面。设整个过程中弹簧都处于弹性限度内，取g=10 m / s2，求：
　　（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值。
　　（2）此过程中外力F所做的功。

　　[解析]
　　（1）
　　A原静止时，设弹簧压缩x1，由受力平衡和胡克定律有：kx1=mg------------①
　　物体A向上做匀加速运动，开始时弹簧的压缩形变量最大，向上的弹力最大，则所需外力F最小，设为F1。
　　由牛顿第二定律：F1+kx1—mg=ma-----------②
　　当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则所需外力F最大，设为F2。
　　对B：kx2=mg------------③
　　对A：F2-kx2-mg=ma -----------④
　　由位移公式对A有：----------⑤
　　又t=0.4s------⑥
　　由①②③④⑤⑥可得：

　　a=3.75m/s2
　　F1=45N
　　F2=285N

　　（2）
　　0.4 s末的速度：v=at=3.75×0.4 m / s=1.5 m / s
　　对A全程由动能定理得：WF－mg (x1+x2)=mv2
　　解得：WF=49.5 J

　　也可用能量守恒求解：
　　在力作用的0.4s内，在初末状态有x1=x2，所以弹性势能相等，由能量守恒知，外力 做了功，将其它形式的能转化为系统的重力势能和动能。即：

　　[点评]本题中考查到弹簧与物体A和B相连，在运动过程中弹簧的弹力是变力，为确保系统的加速度恒定，则外加力必须也要随之变化，解决本题的关键找出开始时弹簧的形变量最大，弹力最大，则外力F最小。当B刚要离地时，弹簧由缩短变为伸长，此时弹力变为向下拉A，则外力F最大。其次，求变力功时必须由动能定理或能量守恒定律求得。

　　〖例6〗A、B两木块叠放在竖直轻弹簧上，如图所示，已知木块A、B质量分别为0.42 kg和0.40 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m ，若在木块A上作用一个竖直向上的力F，使A由静止开始以0.5 m/s2的加速度竖直向上做匀加速运动（g=10 m/s2）
　　（1）使木块A竖直做匀加速运动的过程中，力F的最大值；
　　（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A、B分离的过程中，弹簧的弹性势能减少了0.248 J，求这一过程F对木块做的功。

　　[解析]
　　（1）当F=0（即不加竖直向上F力时），设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x，有kx=（mA+mB）g，所以x=（mA+mB）g/k　　　　　　　　　　　①
　　　 　对A施加F力，分析A、B受力如图：

　　　 　对A：F+N-mAg=mAa　　　　　　　　　　 ②
　　　 　对B：kx′-N-mBg=mBa′　　　　　　　　③
　　　 　可知，当N≠0时，AB有共同加速度a=a′，由②式知欲使A匀加速运动，随N减小F增大，
　 　　　当N=0时，F取得了最大值Fm，即
　　 　　Fm=mA（g+a）=4.41 N

　　（2）又当N=0时，A、B开始分离，由③式知，此时弹簧压缩量kx′=mB（a+g）
　　　 　即x′=mB（a+g）/k　　　　　　　　　　④
　　　 　AB共同速度 v2=2a（x-x′）　　　　　　⑤
　　　 　由题知，此过程弹性势能减少了WP=EP=0.248 J
　　　 　设F做功WF，对这一过程应用动能定理或功能原理
　　　 　WF+EP-（mA+mB）g（x-x′）=（mA+mB）v2　　　　⑥
　　　 　联立①④⑤⑥，且注意到EP=0.248 J
　　　 　可知，WF=9.64×10-2 J

　　[点评]此题命题意图是考查对物理过程、状态的综合分析能力。难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力N=0时 ，恰好分离。

　　类型3：利用简谐运动的对称性
　　〖例7〗如图所示，一升降机在箱底装有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中：（　 ）
　　A. 升降机的速度不断减小
　　B. 升降机的加速度不断变大
　　C. 先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功
　　D. 到最低点时，升降机加速度的值一定大于重力加速度的值

