数学建模课程设计综合问题集锦.doc

1、药物吸收问题
设表示时刻体内药量，药物经口服吸收而进入血内，因代谢而逐步消除药物(排泄). 已知在t = 0时口服含X(克)剂量的药物后血内药物剂量 (纳克) (1纳克=克)与时间t (小时)的关系为
，
其中为未知的吸收速度常数，F为未知的吸收比例常数，K为未知的消除速度常数.
现有一体重60千克的人在t =T1= 0时, 第一次口服某药(含剂量X=0.1(克))，测得不同时间的血药浓度数据如下:

0.5
1
1.5
2
2.5
3
5
7

304.7
508.75
639.04
715.6
753.54
763.94
666.95
509.5

10
13
15
18
20

312.83
185.64
130.26
76.39
53.37

注:血药浓度 (纳克/毫升), V表示未知血液容积(毫升).
问题：设相同体重的人的药物代谢的情况相同.
1. 问一体重60千克的人第一次服药X=X1=0.1克剂量后的最高血药浓度Cmax(纳克/毫升);
2. 为保证药效, 在血药浓度降低到437.15纳克/毫升时应再次口服药物, 其剂量应使最高浓度等于Cmax(纳克/毫升). 求第二次口服的时间与第一次口服的时间的间隔T2(小时)和剂量X2(克).
3. 画出符合2的二次服药情况下在24小时之内的血药浓度曲线(将所要求的三个量Cmax, T2，X2的数值的最后结果皆舍入到4位数字, 且要保证4位数字都是有效数字).
2、 消防车的合理调度
某市消防中心同时接到三处火警报告,根据当前火势,三处火警地点分别需要2辆、2辆和3辆消防车前往灭火。三处火警地点的损失将依赖于消防车到达的及时程度：记tij为第j辆消防车到达火警地点i的时间，则三处火警地点的损失分别为6t11+4t12，7t21+3t22，9t31+8t32+5t33。目前可供消防中心调度的消防车辆正好有7辆，分别属于三个消防站（可用消防车数量分别为3辆、2辆和2辆）。消防车从三个消防站到三个火警地点所需的时间如下表所示。该中心应如何调度消防车，才能使总损失最小？
消防站到三个火警地点所需要的时间
时间
火警地点1
火警地点2
火警地点3
消防站1
6
7
9
消防站2
5
8
11
消防站3
6
9
10

如果三处火警地点的损失分别为4t11+6t12，3t21+7t22，5t31+8t32+9t33，调度方案是否需要改变？
3、货物集散码头建设费用的合理分担
沿江有三个城市，都在为地处下游的某外商提供同一种生产原料，它们的地理位置如图所示。为了尽快运出各自的产品，需要建立专用的货物集散码头。三城市既可以单独建立货物集散码头，也可以联合建立货物集散码头。如果联合建立，需要建设专用通道将产品集中到码头再外运。用Q表示产品外运量（万吨/天），L 表示城市之间距离，即需要建设专用通道的长度（千米）。按照经验
公式，货物集散码头的建设费用CT = 730Q0.712（万元），专用通道的建设费用CP = 6.6Q0.51L（万元），L 的数值如图所示，三城市的货物外运量分别为Q1 = 5 万吨/天，Q2 = 3 万吨/天，Q3 = 5 万吨/天。
(1) 从节约总投资的角度，三城市应该联合建设货物集散码头，试说明理由。
(2) 如果三城市联合建设货物集散码头，对于各城市如何分担费用有人提出如下建议：码头建设费用按照货物外运量之比分担；专用通道建设费用根据谁用谁投资的原则，联合使用的则按照货物外运量之比分担。你认为这个建议能被采纳吗？说明理由。
(3) 请你给出一个更合理的费用分担方案。

