高一数学竞赛选拔试卷.doc

高一数学竞赛选拔试卷
准考证号 班级 姓名 学号 座位号
一、填空题
1．已知集合，则的非空子集的个数为
2．函数的值域为
3．在直角坐标平面内，曲线围成的图形的面积是
4．给定集合，.若集合A、B满足，则点在直角坐标平面中的轨迹方程是
5．函数的图象的对称中心为
6．设是小于100的正整数，且满足为整数，则符合条件的所有正整数的和为 ．
7.已知不等式组有唯一解，则实数=
8.已知，则符合上述条件的共有 组
9．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意，有恒成立，则实数的取值范围为
10．设表示不超过的最大整数，则=
11．已知函数的最小值是0，则非零实数的值是
12．已知方程的两个不等实根、满足
.
则的值为 .
13.如果关于x的不等式的解集是R，则实数的取值范围是
14．当时，不等式恒成立，则的最大值为
二、解答题
15．已知二次函数的图象过点（1，13）,且函数是偶函数.
（1）求的解析式；
（2）函数的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.

16．已知函数，对任意，有恒成立，求实数的取值范围.

17．如图，在中，，它的内切圆分别与边、、相切于点、、，连接，与内切圆相交于另一点，连接、、、、。
（1）求证：； （2）若，求证：。

18.设函数的最小值g(a) > 5，求实数a的取值范围．

19．已知函数f(x)＝，为常数且．若满足，但，则称为的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围.

20. 已知的三根分别为，并且是不全为零的有理数，求的值。

高一数学试卷答案
准考证号 班级 姓名 学号 座位号
一、填空题
1. 63 2． 3． 5.（-1006,2011）
6. 635 7. 8. 100 9. 10. 2013
11．-2 12. 2010 13.（0,1） 14. 2
二、解答题
15解（1）因为函数是偶函数，所以二次函数的对称轴方程为，故. --------2分
又因为二次函数的图象过点（1，13），所以，故.
因此，的解析式为. -------6分
（2）如果函数的图象上存在符合要求的点，设为P，其中为正整数，为自然数，则，从而，即. ------------------------------------------10分
注意到43是质数，且，，所以有解得
因此，函数的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）. ---14分
17.【解答】（1）由条件知，，又。
∴ ，。 ……… 3分
同理，由，知，
，。∵ ，
∴ 。∴ 。… 8分
（2）∵ ，∴ 。
∴ 。∴ …… 11分
结合（1）可知，。又 ，
∴ ，。
∴ 、、、四点共圆。又 ，
∴ ，。 ……… 14分
18.设函数的最小值g(a) > 5，求实数a的取值范围．
解：……… 2分
（1）1-a < -时，即a >时，在（-¥，1-a]上减，在[1-a，-]上减，[-，+¥）上增． ．……… 5分
（2）-≤1 - a≤时，即≤a≤时，在（-¥，1-a]上减，在[1-a，+¥）上增．
．……… 8分
（3）1 - a >时,即a <时,在（-¥，]上减，在[，1-a]上增，[1-a，+¥）上增．
．……… 11分
总之，
∴或或
即 ，或，或．
∴，或．……… 16分
19．已知函数f(x)＝，a为常数且a>0．若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点．如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围.
解：当0＜a＜时，有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x只有一个解x＝0，又f(0)＝0，故0不是二阶周期点．……… 6分
当时，有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x有解集，又当时，f(x)＝x，故中的所有点都不是二阶周期点．……… 10分
当时，有f(f(x))＝
所以f(f(x))＝x有四个解0，，又f(0)＝0，，，，故只有是f(x)的二阶周期点．
综上所述，所求a的取值范围为.……… 1 6分

20.