　　[答案]CD

　　[解析]升降机从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动可以转化为熟悉的弹簧振子，其平衡位置是重力与弹力相平衡的时刻。升降机的弹簧从触地到平衡位置之前，加速度是在不断减小，速度不断增大，故选项A、B不正确。

　　弹簧下端触地后，升降机先加速后减速，加速度先减小后增大。达到平衡位置之前，重力大于弹力，所以重力做正功大于弹力做的负功；过了平衡位置，弹力大于重力，所以重力做正功小于弹力做的负功。选项C正确。

　　对于选项D，可以设想有一轻弹簧竖直在水平地面上，将一小球无初速度放于弹簧上，可以证明小球的运动为简谐运动。由简谐运动的对称性知小球在最低点加速度的值等于在最高点的值。若小球以一定速度落在弹簧上，在最低点加速度的值必大于重力加速度的值。故选项D正确。

　　[点评]简谐运动的对称性在弹簧问题的运动上有广泛的应用，因此在解决有关于位移、速度、加速度及力的变化时，经常用到。

　　〖例8〗如图所示，一根轻质弹簧两端与质量分别为m1 和m2的木块相连，竖直放置在水平地面上。问：至少要向下压多大的力F于m1上，才可以使突然撤去外力F后m2恰好离开地面？

　　[解析]m2恰好离开地面的临界条件是弹簧比原长再伸长x2，且kx2=m2g和m1速度为零。
　　设未加压力F时，弹簧的压缩量为x0；加压力F时，弹簧的压缩量为x1，
　　则：kx0=m1g　 kx1=F+m1g
　　应用简谐运动的对称性求解：m2不离开地面，m1做简谐运动，则
　　振幅：A=x1－x0= x0 + x2
　　所以x1=x2+2x0=
　　加压力F时，F+m1g=kx1
　　∴F=kx1－m1g=(m1+m2) g

　　[点评]物体与弹簧组成的系统做简谐运动时，具有明显的对称性，这类题一般用对称性来求解会简单得多。

　　类型4：电磁学中弹簧问题
　　〖例9〗一劲度系数为k的轻质弹簧，下端挂有一匝数为n的矩形线框abcd，bc边长为L。线框的下半部处在匀强磁场中，磁感强度大小为B，方向与线框平面垂直，在图中垂直于纸面向里。线框中通以电流I，方向如图所示。开始时线框处于平衡状态，令磁场反向，磁感强度的大小仍为B，线框达到新的平衡。在此过程中线框位移的大小Δx=________，方向________。

　　[解析]令线框质量为m。开始时，线框受向下的重力、向上的弹力和安培力，三力平衡，有
　　 　 　mg=nBIL+kx1　 ①
　　 　 　磁场反向后，安培力由向上改为向下，其它力情况不变，有：
　　 　 　mg+nBIL=kx2　 ②
　　 　 　电流反向后，弹簧的伸长是x2＞x1，
　　 　 　Δx=x2－x1　　 ③
　　 　 　由①②③解之：，方向向下。

　　[点评]本题为静力学与安培力综合，把安培力看成静力学中按性质来命名的一个力进行受力分析，是本题解答的基本思路。

　　〖例10〗如图，固定的水平金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略，初始时刻，弹簧恰处于自然长度，导体棒具有水平向右的初速度v0。在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触。
　　（1）求初始时刻导体棒受到的安培力；
　　（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为EP，则这一过程中安培力所做的功W1和电阻上产生的焦耳热Q1分别为多少？
　　（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？

　　[解析] 导体棒以初速度v0运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的作用。安培力做功使系统的机械能减少，最终将机械能全部转化为电阻R上的焦耳热。由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即此时弹簧处于初始的原长状态。

　　（1）初始时刻棒中感应电动势：
　　 　　棒中感应电流：　 作用于棒上的安培力
　 　 　 联立得，方向：水平向左

　　（2）导体棒从初始时刻到速度第一次为零过程中，棒最初的动能转化成了弹簧的弹性势能和焦耳热，
　 　 　 即
　　 　　所以电阻R上产生的焦耳热
　　 　 由功和能的关系知Q1=-W安，所以安培力做功