4、航空公司的费用及利润问题
当前金融危机冲击了航空公司，乘客数在减少，但航空公司为了保持住盈利，决定扩大业务员队伍到各类企业，事业单位去提供预订飞机票的服务。一架飞机一次飞行的总费用主要有燃料费，飞行员，空姐和地勤的工资等，收入则来自乘客支付的机票费。航空公司当然希望飞机能够满座，那么订票策略就显得至关重要。假定航空公司向顾客提供的机票分成高价票和低价票两种，持高价票的旅客允许迟到可以改签机票坐下一趟航班，而持低价票的旅客不能改签，只能作废。当预定机票数超过座位数时，继续订票称为超定，可能导致一部分旅客由于满员而不能乘坐飞机。此时，航空公司就要付出一定的赔偿费。
假定飞机客量为300座，旅客未到可能性为0.05，有60%的乘客上座率（以低价票测算）航空公司就不赔钱，且超定的赔偿费定为票价的20%，提供150个座位给低价票且票价是高价票的75折。试建立航空公司的利润模型，并计算什么时候航空公司的期望理论最大。
5、人力计划问题
某公司正在进行改革，由于引进新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加。另外，公司预测下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年内人力需求的估计数如表：
分类
不熟练
半熟练
熟练
现在人数
2000
1500
1000
第一年需求
1000
1400
1000
第二年需求
500
2000
1500
第三年需求
0
2500
2000
除公司解雇外，由于工人自动离职以及其他原因，还存在着自然减员的问题。有很多人受雇不满一年便自动离职，干满一年后，离职的情况便很少发生，自然减员情况如下表
分类
不熟练
半熟练
熟练
工作不满一年
25%
20%
10%
工作一年以上
10%
5%
5%
公司现有工人皆已受雇一年以上，为了公司的生存及发展，董事会在招工，再培训，解雇，超员雇佣及半日工等问题上制定下列策略：
招工：每年新召的熟练工及不熟练工不超过500名，半熟练工不超过800名。
再培训：每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，其费用400元/名；培训半熟练工成为熟练工，费用为500元/名。培训人数不能超过熟练工人数的1/4。
可将工人降低程度等级使用，但这样的工人因待遇问题将有50%离职。
解雇：解雇一名不熟练工需支付其200元，解雇一名半熟练或熟练工需支付其500元。
超员雇用：公司可超需要雇用150人，额外费用为每年；不熟练工1500元/人；半熟练工2000元/人；熟练工3000元/人。
半日工：各等级工人可各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。公司支付其费用为每年：不熟练工300元/人，半熟练工及熟练工400元/人。
请你为该公司未来三年制定一个招工，人员再培训，解雇和超员雇佣及半日工的计划方案，以使解雇人员最少。
6、宠物销售问题
背景：一家宠物店卖某种宠物（比如狗或猫）。这家店每天需要在每只宠物身上花费12元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的宠物。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的宠物的数量服从泊松分布(λ=0.1)。
宠物店每十天平均能卖出一只宠物，而每卖出一只宠物的利润是1000元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定宠物的话,则所预定的宠物需要到5天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定宠物的最好策略。
策略A：每卖出一只宠物，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个宠物，因此宠物店就不会花费太多在宠物身上。
策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的宠物，该宠物5天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。
问题：
1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。
2、尝试提出第三种更好的策略，并加以验证。
7、深洞的估算
假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=10S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。
1、不计空气阻力；
2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.06；
3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.002；
4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。
8、居民区供水问题
某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位, 约10.8米,水泵停止工作.
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用//表示).
试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率.
表1 原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米))
时刻t
0
0.921
1.843
2.949
3.871
4.978
5.900
水位
9.677
9.479
9.308
9.125
8.982
8.814
8.686
时刻t
7.006
7.928
8.967
9.9811
10.925
10.954
12.032
水位
8.525
8.388
8.220
//
//
10.820
10.500
时刻t
12.954
13.875
14.982
15.903
16.826
17.931
19.037
水位
10.210
9.936
9.653
9.409
9.180
8.921
8.662
时刻t
19.959
20.839
22.015
22.958
23.880
24.986
25.908
水位
8.433
8.220
//
10.820
10.597
10.354
10.180

9、导弹攻击
某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。
试问导弹在何时何地击中敌艇?
如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇?
敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?
10.超市收费系统
一小超级市场有 4 个付款柜，每个柜台为一位顾客计算货款数的时间与顾客所购商品件数成正比（大约每件费时1s），20%的顾客用支票或信用卡支付，这需要1.5min，付款则仅需0.5min 。有人倡议设一个快速服务台专为购买8个或8个以下商品的顾客服务，指定另外两个为“现金支付柜”。
请你建立一个模拟模型，用于比较现有系统和倡议的系统的运转。假设顾客到达平均间隔时间是 0.5min ，顾客购买商品件数按如下频率表分布。
件数

