利用函数与不等式解方案设计与决策型问题.doc

利用函数与不等式解方案设计与决策型问题

20
2020年6月23日
资料内容仅供参考，如有不当或者侵权，请联系本人改正或者删除。
利用函数与不等式解方案设计与决策型问题
一、 从一道例题的解答看方案设计与决策型问题
引例: 恩发建筑公司从上海某厂购得挖机4台, 从北京某厂购得挖机10台。现在决定运往重庆分公司8台, 其余都运往汉口分公司; 从上海运往汉口、 重庆的运费分别是300元/台、 500元/台, 从北京运往汉口、 重庆的运费分别是400元/台、 800元/台 。
( 1) 若总运费为8400元, 上海运往汉口应多少台?
解:(1) 设上海运往汉口应x台, 则
400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400
解得:x=4因此, 若总运费为8400元, 上海运往汉口应4台。
( 2) 若总运费少于8400元, 有哪几种调运方案?
解:( 2) 由题意知:
200x+7600＜8400
解得:x ＜ 4
∵x为非负整数∴x=0、 1、 2或3
∴若要求总运费不超过 8400元, 共有4种调运方案。如下表:

上海到汉口( 台)
上海到重庆( 台)
北京到汉口( 台)
北京到重庆( 台)
方案一
0
4
6
4
方案二
1
3
5
5
方案三
2
2
4
6
方案四
3
1
3
7
( 3) 求出总运费最低的调运方案, 总运费是多少?
设总运费为y元, 由题意知:
y= 200x+7600
∵200＞0 ∴x=0时y最小, 为7600元。调运方案如下: 北京到汉口6台, 北京到重庆4台,
上海到重庆4台.
二、 方案设计与决策型问题的基本解题方法
方案设计型问题是指应用数学基础知识建模的方法, 来按题目所呈现的要求进行计算, 论证, 选择, 判断, 设计的一种数学试题。纵观近年来各地的中考试题, 涉及方案设计与应用的试题大量涌现, 它在考查学生数学创新应用能力方面可谓独树一帜, 新颖别致。其类型有利用不等式( 组) 进行方案设计, 利用概率与统计进行方案设计, 利用函数知识进行方案设计, 利用几何知识进行方案设计。其中以利用函数与不等式解决的方案设计问题为最多。
利用函数与不等式解决的方案设计问题的基本方法是: ( 1) 根据题意建立一次函数关系式; ( 2) 根据实际意义建立关于自变量的不等式组, 求函数自变量的取值范围; ( 3) 根据函数自变量的取值范围, 确定符合条件的设计方案; ( 4) 利用一次函数的性质求最大值或最小值, 确定最优化方案。
三、 全国中考中的利用函数与不等式解决的方案设计问题
类型一、 利用不等式解决的方案设计问题:
【 绵阳市中考题】李大爷一年前买入了相同数量的A、 B两种种兔, 当前, 她所养的这两种种兔数量依然相同, 且A种种兔的数量比买入时增加了20只, B种种兔比买入时的2倍少10只．
( 1) 求一年前李大爷共买了多少只种兔?
( 2) 李大爷当前准备卖出30只种兔, 已知卖A种种兔可获利15元／只, 卖B种种兔可获利6元／只．如果要求卖出的A种种兔少于B种种兔, 且总共获利不低于280元, 那么她有哪几种卖兔方案? 哪种方案获利最大? 请求出最大获利．
解: ( 1) 设李大爷一年前买A、 B两种种兔各x只, 则由题意可列方程为
x + 20 = 2x－10, 解得 x = 30． 即一年前李大爷共买了60只种兔．
( 2) 设李大爷卖A种兔x只, 则卖B种兔30－x只, 则由题意得
x＜30－x, ①
15x +( 30－x) ×6≥280, ②
解 ①, 得 x＜15; 解 ②, 得x≥, 即 ≤x＜15．
∵ x是整数, ≈11.11, ∴ x = 12, 13, 14．
即李大爷有三种卖兔方案:
方案一 卖A种种兔12只, B种种兔18只; 可获利 12×15 + 18×6 = 288( 元) ;
方案二 卖A种种兔13只, B种种兔17只; 可获利 13×15 + 17×6 = 297( 元) ;
方案三 卖A种种兔14只, B种种兔16只; 可获利 14×15 + 16×6 = 306( 元) ．
显然, 方案三获利最大, 最大利润为306元．
类型二、 利用函数知识解决的方案设计问题:
【 清远市中考题】某饮料厂为了开发新产品, 用种果汁原料和种果汁原料试制新型甲、 乙两种饮料共50千克, 设甲种饮料需配制千克, 两种饮料的成本总额为元．
( 1) 已知甲种饮料成本每千克4元, 乙种饮料成本每千克3元, 请你写出与之间的函数关系式．
( 2) 若用19千克种果汁原料和17.2千克种果汁原料试制甲、 乙两种新型饮料, 下表是试验的相关数据;
每千克饮料