　　（3）当棒静止时，安培力为零，导轨光滑，所以棒会静止在弹簧原长处，即棒最终静止于初始位置。
　　 　　此时弹性势能为零，根据能量守恒知在整个的运动过程中系统最初的动能最后全部转化成焦耳热，
　　 　　即

　　[点评]本题考查了单杆切割问题及功能关系，本题最大特点在于它突出了力电磁等主要知识的综合，考查了学生的综合分析能力。同学们要充分掌握高中物理的两大基本观点：力的观点和能量观点，这是解决此类问题的基本途径。

　　类型5：综合性弹簧问题
　　〖例11〗如图所示，光滑水平面上放有A、B、C三个物块，其质量分别为mA=2.0kg，mB=mC=1.0kg，用一轻弹簧连接A、B两物块，现用力压缩弹簧使三物块靠近，此过程外力做功72J，然后释放。求：
　　（1）释放后物块B对物块C一共做了多少功？
　　（2）弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能为多大？

　　[解析]
　　（1）释放后，在弹簧恢复原长的过程中B和C和一起向左运动，当弹簧恢复原长后B和C的分离，所以此过程B对C做功。
　　　　选取A、B、C为一个系统，在弹簧恢复原长的过程中动量守恒，取向右为正向，则有：
　　　　　 ①
　　　　系统能量守恒：　 ②
　　　　∴B对C做的功：　 ③
　　　　联立①②③并代入数据得：

　　（2）B和C分离后，选取A、B为一个系统，当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，此时A、B具有共同速度v，取向右为正向
　　　　由动量守恒：　　　　 ④
　　　　弹簧的最大弹性势能：　 ⑤
　　　　联立①②④⑤并代入数据得：Ep=48J
　　[点评]求解弹簧类综合题有以下步骤或方法：
　　①根据题述情景，正确分析物理过程，灵活运用相关规律，如牛顿运动定律和运动学规律、动量定理、动能定理、动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒等；
　　②当两个物体共同运动时，要注意两物体刚好分离时的受力特点，即：两物体间的作用力为0；
　　③弹簧在形变量最大时，其两端所连接的物体速度相同。

　　〖例12〗质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示。一物块从钢板正上方距离为3X0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m时，它们恰能回到O点，若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到最高点与O点的距离。

　　[解析]
　　物快m自由下落h=3x0，在与钢板碰前，速度为v0，则有

　　解得
　　设v1表示质量为m的物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度，因碰撞时间极短，动量守恒，有
　　mv0＝2mv1
　　解得

　　物块与钢板一起以v1的速度向下压缩弹簧后又一起回到O点，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，设初始弹簧弹性势能为EP。则有

　　解得　

　　当物块质量为2m时自由下落与钢板碰撞，v2表示质量为2m的物块与钢板碰撞后开始一起向下运动的速度，则有

　　2m的物块与钢板一起以v2的速度向下压缩弹簧后又一起回到O点，系统的机械能守恒，设回到O点时速度为v，则有
　　因为两次碰撞初始弹簧的压缩量都是x0，则弹性势能E p′=Ep　
　　解得

　　当质量为2m的物块与钢板一起回到O点后，由于物块与钢板不粘连，钢板将受弹簧拉力作用，加速度超过g，物块仅受重力作用与钢板分离，做竖直上抛运动，
　　上升最大高度

　　[点评]本题考查了机械能守恒、动量守恒、能量转化和守恒等多个知识点，是一个多运动过程的问题。关键问题是分清楚每一个过程。建立过程的物理模型，找到相应解决问题的规律。弹簧类问题，画好位置草图至关重要。

　　跟踪练习：
　　1．如图所示，在一粗糙水平面上有两个质量分别为m1和m2的木块1和2，中间用一原长为L、劲度系数为K的轻弹簧连结起来，木块与地面间的动摩擦因数为μ。现用一水平力向右拉木块2，当两木块一起匀速运动时，两木块之间的距离是：（　 ）
　　A．　　 B．　 　C．　　 D．

