2012年北京高考理科数学试题及答案.doc
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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1已知集合A=xR|3x+20 B=xR|(x+1)(x-3)0 则AB=A (-,-1)B (-1,-) C (-,3)D (3,+)2设不等式组,表示平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A) (B) (C) (D)3设a,bR。“a=0”是“复数
2、a+bi是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )A. 2 B .4 C.8 D. 165.如图. ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )ACECB=ADDBBCECB=ADABCADAB=CD2DCEEB=CD26.从0,2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24 B. 18 C. 12 D. 67.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是( )A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D
3、. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高。m值为( )A.5 B.7 C.9 D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.9直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_。10已知等差数列为其前n项和。若,则=_。11在ABC中,若=2,b+c=7,cosB=,则b=_。12在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60.则OAF的面积为 13已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为_,的最大值为_。
4、14.已知,若同时满足条件:,或;, 。则m的取值范围是_。 三、解答题公6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15(本小题共13分)已知函数。(1)求的定义域及最小正周期;(2)求的单调递增区间。16(本小题共14分) 如图1,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图2.(I)求证:A1C平面BCDE;(II)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;(III)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由17(本小题共13分)近
5、年来,某市为了促进生活垃圾的风分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060()试估计厨余垃圾投放正确的概率;()试估计生活垃圾投放错误额概率;()假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a0,=600。当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值。(注:,其中为数据的平均数)18(本小
6、题共13分)已知函数,.(1)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求,的值;(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.19(本小题共14分)已知曲线.(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;(2)设,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,直线与直线交于点,求证:,三点共线.20(本小题共13分)设是由个实数组成的行列的数表,满足:每个数的绝对值不大于,且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于,记为的第行各数之和(),为的第列各数之和();记为,中的最小值.(1)对如下数表,求的值; (2)设数表形如 求的最大值;(3)给定正整数,
7、对于所有的,求的最大值.2012年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1(5分)(2012北京)已知集合A=xR|3x+20,B=xR|(x+1)(x3)0,则AB=()A(,1)B(1,)C,3D(3,+)考点:一元二次不等式的解法;交集及其运算菁优网版权所有专题:集合分析:求出集合B,然后直接求解AB解答:解:因为B=xR|(x+1)(x3)0=x|x1或x3,又集合A=xR|3x+20=x|x,所以AB=x|xx|x1或x3=x|x3,故选:D点评:本题考查一元二次不等式的解法,交集及其运算
8、,考查计算能力2(5分)(2012北京)设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()ABCD考点:二元一次不等式(组)与平面区域;几何概型菁优网版权所有专题:概率与统计分析:本题属于几何概型,利用“测度”求概率,本例的测度即为区域的面积,故只要求出题中两个区域:由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可解答:解:其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4,满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部,面积为=4,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于
9、2的概率P=故选:D点评:本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到,本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值3(5分)(2012北京)设a,bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点:复数的基本概念;必要条件、充分条件与充要条件的判断菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数分析:利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件解答:解:因为a,bR“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立所以a,bR“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条
10、件故选B点评:本题考查复数的基本概念,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查基本知识的掌握程度4(5分)(2012北京)执行如图所示的程序框图,输出的S值为()A2B4C8D16考点:循环结构菁优网版权所有专题:算法和程序框图分析:列出循环过程中S与K的数值,不满足判断框的条件即可结束循环解答:解:第1次判断后S=1,k=1,第2次判断后S=2,k=2,第3次判断后S=8,k=3,第4次判断后33,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8故选C点评:本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力5(5分)(2012北京)如图,ACB=90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与B
11、C交于点E则()ACECB=ADDBBCECB=ADABCADAB=CD2DCEEB=CD2考点:与圆有关的比例线段菁优网版权所有专题:直线与圆分析:连接DE,以BD为直径的圆与BC交于点E,DEBE,由ACB=90,CDAB于点D,ACDCBD,由此利用三角形相似和切割线定理,能够推导出CECB=ADBD解答:解:连接DE,以BD为直径的圆与BC交于点E,DEBE,ACB=90,CDAB于点D,ACDCBD,CD2=ADBDCD2=CECB,CECB=ADBD,故选A点评:本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题解题时要认真审题,仔细解答,注意三角形相似和切割线定理的灵活运用6(5分)(2
12、012北京)从0、2中选一个数字从1、3、5中选两个数字,组成无重复数字的三位数其中奇数的个数为()A24B18C12D6考点:计数原理的应用菁优网版权所有专题:算法和程序框图分析:分类讨论:从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位;从0、2中选一个数字2,则2排在十位或百位,由此可得结论解答:解:从0、2中选一个数字0,则0只能排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有=6种;从0、2中选一个数字2,则2排在十位,从1、3、5中选两个数字排在个位与百位,共有=6种;2排在百位,从1、3、5中选两个数字排在个位与十位,共有=6种;故共有3=18种故选B点评:本题考查计数原理的运用,
13、考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键7(5分)(2012北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A28+6B30+6C56+12D60+12考点:由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题:立体几何分析:通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可解答:解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形,一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图,所以S底=10,S后=,S右=10,S左=6几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6故选:B点评:本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力8(5分)(2
14、012北京)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为()A5B7C9D11考点:函数的图象与图象变化;函数的表示方法菁优网版权所有专题:函数的性质及应用分析:由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系,可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率,结合图象可得答案解答:解:若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高,故选C点评:本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义,其中正确分析出平均产量的几何意
15、义是解答本题的关键二.填空题共6小题每小题5分共30分.9(5分)(2012北京)直线(t为参数)与曲线 (为参数)的交点个数为2考点:圆的参数方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程菁优网版权所有专题:直线与圆分析:将参数方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到结论解答:解:直线(t为参数)化为普通方程为x+y1=0曲线 (为参数)化为普通方程为x2+y2=9圆心(0,0)到直线x+y1=0的距离为d=直线与圆有两个交点故答案为:2点评:本题考查参数方程与普通方程的互化,考查直线与圆的位置关系,属于基础题10(5分)(2012北京)已知an是等差数列,sn为其前n项和若a1
16、=,s2=a3,则a2=1考点:等差数列的前n项和;等差数列的通项公式菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列分析:由an是等差数列,a1=,S2=a3,知=,解得d=,由此能求出a2解答:解:an是等差数列,a1=,S2=a3,=,解得d=,a2=1故答案为:1点评:本题考查等差数列的性质和应用,是基础题解题时要认真审题,仔细解答11(5分)(2012北京)在ABC中,若a=2,b+c=7,cosB=,则b=4考点:解三角形菁优网版权所有专题:解三角形分析:根据a=2,b+c=7,cosB=,利用余弦定理可得,即可求得b的值解答:解:由题意,a=2,b+c=7,cosB=,b=4故答案为:4点
17、评:本题考查余弦定理的运用,解题的关键是构建关于b的方程,属于基础题12(5分)(2012北京)在直角坐标系xOy中直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60则OAF的面积为考点:直线与圆锥曲线的综合问题;直线的倾斜角;抛物线的简单性质菁优网版权所有专题:圆锥曲线的定义、性质与方程分析:确定直线l的方程,代入抛物线方程,确定A的坐标,从而可求OAF的面积解答:解:抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0)直线l过F,倾斜角为60直线l的方程为:,即代入抛物线方程,化简可得y=2,或y=A在x轴上方OAF的面积为=故答案为:点评:本题考查
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