果汁含量
果汁
甲
乙
A
0.5千克
0.2千克
B
0.3千克
0.4千克
请你列出关于且满足题意的不等式组, 求出它的解集, 并由此分析如何配制这两种饮料, 可使值最小, 最小值是多少?
【答案】解: ( 1) 依题意得:
( 2) 依题意得:
解不等式( 1) 得:
解不等式( 2) 得:
∴不等式组的解集为
, 是随的增大而增大, 且
∴当甲种饮料取28千克, 乙种饮料取22千克时,
成本总额最小, ( 元)
类型三、 利用不等式比较方案的优劣:
【 潍坊市中考题】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务, 有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择:
方案一: 从纸箱厂定制购买, 每个纸箱价格为4元;
方案二: 由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱, 机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元, 每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
( 1) 若需要这种规格的纸箱个, 请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用( 元) 和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用( 元) 关于( 个) 的函数关系式;
( 2) 假设你是决策者, 你认为应该选择哪种方案? 并说明理由．
【答案】解: ( 1) 从纸箱厂定制购买纸箱费用:
蔬菜加工厂自己加工纸箱费用: ．
( 2) 当＜时, 2.4x+16000＜4x, 解得: ,
当＝时, 2.4x+16000＝4x, 解得: ,
当＞时, 2.4x+16000＝4x, 解得: ,
因此, 当时, 选择方案一, 从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低; 当时, 两种方案都能够, 两种方案所需的费用相同; 当时, 选择方案二, 蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低．
四、 基本训练
1．( 威海) 响应”家电下乡”的惠农政策, 某商场决定从厂家购进甲、 乙、 丙三种不同型号的电冰箱80台, 其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍, 购买三种电冰箱的总金额不超过132 000元．已知甲、 乙、 丙三种电冰箱的出厂价格分别为: 1 200元/台、 1 600元/台、 2 000元/台．
(1)至少购进乙种电冰箱多少台?
(2)若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数, 则有哪些购买方案?
2．( 益阳市) 开学初, 小芳和小亮去学校商店购买学习用品, 小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本; 小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.
(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;
(2)校运会后, 班主任拿出200元学校奖励基金交给班长, 购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品, 奖给校运会中表现突出的同学, 要求笔记本数不少于钢笔数, 共有多少种购买方案? 请你一一写出.
3．( 内江市)我市部分地区近年出来持续干旱现象, 为确保生产生活用水, 某村决定由村里提供一点, 村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池。该村共有243户村民, 准备维护和新建的储水池共有20个, 费用和可供使用的户数及用地情况如下表:
储水池
费用( 万元/个)
可供使用的户数( 户/个)
占地面积( ㎡/个)
新建
4
5
4
维护
3
18
6
已知可支配使用土地面积为106㎡, 若新建储水池X个, 新建和维护的总费用为y万元。
( 1) 求y与x 之间的函数关系;
( 2) 满足要求的方案各有几种;
( 3) 若平均每户捐 元时, 村里出资最多和最少分别是多少?

4．( 仙桃) 宏志中学九年级300名同学毕业前夕给灾区90名同学捐赠了一批学习用品(书包和文具盒), 由于零花钱有限, 每6人合买一个书包, 每2人合买一个文具盒(每个同学都只参加一件学习用品的购买), 书包和文具盒的单价分别是54元和12元．
(1)若有x名同学参加购买书包, 试求出购买学习用品的总件数y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围);
(2)若捐赠学习用品总金额超过了2300元, 且灾区90名同学每人至少得到了一件学习用品, 请问同学们如何安排购买书包和文具盒的人数? 此时选择其中哪种方案, 使购买学习用品的总件数最多?
5．( 襄樊市) 为实现区域教育均衡发展, 我市计划对某县、 两类薄弱学校全部进行改造．根据预算, 共需资金1575万元．改造一所类学校和两所类学校共需资金230万元; 改造两所类学校和一所类学校共需资金205万元．
( 1) 改造一所类学校和一所类学校所需的资金分别是多少万元?
( 2) 若该县的类学校不超过5所, 则类学校至少有多少所?
( 3) 我市计划今年对该县、 两类学校共6所进行改造, 改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元; 地方财政投入的改造资金不少于70万元, 其中地方财政投入到、 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你经过计算求出有几种改造方案?
型 号
Ａ
Ｂ
C
进价(元／套)
40
55
50
售价(元／套)
50
80
65
6． ( 眉山市) ”六一”前夕, 某玩具经销商用去2350元购进A、 B、 C三种新型的电动玩具共50套, 而且购进的三种玩具都不少于10套, 设购进A种玩具套, B种玩具套, 三种电动玩具的进价和售价如右表所示,
⑴用含、 的代数式表示购进C种玩具的套数;

