高等数学_第二章 导数与微分课件.pdf
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1、第二有 导数幺微分才由于艾立修wa:3Qt ia?nrasn&i as.第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续的关系2导数概念的产生导数思想最早由法国数学家Fermat在研究 极值问题中提出.微分学的创始人(1601-1665)英国数学家Newton(1642-1727)德国数学家Leibniz(1646-1716)3一、引例1.变速直线运动的速设描述质点运动位置的函数为S=S(/)Sa)S(/o+A/)则从4到4+/的平均速度:S&+A/)S(/o)V-A/在4时刻的瞬时速度:lin/TO。)A/0AZ42.切线问题割线的极限位置一一切线位置若割线MN绕点
2、M旋转 而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C 在点M处的切线.极限位置的含义:9(NMTQ5设 Nx,y).割线龙加的斜率为 itan cp ,N沿曲线c M、1f不,切线S的斜率为=tana=lim-八”。).t己 Ax=%Xf*0 x-XQ=Hm/Km+Ax)-/Im)A*一。A X6总结:瞬时速度:=lim SG+A/K/。).A/fO A/切线斜率:k=lim/U+A x)/U)-Ax共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题加速度、电流强度、角速度、线密度等 7二、导数的定义定义 设p=/(方在飞的某邻域内有定义.若 lim 包=lim/(%)一/(%)存在,Ax A
3、x%x则称/(%)在0处可导,并记此极限为/(%)在次处的导数.,dy 必(%)记作 y 片曲,/(%o),dr%=%o dx%=司即 生=lim/(xo+A r)-/(xo)Ax-0 Ax-Ax8注释:1、若lim包不存在,则称/(%)在小点不可导;4rAx若lim包=8,不可导,也称导数为无穷大.心一 Ax2、导数的其它形式/(/)=独力-0/(%+万)-/(%)h/(须)=lim 0.X-M3、导数/(%)为因变量歹在点不处的变化率,它反 映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.9若/口)在开区间/内的每点处都可导,则称/(%)在开区 间/内可导此时,对于任一次/,都对应着一个确定的导
4、数值.这样就构成了一个函数,此函数称为歹=/(6的导函数(简称导数).记作/(%),旦幺或也。dx dx即,y=lim/(+曲一/(),或/(力=1而/(+,)-/(4)4rf Ax ho h注意:/(%)=/)X-X10例1求/(%)=C(C为常数)的导数解/(*)-lim*+4)_/(*)=fto h o h即(O=o.按定义求导的一般步骤:(1)求增量 y=/(%+Ax)-/(%);(2)算比值包=/(%+A r)-/(%);Ax Ar求极限=lim包.-Ax11例2 设/(jt)=sinjt,求(sin%)及(sinjt),71 X4解(sin*)=lim,f osin(x+/)-si
5、nxh1.,、=hmcos(x+-)-h0 2.h sm-3=cos x.n2(sin%)=cosx(sin%)X4=cos/订兀X42类似可得:(cos x)f=-sinx12例3求夕=/(协正整数)的导数.解(x)=lim(+W一炉,to h=+犷a。2!-nxnX即(/)=犷I更一般的,(/)=/(pet?)如:(4x y=,(1)=w2、x x x13例4求/(%)=,0/w 1)的导数.tx+h解)、鸵,=/加。.f。h即)=In a.特别地,(,)=,.14例5 求p=log(0Wl)的导数.解八题1 呜(*+4)Tog*hlog(l+)n x=lim-=limlog(l+),go
6、 h x xx1,1二-loge=-x xl na1 i即,(log 村=.特别地,(ln%)=.xna x15例6设/(%)存在,求lim力-o/(%+/)/(%4)2h的百 T-Iiimr/a0+m/(天)解:原式_脚-X-/(%一/)-4/)h1 Hm/(M+/)/(”。)+八7g2h 一,二(%)+/)=/(*o)16单侧导数左导数:/(%)=lim/。)右导数:ZU)lim/(X)-/(Xo)力演 X Xq2面 X-=lim/(&)-/(%).一 Ax 5=1向/(Ax)-/(%).Axfo+Ax 定理:/(%)存在o/(%)与/E)存在且相等/(力在闭区间以句上可导是指:/(%)在
