2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版).doc
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1、2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)已知集合A=2,1,0,1,2,B=x|(x1)(x+2)0,则AB=()A1,0B0,1C1,0,1D0,1,22(5分)若a为实数,且(2+ai)(a2i)=4i,则a=()A1B0C1D23(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4
2、(5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A21B42C63D845(5分)设函数f(x)=,则f(2)+f(log212)=()A3B6C9D126(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()ABCD7(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A2B8C4D108(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A0B2C4D149(5分)已知A,B是
3、球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A36B64C144D25610(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()ABCD11(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,顶角为120,则E的离心率为()AB2CD12(5分)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)=0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范
4、围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,+)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13(5分)设向量,不平行,向量+与+2平行,则实数= 14(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 15(5分)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= 16(5分)设数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn+1Sn,则Sn= 三、解答题(共5小题,满分60分)17(12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长18(1
5、2分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分
6、不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率19(12分)如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线AF与平面所成角的正弦值20(12分)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,
7、线段AB的中点为M(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点(,m),延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由21(12分)设函数f(x)=emx+x2mx(1)证明:f(x)在(,0)单调递减,在(0,+)单调递增;(2)若对于任意x1,x21,1,都有|f(x1)f(x2)|e1,求m的取值范围四、选做题.选修4-1:几何证明选讲22(10分)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点(1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的
8、半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积选修4-4:坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin,C3:=2cos(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值选修4-5:不等式选讲24设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则+;(2)+是|ab|cd|的充要条件2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1(5分)已知集合A=2,1
9、,0,1,2,B=x|(x1)(x+2)0,则AB=()A1,0B0,1C1,0,1D0,1,2【考点】1E:交集及其运算菁优网版权所有【专题】5J:集合【分析】解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可【解答】解:B=x|2x1,A=2,1,0,1,2;AB=1,0故选:A【点评】考查列举法、描述法表示集合,解一元二次不等式,以及交集的运算2(5分)若a为实数,且(2+ai)(a2i)=4i,则a=()A1B0C1D2【考点】A1:虚数单位i、复数菁优网版权所有【专题】5N:数系的扩充和复数【分析】首先将坐标展开,然后利用复数相等解之【解答】解:因为(2+ai)(a2i)=4i,所
10、以4a+(a24)i=4i,4a=0,并且a24=4,所以a=0;故选:B【点评】本题考查了复数的运算以及复数相等的条件,熟记运算法则以及复数相等的条件是关键3(5分)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8:频率分布直方图菁优网版权所有【专题】5I:概率与统计【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减
11、少的最多,故A正确;B从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故D错误【解答】解:A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A正确;B20042006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B正确;C从图中看出,2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故C正确;D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故D错误故选:D【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图
12、中提取出所需要的信息,属于基础题4(5分)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()A21B42C63D84【考点】88:等比数列的通项公式菁优网版权所有【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列【分析】由已知,a1=3,a1+a3+a5=21,利用等比数列的通项公式可求q,然后在代入等比数列通项公式即可求【解答】解:a1=3,a1+a3+a5=21,q4+q2+1=7,q4+q26=0,q2=2,a3+a5+a7=3(2+4+8)=42故选:B【点评】本题主要考查了等比数列通项公式的应用,属于基础试题5(5分)设函数f(x)=,则f(2)+f(log2
13、12)=()A3B6C9D12【考点】3T:函数的值菁优网版权所有【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用【分析】先求f(2)=1+log2(2+2)=1+2=3,再由对数恒等式,求得f(log212)=6,进而得到所求和【解答】解:函数f(x)=,即有f(2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)=2=12=6,则有f(2)+f(log212)=3+6=9故选:C【点评】本题考查分段函数的求值,主要考查对数的运算性质,属于基础题6(5分)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()ABCD【考点】L!:由三视图求面积、
14、体积菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离【分析】由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可【解答】解:设正方体的棱长为1,由三视图判断,正方体被切掉的部分为三棱锥,正方体切掉部分的体积为111=,剩余部分体积为1=,截去部分体积与剩余部分体积的比值为故选:D【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状,求几何体的体积7(5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A2B8C4D10【考点】IR:两点间的距离公式菁优网版权所有【专题】11:计算题;5B:直线与圆【分析】设圆的方程为x2+y2
15、+Dx+Ey+F=0,代入点的坐标,求出D,E,F,令x=0,即可得出结论【解答】解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,D=2,E=4,F=20,x2+y22x+4y20=0,令x=0,可得y2+4y20=0,y=22,|MN|=4故选:C【点评】本题考查圆的方程,考查学生的计算能力,确定圆的方程是关键8(5分)程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A0B2C4D14【考点】EF:程序框图菁优网版权所有【专题】5K:算法和程序框图【分析】由循环结构的特点,先判断,再执行,分别计算出当前的a
16、,b的值,即可得到结论【解答】解:由a=14,b=18,ab,则b变为1814=4,由ab,则a变为144=10,由ab,则a变为104=6,由ab,则a变为64=2,由ab,则b变为42=2,由a=b=2,则输出的a=2故选:B【点评】本题考查算法和程序框图,主要考查循环结构的理解和运用,以及赋值语句的运用,属于基础题9(5分)已知A,B是球O的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A36B64C144D256【考点】LG:球的体积和表面积菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离【分析】当点C位于垂直于面AO
17、B的直径端点时,三棱锥OABC的体积最大,利用三棱锥OABC体积的最大值为36,求出半径,即可求出球O的表面积【解答】解:如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥OABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VOABC=VCAOB=36,故R=6,则球O的表面积为4R2=144,故选:C【点评】本题考查球的半径与表面积,考查体积的计算,确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥OABC的体积最大是关键10(5分)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)
18、的图象大致为()ABCD【考点】HC:正切函数的图象菁优网版权所有【分析】根据函数图象关系,利用排除法进行求解即可【解答】解:当0x时,BP=tanx,AP=,此时f(x)=+tanx,0x,此时单调递增,当P在CD边上运动时,x且x时,如图所示,tanPOB=tan(POQ)=tanx=tanPOQ=,OQ=,PD=AOOQ=1+,PC=BO+OQ=1,PA+PB=,当x=时,PA+PB=2,当P在AD边上运动时,x,PA+PB=tanx,由对称性可知函数f(x)关于x=对称,且f()f(),且轨迹为非线型,排除A,C,D,故选:B【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据条件先求出0x
19、时的解析式是解决本题的关键11(5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,顶角为120,则E的离心率为()AB2CD【考点】KC:双曲线的性质菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设M在双曲线=1的左支上,由题意可得M的坐标为(2a,a),代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值【解答】解:设M在双曲线=1的左支上,且MA=AB=2a,MAB=120,则M的坐标为(2a,a),代入双曲线方程可得,=1,可得a=b,c=a,即有e=故选:D【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,运用任意角的三角函数的定
20、义求得M的坐标是解题的关键12(5分)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)=0,当x0时,xf(x)f(x)0,则使得f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1)B(1,0)(1,+)C(,1)(1,0)D(0,1)(1,+)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有【专题】2:创新题型;51:函数的性质及应用;53:导数的综合应用【分析】由已知当x0时总有xf(x)f(x)0成立,可判断函数g(x)=为减函数,由已知f(x)是定义在R上的奇函数,可证明g(x)为(,0)(0,+)上的偶函数,根据函数g(x)在(0,+)上的单调性和奇偶性,模拟g(x)的
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