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建立不等式模型解决实际问题

【教学目标】掌握建立不等式模型解决实际问题的思想方法
【教学重难点】如何建立合理的不等式模型
【教学过程】
一、引例：
问题：大家都有这样的经历：一杯糖水，若再加入一些糖（糖水未饱和），糖水变甜了。你能解释其中的道理吗？
不等式模型：设克糖水中有克糖，现再加入克糖，则有：（真分数的性质）
通过这个不等式模型我们能很直观的解释这个道理。这是一个比较简单的通过不等式模型解决实际问题的例子。下面我们通过一些稍微复杂点的例子来复习这种通过建立不等式模型解决实际问题的思想方法。板书课题--《建立不等式模型解决实际问题》
二．例题选讲
例1. 一个书店里有两种杂志，各30本，杂志5块钱2本，杂志5块钱3本。那一天，这60本杂志全卖完了，经过计算，5块钱2本的杂志共卖75元，5块钱3本的杂志共卖50元，总共是125元。第二天老板又拿出同样的60本杂志，他想何必自找麻烦来分杂志呢？30本杂志是5快钱2本，30本杂志5块钱3本，何不把60本杂志放在一起，按10块钱5本来卖？这一天60本杂志全按10块钱5本卖完了，可是老板点钱时发现只卖得120元，不是125元，这5元钱到哪去了呢？老板百思不得其解，你能帮助分析原因吗？
请同学们想一想这是什么原因，并和身边的同学讨论讨论。
我们来把两种方式卖的钱分析一下：
如果是分开卖，那么杂志一共卖了元，杂志一共卖了元，总共是元。
如果是合卖，60本杂志卖了元。
解析：设杂志元本，则单价为，杂志元本，则单价为，故分卖平均价格，合卖平均价格为
差价为：，
因为所以，故分卖赚钱些
不等式模型：设，则与不一定相等
特别的，当时，
由此可见商品的分卖与合卖谁更合算不是想当然，这里蕴含着一个数学不等式，课后请大家研究到底何时分卖合算，何时合卖合算？如果你身边有亲戚做生意，可以以此指导他制定销售策略。倘若你是好邻居商场的营销经理，切记要建立恰当的不等式模型，选择合理的营销方案。
例2．（2011年江苏连云港市质检）如图1，是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤，线段和曲线分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要，拟过栈桥上某点分别修建与平行的栈桥，且以为边建一个跨越水面的三角形观光平台．设点的坐标为．（题中所涉及长度单位均为米，栈桥及防波堤都不计宽度）
（1）求三角形观光平台面积的最小值；
（2）若要使的面积不小于平方米，求的范围．
图1
图2

解：（1）由题意，得
又因为在线段上，所以，

由，得，当且仅当时等号成立.
令，则.
又当时，故在上单调递减，
所以，此时.
所以面积的最小值为平方米.
（2）由题意得，即，解得或（舍去），
所以，即，解之得.
所以的范围是．
点评： 不等式在实际问题中的应用由实际问题中的不等式关系的建立、解相关参数的不等式、应用基本不等式求解相应函数的最值.
不等式模型：设，则，当且仅当时等号成立
三．小试牛刀
练习1. 荆州中学高三年级有两个阳光班，教务处的工作人员统计期末数学考试成绩时，计算出两个班中男生的及格率都比女生的及格率高（计算没有错误），于是得出这两个班级男生的及格率比女生的及格率高的结论。一位数学老师听完他的汇报后，对这位工作人员的统计方法提出了质疑。请问这位数学老师为什么质疑，这位工作人员的统计方法存在问题吗？请举例试一试。你能由此得到什么更一般的结论吗？
反例
班级
甲班
乙班
男女人数
男25人
女30人
男29人
女24人
及格人数
23人
27人
17人
14人
及格率
92％
90 ％
58.6 ％
58.3 ％
但是男生及格率为，女生及格率为
建立不等式模型
班级
甲班
乙班
男女人数
男人
女人
男人
女人
及格人数
人
人
人
人
及格率

全年级男生及格率为，全年级男生及格率为，
工作人员的推理是：，但这个不等式是假命题
因为，而已知条件只能保证分子前两项大于0，当第三项小于0时，上式不一定大于0
不等式模型：设，则是假命题
练习2.（2011年苏州第一次调研） 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距正比于车速的平方与车身长的积，且车距不得小于一个车身长（假设所有车身长均为）．而当车速为时，车距为个车身长．
（1）求通过隧道的最低车速；
（2）在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量最多？

四、 方法小结
我们今天通过三个不等式模型解释了三个实际问题，和大家一起复习了这种建立不等式
模型解决实际问题的思想方法。同学们身边还有很多实际问题可以通过不等式模型来解决，希望大家在下面多收集这样的不等式模型，和同学交流，掌握更多的不等式模型，解决更多的实际问题！