⑵求与之间的函数关系式;
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出, 且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元。
①求出利润P(元)与(套)之间的函数关系式; ②求出利润的最大值, 并写出此时三种玩具各多少套。
7．( 十堰市) 为执行中央”节能减排, 美化环境, 建设美丽新农村”的国策, 我市某村计划建造A、 B两种型号的沼气池共20个, 以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、 使用农户数及造价见下表:
型号
占地面积
(单位:m2/个 )
使用农户数
(单位:户/个)
造价
(单位: 万元/个)
A
15
18
2
B
20
30
3
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2, 该村农户共有492户．
(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．
(2)经过计算判断, 哪种建造方案最省钱．
8．( 哈尔滨) 跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、 乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元, 且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．
( 1) 求每个甲种零件、 每个乙种零件的进价分别为多少元?
( 2) 若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个, 购进两种零件的总数量不超过95个, 该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元, 每个乙种零件的销售价格为15元, 则将本次购进的甲、 乙两种零件全部售出后, 可使销售两种零件的总利润( 利润＝售价－进价) 超过371元, 经过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、 乙两种零件有几种方案? 请你设计出来．
9．( 齐齐哈尔市) 某电脑公司经销甲种型号电脑, 受经济危机影响, 电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元, 如果卖出相同数量的电脑, 去年销售额为10万元, 今年销售额只有8万元．
( 1) 今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
( 2) 为了增加收入, 电脑公司决定再经销乙种型号电脑, 已知甲种电脑每台进价为3500元, 乙种电脑每台进价为3000元, 公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台, 有几种进货方案?
( 3) 如果乙种电脑每台售价为3800元, 为打开乙种电脑的销路, 公司决定每售出一台乙种电脑, 返还顾客现金元, 要使( 2) 中所有方案获利相同, 值应是多少? 此时, 哪种方案对公司更有利?
10．( 鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、 乙、 丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运, 每辆汽车只能装运同一种土特产, 且必须装满, 根据下表提供的信息,
土特产种类
甲
乙
丙
每辆汽车运载量( 吨)
8
6
5
每吨土特产获利( 百元)
12
16
10

解答以下问题
(1)设装运甲种土特产的车辆数为x, 装运乙种土特产的车辆数为y, 求y与x之间的函数关系式．
(2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆, 那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案。
(3)若要使此次销售获利最大, 应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值。
【答案】
1．( 威海市) 威海解: ( 1) 设购买乙种电冰箱台, 则购买甲种电冰箱台,
丙种电冰箱台, 根据题意, 列不等式:
．
解这个不等式, 得．
至少购进乙种电冰箱14台．
( 2) 根据题意, 得．
解这个不等式, 得．
由( 1) 知．
．
又为正整数,
．
因此, 有三种购买方案:
方案一: 甲种电冰箱为28台, 乙种电冰箱为14台, 丙种电冰箱为38台;
方案二: 甲种电冰箱为30台, 乙种电冰箱为15台, 丙种电冰箱为35台;
方案三: 甲种电冰箱为32台, 乙种电冰箱为16台, 丙种电冰箱为32台．
2．( 益阳市) 解: (1)设每支钢笔x元, 每本笔记本y元
依题意得: , 解得:
答: 每支钢笔3元, 每本笔记本5元
(2)设买a支钢笔, 则买笔记本(48－a)本
依题意得: , 解得:
因此, 一共有５种方案．即购买钢笔、 笔记本的数量分别为: 20, 28; 21, 27; 22, 26; 23, 25; 24, 24．
3．( 内江市)解: ( 1) 由题意得y=4x+3(20-x), 即y=x+60
( 2) 由题意得5x+18(20-x)≥243,4x+6(20-x)≤106, 即x≤9, x≥7, ∴7≤x≤9
故满足要求的方案有三种:
新建7个维修13个; 新建8个维修12个, 新建9个维护11个
( 3) 由y=x+60知y随x的增大而增大
∴当x=7时, y最小=67( 万) , 当x=9时, y最大=69( 万)
而居民捐款共243×0.2=48.6( 万)
∴村里出资最多为20.4万, 最少为18.4万
4．( 仙桃) 解: ( 1) 设有名同学参加购买书包, 则有名同学购买文具盒, 因此可购买书包个, 购买文具盒个.
因此购买学习用品的总件数与的关系式为: , 即.
( 2) 设有名同学参加购买书包, 根据题意得