9~19
20~29
30~39
40~49

相对频率
0.12
0.10
0.18
0.28
0.20
0.12
【设计任务】
根据题目要求建立模型并求解。

附录
计算机模拟方法介绍
1．步骤
（1）分析问题，收集资料。需要搞清楚问题要达到的目标，根据问题的性质收集有关随机性因素的资料。这里用得较多的知识为概率统计方面。在这个阶段，还应当估计一下待建立的模拟系统的规模和条件，说明哪些是可以控制的变量，哪些是不可控制的变量。
（2）建立模拟模型，编制模拟程序。按照一般的建模方法，对问题进行适当的假设。也就是说，模拟模型未必要将被模拟系统的每个细节全部考虑。模拟模型的优劣将通过与实际系统有关资料的比较来评价。如果一个“粗糙”的模拟模型已经比较符合实际系统的情况，也就没有必要建立费时、复杂的模型。当然，如果开始建立的模型比较简单，与实际系统相差较大，那么可以在建立了简单模型后，逐步加入一些原先没有考虑的因素，直到模型达到预定的要求为止。编写模拟程序之前，要现画出程序框图或写出算法步骤。然后选择合适的计算机语言，编写模拟程序。
（3）运行模拟程序，计算结果。为了减小模拟结果的随机性偏差，一般要多次运行模拟程序，还有就是增加模拟模型的时段次数。
（4）分析模拟结果，并检验。模拟结果一般说来反映的是统计特性，结果的合理性、有效性，都需要结合实际的系统来分析，检验。以便提出合理的对策、方案。
以上步骤是一个反复的过程，在时间和步骤上是彼此交错的。比如模型的修改和改进，都需要重新编写和改动模拟程序。模拟结果的不合理，则要求检查模型，并修改模拟程序。
2．控制模拟时间的方法：
（1）固定时间增量法，是选用一段合适的时间作单位，然后每隔一个单位时间就计算一次有关参数的值，到达预定的模拟时间后，模拟程序结束。在编写这种程序时，一般可以建立一个“模拟时钟”变量。程序的主体框架一般是个大的循环，循环变量，则为模拟时间；在每个循环体内，就是对每个时段作处理。例如，有些排队论模型，可能就是以每隔一段时间（一天或者一个月）进行处理。
（2）可变时间增量法，模拟也有一个“模拟时钟”变量，但它是在一个事件发生时，“模拟时钟”才向前推进。需要注意的是，该模拟方法每一步经过的时间是可变的，而且会自动寻找下一个最早使系统状态发生变化的事件。整个模拟直到“模拟时钟”到达指定的时间长度为止。可以参考有关离散系统仿真的内容。

参考案例：渡口模型
一个渡口的渡船营运者拥有一只甲板长32米，可以并排停放两列车辆的渡船。他在考虑怎样在甲板上安排过河车辆的位置，才能安全地运过最多数量的车辆。
分析：怎样安排过河车辆，关心一次可以运多少辆各类车。
准备工作： 观察数日，发现每次情况不尽相同，得到下列数据和情况：
(1) 车辆随机到达，形成一个等待上船的车列；
(2) 来到车辆，轿车约占40％，卡车约占55％,摩托车约占5％；
(3) 轿车车身长为3.5～5.5米，卡车车身长为8～10米。

问题分析
这是一个机理较复杂的随机问题，是遵循“先到先服务”的随机排队问题。
解决方法：采用模拟模型方法。因此需考虑以下问题：
(1) 应该怎样安排摩托车？
(2) 下一辆到达的车是什么类型？
(3) 怎样描述一辆车的车身长度？
(4) 如何安排到达车辆加入甲板上两列车队中的哪一列中去？

本实验主要模拟装载车辆的情况，暂时不考虑渡船的安全。

模型建立
设到达的卡车、轿车长度分别为随机变量。结合实际，这里不妨假设卡车、轿车的车身长度均服从正态分布。
由于卡车车身长为8~10m，所以卡车车长的均值为m，由概率知识中的“”原则，其标准差为，所以得到。同理可得。

模拟程序设计
由以上的分析，程序设计时的应划分的主要模块（函数）如下：
（1） 确定下一辆到达车辆的类型；
（2） 根据车的类型确定到达车辆的长度；
（3） 根据一定的停放规则，确定放在哪一列。