7、开区间(区方)内可导,且/()及/(,)都存在.17例7讨论/(%)=国在%=0处的可导性.解/(o)=丹仅70k加3=1,/(0)=1加/(+0一/()J 40-h即/(0)wN(0),y=/(%)在%=0点不可导.18三、导数的几何意义与物理意义1.几何意 义/(%)表示曲线y=/(%)在点”(%,/(题)处的切线的斜率,即,/(%o)=tana,(q为倾角).切线方程:9%=/(%)(1一/)法线方程:1尸盟二_7(*_/)/(*o)(/(M)wO)191 1例8求等边双曲线p=L在点J,2)处的切线的%2斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.解由导数的几何意义,得切线斜率为才=/1
8、=(一)1=2 1=.4 X x=2 X 42切线方程y2=4(x)5 即,4x+y 4=0.法线方程y-2=-x-BP,2%8p+15=0.4 2202.物理意义变速运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度.Ns dsM/)=hm=Arf o A/dt交流电路:电量对时间的导数为电流强度.=lim=收.so A/dt非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为 物体的线(面,体)密度.四、可导与连续的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证设/(%)在点用。可导,即,/(%)=妈由函数极限与无穷小的关系知:/(4)+a,其中,cc 0(Ax 0)Ax即,Ny=/(%)Ajr+aA%故,lim N
9、y-lim/(%)Ax+ocAx=0 Ajt0 Ajt-0/(%)在点不连续.22注意:1连续不一定可导.如小)=M 1乃丁/*)在I=0点连续,/但 z(o)=1,Z(o)=-1 5/.y=/(%)在=0点不可导.2、如果/(%)在%=不点不连续,则一定不可导.3、讨论分段函数在分段点的导数时应该用左、右导数.23.例9讨论/(%)=n)、0,解sin,是有界函数,/(0)=0=lim/(x)%0在%=0的连续性与可导性.x=0/.lim/(x)=limxsin =04-o 丁-o%./(%)在;0处连续.在x=0处,包=x(0+Ax)sin-0.0+Ax 1-muAx A x而limsin
10、-不存在,故,4rf Ar/(%)在=0处不可导.lim包不存在.-Ar241 Vl x 例 10 已知/(%)=一;一 bx.x 0问:为何值时/(%)在=0点可导?解:可导一定连续,于是,/(0+)=/(0-)=/(0),故,lim(v+bx)-lim-=a.x-0+彳-0一 xmil v 1 a/1 x.x 1贝a lim-=lim-/=2一%(1+Jl 一%)2/在=o点可导O N(o)=N(o),25I,_l 而可二同/一/二则.5 一二%-o+x%-。+X1 y/X 1/八、/(%)-/(。)x 2/(O)=lim 八 八)-lim-0-x%一%二 lim-=lim-=-一 彳-一
11、2(1_|:+)8由N(0)=/(0)可知:b=:O1 1即当=4=时,/(%)在%=0点可导.2 826例 11 设/(%)=X.%0解当%0时,/(%)二 lim ln(l+%+Ax)Tn(l+1)LO Ax1 Av=limln(l+)心-0 Ax 1+x1 Ar 1=lim-=-.Ar 1+x 1+x27当%=0时,/(0);lim(O 0Tn(l+O)二 hG hZ(o)-lim力o+lnl+(0+)-ln(l+0)=1,于是/(0)=1.h所以1,/5)=1J+xx 0 28例12问曲线歹=盯在何处有垂直的切线?在何处的 切线与直线歹1平行,并写出切线方程?解:因为 y=(vy=-L