解这个不等式组, 得.
又因为6人合买一个书包, 故购书包的人数应为6的倍数,
因此购买书包的人数应为: 168, 或174, 或180
相应购买文具盒的人数为: 132, 或126, 或120.
∵总件数与的关系式为: , 随的增大而减小
∴当时, 总件数最多.
5．( 襄樊市) 解: ( 1) 设改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为万元和万元．依题意得: , 解之得
答: 改造一所类学校和一所类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．
( 2) 设该县有、 两类学校分别为所和所．则

∵类学校不超过5所 , ∴, ∴
即: 类学校至少有15所．
( 3) 设今年改造类学校所, 则改造类学校为所, 依题意得:
, 解之得, ∵取整数, ∴
即: 共有4种方案．
6．( 眉山) 解: ( 1) 购进C种玩具套数为: 50－x－y( 或47－x－y)
( 2) 由题意得
整理得
( 3) ①利润＝销售收入－进价－其它费用
又∵ ∴整理得
②购进C种电动玩具的套数为:
据题意列不等式组, 解得 ∴x的范围为, 且x为整数 的最大值是23
∵在中, ＞0 ∴P随x的增大而增大
∴当x取最大值23时, P有最大值, 最大值为595元．此时购进A、 B、 C种玩具分别为23套、 16套、 11套．
7．( 十堰市) 解: (1) 设建造A型沼气池 x 个, 则建造B 型沼气池(20－x )个
依题意得:
解得: 7≤ x ≤ 9
∵ x为整数 ∴ x = 7, 8 , 9 , ∴满足条件的方案有三种．
(2)设建造A型沼气池 x 个时, 总费用为y万元, 则:
y = 2x + 3( 20－x) = －x+ 60
∵－1< 0, ∴y 随x 增大而减小,
当x=9 时, y的值最小, 此时y= 51( 万元 )
∴此时方案为: 建造A型沼气池9个, 建造B型沼气池11个．
8．( 哈尔滨) 解: ( 1) 可列分式方程求解, 但要注意检验, 否则扣分; ( 2) 依据题意列出不等式组, 注意不等号中是否有等于, 根据未知数都为整数, 再结合不等式组的解集, 确定未知数的具体数值, 有几个值, 即有几种方案.
解: ( 1) 设每个乙种零件进价为元, 则每个甲种零件进价为元．由题意得
,
解得．
检验: 当时, , 是原分式方程的解．
( 元)
答: 每个甲种零件的进价为8元, 每个乙种零件的进价为10元．
( 2) 设购进乙种零件个, 则购进甲种零件个
由题意得
解得．
为整数, 或．共有2种方案．
分别是:
方案一: 购进甲种零件67个, 乙种零件24个;
方案二: 购进甲种零件70个, 乙种零件25个．
9．( 齐齐哈尔市) 解: ( 1) 设今年三月份甲种电脑每台售价元
, 解得:
经检验: 是原方程的根, 因此甲种电脑今年每台售价4000元．
( 2) 设购进甲种电脑台,
解得, 因为的正整数解为6, 7, 8, 9, 10, 因此共有5种进货方案
( 3) 设总获利为元,

当时, ( 2) 中所有方案获利相同．
此时, 购买甲种电脑6台, 乙种电脑9台时对公司更有利．
10.( 鄂州)解: ( 1) 8x+6y+5(20―x―y)=120
∴y=20―3x ∴y与x之间的函数关系式为y=20―3x
( 2) 由x≥3, y=20－3x≥3, 20―x―(20―3x)≥3可得
又∵x为正整数 ∴ x=3, 4, 5
故车辆的安排有三种方案, 即:
方案一: 甲种3辆 乙种11辆 丙种6辆
方案二: 甲种4辆 乙种8辆 丙种8辆
方案三: 甲种5辆 乙种5辆 丙种10辆
( 3) 设此次销售利润为W元,
W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920
∵W随x的增大而减小 又x=3, 4, 5
∴ 当x=3时, W最大=1644( 百元) =16.44万元
答: 要使此次销售获利最大, 应采用( 2) 中方案一, 即甲种3辆, 乙种11辆, 丙种6辆, 最大利润为16.44万元。