模拟程序
function sim_dukou　　%渡口模型的模拟
n=input('输入模拟次数：');
if isempty(n) | (n<500)
n=500;
end
N=zeros(1,3);%依次为摩托车数量、卡车数量、轿车数量
for i=1:n
isfull=0;
L=[0 ,0];　%第一列长度,第二列长度
while ~isfull
t=rand; %模拟下一辆到达车的类型
if t<=0.55,
id=1; %到达卡车
elseif t<0.95,
id=2; %到达轿车
else
id=3; %到达摩托车
end
N(id) = N(id) + 1;
newlen=getlength(id);
[isfull,pos]=getiffull(L,newlen);
if ~isfull
L(pos)=L(pos)+newlen;
end%if
end%while
end%for
disp('平均每次渡船上的车数')
mean_n=N/n

function len=getlength(id)　%根据车的类型，产生车长随机数
switch id
case 1
len=min([4.5 + randn*(1/3), 5.5]);
case 2
len=min([9 + randn*(1/3),10]);
case 3
len=0; %根据放置方法，可以不予考虑
end
function [full,pos]=getiffull(L,newlen)　%增加车长为len后是否可行（是否满），pos表示加到那一列去
full=0;
pos=0;
if L(1)>L(2)
if L(1)+newlen<32
pos=1;
elseif L(2)+newlen<32
pos=2;
else
full=1;
end
else
if L(2)+newlen<32
pos=2;
elseif L(1)+newlen<32
pos=1;
else
full=1;
end
end

模型求解结果及分析
（一）运行结果
程序名为sim_dukou，运行程序，输出结果如下：
sim_dukou
输入模拟次数：1000
平均每次渡船上的车数
mean_n =
5.4840 3.9180 0.5160

（二）结果分析
上面为运行一次模拟程序，模拟次数为1000次的模拟结果。从模拟结果，你能得出什么结论？
发现摩托车的平均数量不到1辆，因此从另外一方面看，忽略摩托车的长度是合理的。统计结果显示平均每次渡口时船上卡车、轿车、摩托车数量分别为5.484、3.918、0.516辆。
11.高速公路问题
A城和B城之间准备建一条高速公路，B城位于A城正南20公里和正东30公里交汇处，它们之间有东西走向连绵起伏的山脉。公路造价与地形特点有关，图4.2.4给出了整个地区的大致地貌情况，显示可分为三条沿东西方向的地形带。你的任务是建立一个数学模型，在给定三种地形上每公里的建造费用的情况下，确定最便宜的路线。图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜。而路径ARSB过山地的路段最短，但是否是最好的路径呢？你怎样使你的模型适合于下两个限制条件的情况呢？
1. 当道路转弯时，角度至少为140度。
2. 道路必须通过一个已知地点（如P）。

问题分析
在建设高速公路时，总是希望建造费用最小。如果要建造的起点、终点在同一地貌中，那么最佳路线则是两点间连接的线段，这样费用则最省。因此本问题是一个典型的最优化问题，以建造费用最小为目标，需要作出的决策则是确定在各个地貌交界处的汇合点。
变量说明：
记为第i个汇合点上的横坐标（以左下角为直角坐标原点），i＝1，2，…，4；x5＝30（指目的地B点的横坐标），记为第i段南北方向的长度（i＝1，2，…，5）；为第i段上所建公路的长度（i＝1，2，…，5）；
由问题分析可知，

C1：平原每公里的造价（单位：万元/公里）
C2：高地每公里的造价（单位：万元/公里）
C3：高山每公里的造价（单位：万元/公里）
模型假设
1、 假设在相同地貌中修建高速公路，建造费用与公路长度成正比；
2、 假设在相同地貌中修建高速为直线。在理论上，可以使得建造费用最少，当然实际中一般达不到。
模型建立
在A城与B城之间建造一条高速公路的问题可以转化为下面的非线性规划模型。优化目标是在A城与B城之间建造高速公路的费用。