12、3V7故,火Lo=8,则在(0,0)处有垂直的切线)=0.1 1 1令得%=1,止匕时,夕=1.3行3故,在(1,1)与(-1)的切线与直线尸平行,且切线方程为:y-=(x1),即,-39+2=01p+l=(%+1),即,3P-2=03 29第二节困教的求导法则一、和、差、瓶、商的求导法则二、反法教的导教三、复合法教的求导法则y/8、初等函数的求导问题/,、和、差、积、商的求导法则定理1若(%),火力)在1处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)缶处也可导,且(1)(力 心)=(%)/(%);(2)(%).%)=()玫%)+(%)/(%);“叫二u(玫?一 了(”)(心)。0).可力)V(
13、X)仅证(3)(,=(力一%)一(%)玫%)(心),)设/(%)=勺2(M%)。0),心)破*+/)破*)/(*)=lim/(/(*)=。*+,)痛,.o h,fo hHm,)w*)一 M*)W=+4)ao W*+hv(xh=limM*+/)-4*)p(x+/)-v(x)WX+/)0.在%(-1,1)时,(arcsin)=-=/.2一(smj)cosj 1-sin2 j即,(arcsin%)=/1一J1 /类彳以可得(arccos力=.a/1-x2 例7求歹=arctan%的导数.解:p=arctan%的反函数为=tan 在尸(-三二)内,%=tan/单调、可导,且(tan/)=sec2/w
14、0.1111故,(arctan x)f=-=-=-=-(tan y)sec2 P 1+tan2 y 1+x因此,类似可得(arctan x)f=1 l+x2(“ccot=-i i+f三、复合函数的求导法则 求下列函数的导数:1、f.2%y=In tan x y=e,p=sm-,1+x定理3若=g(%)在“可导,而夕=/()在点u-烈%)可导,则复合函数p=/g(%)在点可导,且导数为ax au ax即,复合函数对自变量求导,等于复合函数先 对中间变量求导,再乘以中间变量对自变量求导.链式法则证由于夕=/()在点可导,故,lim包=/()-o Az/因止匕,=/()+a(lim a=0)Az/八
15、。即,Ny=/()A+aAr/Av r/、A Az/.,故,lim=+a4rf0 Ax 0 Ar Ax方,、-A 11.A=/()lim+lim a lim Ar0 Zx Ar0 Arf0 x=/()(%)证毕.推广 设歹二/(),=y=(x),则复合函数y=/仲吠(%)的导数为 dy _dy du dv dx du dv dx例8求/=In sin%的导数.解 因为夕=In,u-sin x,故,及=或.必=Lcos%=9=cot”dx du dx u sm%例9求p=tan(l+石)的导数.解:因为夕=tan,=1+G故,虫=也.包=s戋2.;=*sec2(l+我)dx du dx 2yIx
16、 2v x例10求歹=(*+1)1。的导数.解 女=10(*+1)9.(*+1),dx=10(/+1)9.2%=2OM*2+1)9.例11求解(/In 才)=In力口才),=Xx(lnx+1)例 12 求 p=arctan Jl+sin 3的导数.解:包=-1(71+sin3xydx l+(Jl+siu3”)2112+sin3x2jl+sin3”(l+sin3”)12+sin3”2jl+sin3”cos3(3*)2+sin3”2,l+sin3”cos3*3*ln311J*+例13求p=ln孚上(2)的导数.vx-2解 因为歹=,ln(/+l)_,ln(%_2),3m,11c 1 _ x 1故,
17、y;2%-2,.一,.、2 x2+l 3(%2)x+1 3(*-2).1Qin 例14求/=,的导数.解-1 1.1 1 1sin I sin-11.y9=e”(sin)=e cos(一)二一二 y.*Xsin-1*cos X例15设/(x)x,ln(l+x),%Q,求/(%)解当0时,/(x)=1,当力 0时,/(%)=11+x当%=0时,N(0)=lim(O+0Tn(l+O)=20一 hAlnl+(0+)-ln(l+0)1-=1h故,/(。)=1:/(%)=1,1x 0e例16 设/(%)=3%求/(%).X2.x解 当了1时,/(%)=2匹当=1时,/=lim/力2 a 2J-1=2h(
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