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2018成都市高新区二诊数学试题(答案)

2018年九年级第二次诊断性考试试题
数 学
（满分150分，时间：120分钟）
第Ⅰ卷
A卷（100分）
一、选择题（每小题3分，共30分, 在下面每一个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.）
1．计算的结果为（　A　）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣9
2．下列运算正确的是（　C　）
A．a+a=a2 B．a3÷a=a3 C．a2•a=a3 D．（a2）3=a5
3．如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的主视图是（　B　）
A． B． C． D．
4．把0.0813写成a×10n（1≤a＜10，n为整数）的形式，则n为（　B ）
A．1 B．﹣2 C．2 D．8.13
5．谜语：干活两腿脚，一腿勤，一腿懒，一脚站，一脚转．打一数学学习用具，谜底为（D　）
A．量角器 B．直尺 C．三角板 D．圆规
6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
2
3
4
1
则这些运动员成绩的众数、极差分别为（C　）
A．1.70、0.25 B．1.75、3 C．1.75、0.30 D．1.70、3
7．将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（C）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1=0有实根，则m的取值范围是（　D　）
A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2
9．如图：有一块含有45°的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　B　）
A．30° B．25° C．20° D．15°

10．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则的长度为（　B　）
A．π B．2π C．5π D．10π
第Ⅱ卷
二、填空题（每小题4分，共16分）
11．因式分解：　 　．
12．如图，在“3×3”网格中，有3个涂成黑色的小方格．若再从余下的6个小方格中随机选取1个涂成黑色，则完成的图案为轴对称图案的概率是　 　．

13．如图，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8 cm，△FCB的周长为20cm，则FC的长为　 6 　cm．
14. 把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围是　 m＞1 　．
三、解答题（本题共54分）
15. （每小题6分，共12分）
（1）计算：
解：
（2） 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
解：
将原不等式组解集在数轴上表示如下： 数轴表示……2分
16、 （本小题6分）先化简，再求值：，其中．
解：
17、（本小题8分）为了测量白塔的高度AB，在D处用高为1.5米的测角仪 CD，测得塔顶A的仰角为42°，再向白塔方向前进12米，又测得白塔的顶端A的仰角为61°，求白塔的高度AB．（参考数据sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tan61°≈1.80，结果保留整数）

解：设AE=x，
在Rt△ACE中，CE==1.1x，………………………………2分
在Rt△AFE中，FE==0.55x，………………………………2分
由题意得，CF=CE﹣FE=1.1x﹣0.55x=12，………………………………2分
解得：x=，………………………………1分
故AB=AE+BE=+1.5≈23米．
答：这个电视塔的高度AB为23米．………………………………1分

18、（本小题8分）某销售公司年终进行业绩考核，人事部门把考核结果按照A，B，C，D四个等级，绘制成两个不完整的统计图，如图1，图2．
（1）参加考试人数是　 　，扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是　 　，请把条形统计图补充完整；
（2）若考核为A等级的人中仅有2位女性，公司领导计划从考核为A等级的人员中选2人交流考核意见，请用树状图或表格法，求所选人员恰为一男一女的概率；
（3）为推动公司进一步发展，公司决定计划两年内考核A等级的人数达到30人，求平均每年的增长率．（精确到0.01，=2.236）

解：（1）参加考试的人数是：24÷48%=50人；………………………………1分
扇形统计图中D部分所对应的圆心角的度数是：360°×=36°；…………………………………1分
C等级的人数是：50﹣24﹣15﹣5=6人，补图如下：
………………………………1分
故答案为：50，36；

（2）树状图或表格
因为共有20种可能，其中满足一男一女的情况有12种，………………………………2分
∴P（一男一女）=；………………………………1分

（3）设增长率是x，依题意列方程得：
24（1+x）2=30，………………………………1分
解得：x1=﹣1+≈0.12，x2=﹣1﹣（舍去），
答：每年增长率为12%．………………………………1分

19、（本小题10分）如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点．
（1）求直线AB和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方；
（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC的面积等于△OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标．

解：（1）设反比例函数解析式为y=，
把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣3）=6，
∴反比例函数解析式为y=；………………………………1分
把A（3，m）代入y=，可得3m=6，
即m=2，
∴A（3，2），………………………………1分
设直线AB 的解析式为y=ax+b，
把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得，
解得，
∴直线AB 的解析式为y=x﹣1；………………………………1分

（2）由题可得，当x满足：x＜﹣2或0＜x＜3时，直线AB在双曲线的下方；…………………2分

（3）存在点C．………………………………1分
如图所示，延长AO交双曲线于点C1，
∵点A与点C1关于原点对称，
∴AO=C1O，
∴△OBC1的面积等于△OAB的面积，
此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；………………………………1分
如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2，则△OBC2的面积等于△OBC1的面积，
∴△OBC2的面积等于△OAB的面积，
由B（﹣2，﹣3）可得OB的解析式为y=x，
可设直线C1C2的解析式为y=x+b'，
把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2=×（﹣3）+b'，………………………………1分
解得b'=，
∴直线C1C2的解析式为y=x+，
解方程组，可得C2（，）；………………………………1分
如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3，则△OBC3的面积等于△OBA的面积，
设直线AC3的解析式为y=x+b“，
把A（3，2）代入，可得2=×3+b“，
解得b“=﹣，
∴直线AC3的解析式为y=x﹣，
解方程组，可得C3（﹣，﹣）；………………………………1分
综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（，），（﹣，﹣）．

20、 （本小题10分）如图， ⊙O的外接圆，，，过点的直线是 ⊙O的切线，点是直线上一点，过点作交延长线于点,连结，交⊙O于点,连结BF、CD交于点G.
（1） ∽；
（2） 当时，求的值；
（3） 若CD平分，=2，连结CF,求线段CF的长.