模型求解(Matlab最优化函数求解)
这里采用Matlab编程求解。
模型求解时，分别取Ci如下。
平原每公里的造价C1：＝400（单位：万元）
高地每公里的造价C2：＝800（单位：万元）
高山每公里的造价C3：＝1200（单位：万元）
（注意：实际建模时必须查找资料来确定参数或者题目给定有数据）
主程序：
function x=model_road
clear all
global C L
C=[400 800 1200];
L=[4 4 4 4 4];
x=fmincon('objfun_road',[1,1,1,1],[],[],[],[],zeros(1,4),...
ones(1,4)*30,'mycon_road');
optans=objfun_road(x)
C=ones(3,1);
len = objfun_road(x)
模型中描述目标函数的Matlab程序
function obj=objfun_road(x)
global C L
obj= C(1)*sqrt(L(1)^2+x(1)^2) + C(2)*sqrt(L(2)^2+(x(2)-x(1))^2)...
+ C(3)*sqrt(L(3)^2+(x(3)-x(2))^2) + C(2)*sqrt(L(4)^2+(x(4)-x(3))...
^2)+ C(1)*sqrt(L(5)^2+(30-x(4))^2);
模型中描述约束条件的Matlab函数
function [c,ceq]=mycon_road(x)
c(1)=x(1)-x(2);
c(2)=x(2)-x(3);
c(3)=x(3)-x(4);
c(4)=x(4)-30;
ceq=[];
程序运行结果：
输入主程序model_road.m，运行结果如下：
model_road
optans = 2.2584e+004
len = 38.9350
ans = 12.1731 14.3323 15.6677 17.8269
模型结果及分析
通过求解可知，为了使得建造费用最小。建造地点的选择宜采取下列结果。x(1)=18.1229；x(2)=0.5607；x(3)=28.1015；x(4)=24.4806。建造总费用为2.2584亿元，总长度为38.9350公里。
学生训练题：
飞机在飞行过程中，能够收到地面上各个监控台发来的关于飞机当前位置的信息，根据这些信息可以比较精确地确定飞机的位置。如下图所示，高频多向导航设备（VOR）能够得到飞机与该设备连线的角度信息；距离测量装置（DME）能够得到飞机与该设备的距离信息。图中飞机接收到来自3个VOR给出的角度和1个DME给出的距离（括号内是相应设备测量的精度，即绝对误差限），并已知这4种设备的x，y坐标（假设飞机和这些设备在同一平面上）。请你根据这些信息确定当前飞机的位置，要求建立相应的数学模型并给出解答。
[提示：对角度信息进行处理时，可以考虑使用MATLAB的 atan2 函数。]

0

y

x

VOR2
x=629, y=375

309.00 (1.30)

861.3(2.0)

飞机
x=?, y=?

VOR1
x=764, y=1393

161.20 (0.80)

DME
x=155, y=987

VOR3
x=1571, y=259

45.10 (0.60)

北

DME
x=155, y=987

飞机与监控台（图中坐标和测量距离的单位是“公里”）

参考解答：
数学模型为

得到飞机的坐标为（978.117，723.5586）。
[附]主要程序示例：
function e=fun(x)
X=[746 629 1571 155];
Y=[1393 375 259 987];
theta=[161.2,45.1,309.0-360]*2*pi/360; % 角度转换
sigma=[0.8,0.6,1.3]*2*pi/360;
d4=864.3;
sigma4=2;
e=0;
for i=1:3;
e=e+((atan2(x(1)-X(i),x(2)-Y(i))-theta(i))/sigma(i))^2;
end
e=e+((d4-sqrt((x(1)-X(4))^2+(x(2)-Y(4))^2))/sigma4)^2;
主程序：
x0=[900,700]; % 初值
[x,norm,res,exit,out]=lsqnonlin(@fun,x0)
12.火箭发射

小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。当燃料用尽时引擎关闭。设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。重力加速度取9.8米/秒2.
A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；
B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、及火箭到达最高点的时间和高度。
参考解答:
小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
模型分两段：
1）
m=900-15t , t1 =600/15=40秒为引擎关闭时刻。
2）． ，m=300
Matlab 程序
function dx=diff1(t,x)
k=0.4;T=30000;g=9.8;m=900-15*t;
dx=[x(2) ;(-k*x(2)^2+T-m*g)/m] ;

x0=[0 ;0] ;
tspan=[0,40] ;
[t,x]=ode45('diff1',tspan,x0) ;

function dx=diff2(t,x)
k=0.4;g=9.8;m=300;
dx=[x(2) ;(-k*x(2)^2 -m*g)/m] ;

x0=[8323 ;259] ;
tspan=[0,40] ;
[t,x]=ode45('diff2',tspan,x0) ;

