数学史上的三大数学危机.pdf
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1、朱业成1历史上,数学的发展有顺利也有曲折。大 的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战,危机的解决就意味着进步。所以,危机往往 是数学发展的先导。数学发展史上有三次数 学危机。每一次数学危机,都是数学的根基 受到质疑。实际上,也恰恰是这三次危机,引发了数学上的三次思想解放,大大推动了 数学科学的发展。2一、V2与第一次数学危机1.毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯Pythagoras(约前570年一 前500年)是公元前500多年古希腊的哲学家、数学 家、天文学家。毕达哥拉斯(公元 前570年公元前500年)3毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织,也致力于哲学与数学的研究,促进了数学和 理性哲学的发展,并对柏
2、拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。相传“哲学”(希腊原词加obo/ca 意为“智力爱好”)和数学”(希腊原词 4a夕4,7a意为“可学至!I的知识”)这两个词是毕达哥拉斯本人所创。42.“万物皆数”学说数,是世界的法则毕达哥拉斯说的“数”,是指自然数,即正整数,同时还包含它们的比,即正分数-O m任意两条线段a、d都是可公度的“可公度的”,意即有公共的度量单位t 0 a d t-a-mt d=nt实例形数(表示图形所用点的个数)三边形数61015四边形数491625六边形数五边形数5122235152845V1+3+(2-1)=n2V1+5+,+(4-3)=22 n1+1)1+2 H-vn
3、-2+4+.+(3”2)=*;2)7产生谐音的各个弦的长度成小整数比绷得一样紧的两根弦,若其长度成小整数 比,就会发出谐音。例如,1:2时短弦的音高 8度,2:3时短弦音高5度,3:4时短弦音高4 度;当三根弦的长度之比为3:4:6时,就得 到谐音。8同名正多边形覆盖平面只有三种情况:环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形,或者4个正方形,或者3个正六边 形,如图:毕达哥拉斯学派确信:“宇宙的和 谐在于数”,神是以数的规律创造世界 的。“万物皆数”学说产生了很大的影响。103.、/1的发现和危机的产生1)一个不能表成整数比的数根据毕达哥拉斯定理,边长为1的正方形,其对 角线长度若记为C,则
4、c2=r+i2=2,推出 02=2 但。不能表成整数比。下边证明,当。2=2时,。不能表成整数比。如果不然,有两个正整数加和使C=土 m(不妨设.是既约分数即(私)=1)。两端 m.2平方得2=勺,即2加2=2。m由此知/是偶数。由于偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数,是偶数。12因A“既约”,m不能再是偶数,于是m是奇数。m这样2加2=2的左端,因捞是奇数而不能被4整除,右端却 是偶数而可以被4整除。这个矛盾说明开始的假设=.是错误的。从而 不能表成两个整数的比。m证毕。注:这是“反证法”的开始。132)不可公度的线段设正方形的边长为4,对角线长为d,如图:由1)知,与d就是不可公度线段。1
5、43)危机产生,封锁消息希帕索斯泄露秘密,被抛进大海。定方形的对角 庭升、力的长度是不可公与过J 000希帕索斯(Hippasus)154.无理数与数系的扩张危机的解决1)无理数像/=2这样的数c,和其它一些不 能表成整数比的数,称为无理数。162)数轴古代观点:数轴一有理数现代观点:数轴一实数173)数系的扩张一一危机的解决。数系扩张为实数系以后,第一次数学危 机就彻底解决了。因为数的范围扩充以后,“万物皆数”的命题就是正确的了;不能表成整数比 的数,即无理数,也是实数系中的数了。18二、第二次数学危机第二次数学危机发生在牛顿创立微积分 的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉 斯学派内部提出
6、的,第二次数学危机则是由 牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是 对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。191.危机的引发1)牛顿的“无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴 含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体在某一 时刻的瞬时速度。在牛顿之前,只能求一段时间 内的平均速度,无法求某一时刻的瞬时速度。20例如,设自由落体在时间,下落的距离为S),有公式SC)=;g*其中g是固定的重力加速度。我们要求物体花的瞬时速度,先嚼 o1 9 1?AS=S(G S&)二不第2;1 1=-g&+加)2 一 宿=g2%0加+(加)2 AS 1/a
7、(*、I21当加变成无穷小时,右端的Jg)也变成无穷小,因而上式右端就可以认为 是g0,这就是物体在to时的瞬时速度,它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严 格,遭到责难。222)贝克莱的发难理论。贝克莱问道:“无穷小”作为一个量,究竟是 不是0?AS 1、/*、H=g,o+5g)()如果是0,上式左端当加成无穷小后分母为0,就 没有意义了。如果不是0,上式右端的;且(加)就不能 任意去掉。23贝克莱还讽刺挖苦说:即然加和AS都变 成“无穷小”了,而无穷小作为一个量,既 不是0,又不是非0,那它一定是“量的鬼魂”To这就是著名的“贝克莱悖论”
8、。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家 提出的,但是,贝克莱的质问是击中要害的。243)实践是检验真理的唯一标准应当承认,贝克莱的责难是有道理的。“无 穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小”的方法。数学家们相信它,只是由于 它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们 不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的 脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。”252.危机的实质第二次数学危机的实质是什么?应该说,是极限的概念不清楚,极限的理论基础不牢固。也就是说
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