（1）

（2）

（3）

B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21.某班体育委员对本班学生一周锻炼时间（单位：小时）进行了统计，绘制了如图所示的折线统计图，则该班这些学生一周锻炼时间的中位数是　11 　小时．
22.若是关于的二元一次方程的一个解，代数式的值是　24 　．
23.如图，同心圆的半径为6cm，8cm，AB为小圆的弦，CD为大圆的弦，且ABCD为矩形，若矩形ABCD面积最大时，矩形ABCD的周长为　39.2 cm．

24.如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点G．连接BB'、CC'．若AD=7，CG=4，AB'=B'G，则=　 　（结果保留根号）．
25.在平面直角坐标系，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′=，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为　 3或﹣　 　；若点P在函数y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数a的取值范围为__≤a≤4．____________．
二、解答题（本题共30分）
26、（本小题8分）为进一步缓解城市交通压力，成都大力支持共享单车的推广，并规范共享单车定点停放，某校学生小明统计了周六校门口停车点各时段的借、还自行车数，以及停车点整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y的值表示8：00点时的存量，x=2时的y值表示9：00点时的存量…以此类推，他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系．
时段
x
还车数
借车数
存量y
7：00﹣8：00
1
7
5
15
8：00﹣9：00
2
8
7
n
…
…
…
…
…
根据所给图表信息，解决下列问题：
（1）m=　 　，解释m的实际意义：　 　；
（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；
（3）已知10：00﹣11：00这个时段的还车数比借车数的2倍少4，求此时段的借车数．

解：（1）m+7﹣5=15，
m=13，………………………………1分
则m的实际意义：7：00时自行车的存量；………………………………1分
故答案为：13，7：00时自行车的存量；
（2）由题意得：n=15+8﹣7=16，………………………………1分
设二次函数的关系式为：y=ax2+bx+c，
把（0，13）、（1，15）和（2，16）分别代入得：，………………………………1分
解得：，
∴y=﹣x2+x+13；………………………………1分
（3）当x=3时，y=﹣×32+×3+13=16，………………………………1分
当x=4时，y=﹣×42+×4=13=15，………………………………1分
设10：00﹣11：00这个时段的借车数为x，则还车数为2x﹣4，
根据题意得：16+2x﹣4﹣x=15，
x=3，………………………………1分
答：10：00﹣11：00这个时段的借车数为3辆．
27、（本小题10分）在正六边形ABCDEF中，N、M为边上的点，BM、AN相交于点P
（1）如图1，若点N在边BC上，点M在边DC上，BN=CM，求证：BP•BM=BN•BC；
（2）如图2，若N为边DC的中点，M在边ED上，AM∥BN，求的值；
（3）如图3，若N、M分别为边BC、EF的中点，正六边形ABCDEF的边长为2，请直接写出AP的长．

（1）证明：在正六边形ABCDEF中，AB=BC，∠ABC=∠BCD=120°，………………………………1分
∵BN=CM，
∴△ABN≌△BCM，
∴∠ANB=∠BMC，………………………………1分
∵∠PBN=∠CBM，
∴△BPN∽△BCM，
∴=，
∴BP•BM=BN•BC；………………………………1分
（2）延长BC，ED交于点H，延长BN交DH于点G，取BG的中点K，连接KC，………………1分
在正六边形ABCDEF中，∠BCD=∠CDE=120°，
∴∠HCD=∠CDH=60°，∴∠H=60°，∴DC=DH=CH，
∵DC=BC，∴CH=BC，
∵BK=GK，∴2KC=GH，KC∥DH，………………………………1分
∴∠GDN=∠KCN，
∵CN=DN，∠DNG=∠CNK，
∴△DNG≌△CNK，
∴KC=DG，
∴DG=DH=DE，
∵MG∥AB，AM∥BG，
∴四边形MABG是平行四边形，………………………………1分
∴MG=AB=ED，
∴ME=DG=DE，即=，………………………………1分
（3）如图3，过N作NH⊥AB，交AB的延长线于H，………………………………1分
∵∠ABC=120°，
∴∠NBH=60°，
Rt△NBH中，∠BNH=30°，BN=1，
∴BH=BN=，
∴NH==，
Rt△ANH中，AN===，
连接FC，延长FC与AN交于G，设FC与BM交于K，
易证△ANB≌△GNC，
∴CG=AB=2，AN=NG=，FC=2AB=4，
∴FG=FC+CG=6，
∵EF∥BC，
∴，
∴，
∵FK+KC=4，
∴FK=，KC=，KG=+2=，
∵KG∥AB，
∴，
∴=，………………………………1分
设PG=7x，AP=3x，
由PG+AP=AG=2得：7x+3x=2，
x=，
∴AP=3x=．………………………………1分

28、（本小题12分）如图，直线：与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B,交x轴正半轴于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2））已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；
（3）将点A绕原点旋转得点A′，连结CA′、BA′，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′，再沿线段A′C以每秒1个单位的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？

解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，………………………………1分
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，………………………………1分
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；………………………………1分

（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，………………………………1分
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=﹣3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），………………………………1分
S=S四边形OAMB﹣S△AOB
=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
=×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3………………………………1分
=﹣（m﹣）2+………………………………1分
∴当m=时，S取得最大值．可知：M′的坐标为（，）；………………………………1分
（4） 取点………………………………1分
………………………………1分
………………………………1分
………………………………1分

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