引擎关闭瞬间火箭的高度8323米，速度259米/秒，加速度0.7709米/秒2， –99.2291米/秒2；
到达最高点的时间51秒，高度9192米。

学生训练题：
一个二级火箭的总重量为2800公斤。第一级火箭的重量为1000公斤，其中燃料为800公斤。第一级火箭燃料燃烧完毕后自动脱落，第二级火箭立即继续燃烧。第二级火箭中的燃料为600公斤。假设火箭垂直向上发射，两级火箭中的燃料同质，燃烧率为15公斤/秒，产生的推力为30000牛顿。火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4公斤/米。
（1）建立第一级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求第一级火箭脱落时的高度、速度和加速度；
（2）建立第二级火箭燃烧时火箭运行的数学模型，并求火箭所有燃料燃烧完毕瞬间的高度、速度、和加速度。
（提示：牛顿第二定律f=ma，其中f为力，m为质量，a为加速度。重力加速度9.8米/平方秒。）
答案：第一级火箭：模型建立
设时间变量t，高度为h(t)。第一级火箭模型为

令：，则有

计算结果：第一级火箭燃烧完毕瞬间：t=53.333秒，高度：2620.0(米)，速度：114.6米/秒，加速度：5.2米/平方秒。

第二级火箭：模型建立
设时间变量t，高度为h(t)。第二级火箭模型为

令：，则有

计算结果：第二级火箭燃烧完毕瞬间：t=93.333秒，高度：9400.2米，速度：205.2米/秒，加速度： -2666.0米/平方秒。

火箭的最大高度：模型建立
设时间变量t，高度为h(t)。第二级火箭模型为

计算结果：达到最高点时间t=93.333+15.31=108.643秒，高度： 10733米。
13.数据处理设计题目
某地区作物生长所需的营养素主要是氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）。某作物研究所在某地区对土豆与生菜做了一定数量的实验，实验数据如下列表所示，其中 ha 表示公顷， t 表示吨， kg 表示公斤。当一个营养素的施肥量变化时，总将另两个营养素的施肥量保持在第七个水平上，如对土豆产量关于 N 的施肥量做实验时， P 与 K 的施肥量分别取为 196kg ／ ha 与 372kg ／ ha 。
若氮（ N ）、钾（ K ）、磷（ P ）和土豆、生菜的市场价格如表1所示：
表1 市场价格（元/吨）
商品
N
P
K
土豆
生菜
价格
350
320
640
800
200
试分析施肥量与产量之间关系，并对所得结果从应用价值与如何改进等方面做出估计。
表2 土豆产量与施肥量的关系
施肥量（N）
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量（P）
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量(K)
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
15.18
0
33.46
0
18.98
34
21.36
24
32.47
47
27.35
67
25.72
49
36.06
93
34.86
101
32.29
73
37.96
140
39.52
135
34.03
98
41.04
186
38.44
202
39.45
147
40.09
279
37.73
259
43.15
196
41.26
372
38.43
336
43.46
245
42.17
465
43.87
404
40.83
294
40.36
558
42.77
471
30.75
342
42.73
651
46.22
表3 生菜产量与施肥量的关系
施肥量（N）
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量（P）
(kg/ha)
产量
(t/ha)
施肥量(K)
(kg/ha)
产量
(t/ha)
0
11.02
0
6.39
0
15.75
28
12.70
49
9.48
47
16.76
56
14.56
98
12.46
93
16.89
84
16.27
147
14.33
140
16.24
112
17.75
196
17.10
186
17.56
168
22.59
294
21.94
279
19.20
224
21.63
391
22.64
372
17.97
280
19.34
489
21.34
465
15.84
336
16.12
587
22.07
558
20.11
392
14.11
685
24.53
651
19.40

【设计任务】
      根据题目要求建立模型并求解。
下面给出土豆产量与施肥量之间的关系
（1） 做出散点图
（2） 从图中可以发现，氮、磷肥的效用曲线可以选用二次函数来拟合，而钾肥与产量的函数关系可选取指数函数。
（3） 建立回归曲线方程
设产量为y，则y与氮肥的量n的函数为：
y与磷肥的量p的函数为：
y与钾肥的量k的函数为：

（4） 利用MATLAB软件确定上述模型中的参数：
学生完成
（5） 模型的应用与改进
由于当一种肥料施肥量改变时，另外的两种肥料都保持在第7个水平上，于是有如下3个方案：(n,245,465)，(259,p,465)，(259,245,k)。
对上述方案分别求出最大利润，然后进行比较就可得到最佳施肥方案。
学生完成
参考解答：

最佳施肥方案为第一个方案（327.77,245,465）, L=37276.89。