　　2．如图所示，质量分别为mA和mB的A和B两球用轻弹簧连接，A球用细绳悬挂起来，两球均处于静止状态，如果将悬挂A球的细线剪断，此时A和B两球的瞬时加速度各是多少？

　　3．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量分别为mA、mB，弹簧劲度系数为k，C为一固定档板，系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向上提拉物块A使之向上运动，求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d。（重力加速度为g）

　　4．在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的最大速度为v0，如图所示。当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，则
　　（1）要保持物体和振子一起振动，二者间的动摩擦因数至少是多少？
　　（2）一起振动时，二者经过平衡位置的速度为多大？振幅又是多大？

　　5．如图所示，一轻弹簧一端系在墙上O点，自由伸长到B点，今将一质量为m的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到A点，然后释放，小物体能在水平面上运动到C点静止，AC距离为s。若将小物体系在弹簧上，在A点由静止释放，则小物体将做阻尼运动到最后静止，设小物体通过的总路程为，则下列答案正确的是（　 ）
　　A．　 B．　 C．　 D．以上A、B答案都有可能

　　6．如图所示，两物体原来静止，质量m1=2m2，两物体与水平面的摩擦因数为μ2=2μ1，当烧断细线后，弹簧恢复到原长时，两物体脱离弹簧时的速度均不为零，则（　 ）
　　A．两物体在脱离弹簧时速率最大　 B．两物体在刚脱离弹簧时速度之比v1 / v2=1 / 2
　　C．两物体的速率同时达到最大值　 D．两物体在弹开后同时达到静止

　　7．如图所示，A、B两物体的质量分别是m1=5 kg、m2=3 kg。它们在光滑水平面上沿同一直线向右运动，速度分别为v1=5 m / s，v2=1 m / s。当A追上B后，与B上固定的质量不计的弹簧发生相互作用，弹簧被压缩后再伸长，把A、B两物体弹开，已知A、B两物体作用前后均沿同一直线运动，弹簧压缩时未超过弹簧的弹性限度。 求：
　　（1）AB相互作用后的最终速度各是多少？
　　（2）碰撞中弹簧具有的最大弹性势能是多少？

　　参考答案：
　　1．A
　　[解析] 当两木块匀速运动时，木块1受到的两个力：摩擦力和弹簧的弹力相等，
　　　　　 即μm1g=kx，所以，此时弹簧处于伸长状态，
　　　　　 故两木块间的距离是，选项A正确。

　　2．aA=2g　 aB=0
　　[解析] A、B两球各自的受力情况分析如图所示。
　　　　　 原来：　　　　 　　　后来：　
　　　　　∴
　　　　　∴

　　3．，

　　[解析] 令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知mAgsinθ=kx1　 ①
　 　 　　 令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿定律得：
　　　 　　kx2=mBgsinθ　　　　　 ②
　　 　　　F―mAgsinθ―kx2=mAa　 ③
　　 　　　由②③式可得　 　　④
　　 　　　由题意，d=x1+x2　 ⑤
　　　 　　由①②⑤式可得　 　　　⑥

　　[点评] 本题涉及了胡克定律、牛顿定律等知识点，考查了学生分析、判断、推理的能力，求解的关键是分清B物体刚离开C这一临界状态时，A、B两物体的受力情况。

　　4．（1）　 （2）　 振幅仍是A

　　[解析] 放物体前最大回复力F=kA，振动的最大机械能。

　　（1）放物体后，假定一起振动，则可产生最大加速度
　　　　 对物体来说，所需要的回复力是振子给它的摩擦力，刚放时所需的摩擦力最大，最大静摩擦力为μmg。
　　　 　当μmg＞ma时一起振动，所以

　　（2）由于物体m是在最大位移处放在M上的，放上后并没有改变系统的机械能，
　　　　 则，∴。

　　物体和振子在最大位移处动能为零，势能最大，这个势能与没放物体前相同，所以弹簧的最大形变应是相同的，因而振幅仍为A。

　　5．D
　　[解析] 物体不系在弹簧上时，由A运动到C的过程中，水平方向只受弹力及滑动摩擦力，由能量守恒定律可知：弹簧的弹力势能Ep全部转成内能（通过克服摩擦力做功）
　　即：Ff·s=Ep。　　　 ①

　　若物体系在弹簧上做阻尼运动时，水平方向受力与前面相同，只不过随运动方向的不同，摩擦力方向不同，但大小恒定且与上一种情况下相等，摩擦力始终做负功，由能量守恒定律可知弹簧的弹性势能也要通过物体克服摩擦阻力做功而转化成内能，由于水平面不光滑，物体可能停在B点以外的位置，此时弹力不为零，但地面对物体的静摩擦力与之平衡而静止，此时，弹簧仍具有弹性势能Ep＇，所以有
　　　　②
　　又Ep＇＞0　 ③
　　由①②③式可得：，故答案A正确。

　　物体也有可能停在B点，此时弹力为零，地面对物体的摩擦力也为零，弹簧的弹性势能
　　Ep＇=0　 ④
　　由①②④式可得：，故答案B正确。
　　综合以上分析：本题答案选D。

　　[点评]本题没有复杂定量的计算，主要是通过定性的分析及简单的推导即可确定正确答案，但是要正确求解本题，除有关的基本知识，如弹簧问题、物体受力问题、运动情况需熟知外，对整个物理过程的分析也是很重要的，特别是，系住物体与不系住物体相比，两种情况下有哪些相同之处，又有哪些不同的地方，特别要搞清楚，系住物体使物体做阻尼振动时，为什么有可能停在B点，也有可能停在B点以外的位置，这是解决本题的关键所在。

　　6．BCD
　　[解析] m1物体受到的摩擦力f1=μ1m1g，m2物体受到的摩擦力f2=μ2m2g，所以：

　 　　　　m1和m2组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，即： m1v1－m2v2=0，
　　　　 　∴，即在运动中的任何时刻，二者的速度比都是，并且同时达到最大值，故BC正确。

　　当弹力大于摩擦力时，物体做加速运动，弹力小于摩擦力时，物体做减速运动，所以弹力等于摩擦力时，速率最大，故A错。
　　离开弹簧后，物体只受摩擦力，据动量定理得： －μmgt=0－mv
　　所以 t∞
　　所以：，同时静止，故D项正确。

　　7．[解析]
　　（1）以AB为系统，在碰撞过程中所受合外力为零，总动量守恒，设AB相互作用后的最终速度分别为v1＇、v2＇，取水平向右运动方向为正方向，则有：
　　　 　m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇　　　　　　　　 ①
　　 　　又AB相互作用时，只有弹力做功，机械能守恒，即：
　　 　　　　②
　　 　　把以上两式移项变形为：
　　 　　m1 (v1－v1＇)=m2 (v2＇－v2)　　　　　　 ③
　　 　　m1 (v12－v1＇2)=m2 (v2＇2－v22)　　　　 ④
　　 　　③④两式相除得：v1+v1＇=v2+v2＇
　　 　　所以　 v2＇=v1+v1＇－v2　　　　　　　　　⑤
　　 　　将⑤式代入①式得：
　　 　　m1v1+m2v2=m1v1＇+m2 (v1+v1＇－v2)
　　 　　所以碰后A的速度：
　　 　　，方向水平向右
　　 　　将v1＇代入得⑤式得：
　　 　　碰后B的速度v2＇=6 m / s，方向水平向右。

　　（2）A相对B静止时，弹簧压缩最短，弹性势能最大，这时AB速度相同，根据动量守恒定律得：
　　 　　m1v1+m2v2=(m1+m2) v
　　　 　所以共同运动的速度

　　　 　由机械能守恒定律有：

　　 　　所以弹簧的最大弹性势能