中考数形结合题.doc

【中考冲刺】数形结合得5个常考类型
数形结合:就就是通过数与形之间得对应与转化来解决数学问题,它包含“以形助数”与“以数解形"两个方面、利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数得严谨"与“形得直观”之长,就是优化解题过程得重要途径之一,就是一种基本得数学方法。
１用数形结合得思想解题可分两类
(1)利用几何图形得直观性表示数得问题,它常借用数轴、函数图象等;
(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等、
２2。 热点内容
在初中教材中,“数”得常见表现形式为: 实数、代数式、函数与不等式等,而“形"得常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下,一次函数图象对应一条直线,二次函数得图像对应着一条抛物线,这些都就是初中数学得重要内容。ﻫ
【典型例题】
类型一、利用数形结合探究数字得变化规律
1. 如图所示,把同样大小得黑色棋子摆放在正多边形得边上,按照这样得规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子得个数就是         .

【思路点拨】
首先计算几个特殊图形,发现:数出每边上得个数,乘以边数,但各个顶点得重复了一次,应再减去、第1个图形就是2×３-3,第2个图形就是3×4－４,第３个图形就是4×５—5,按照这样得规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子得个数就是(n+1)(n+2)—(n+2)=n２+2n.
【答案与解析】
第１个图形就是三角形,有3条边,每条边上有2个点,重复了3个点,需要黑色棋(2×3—3)个;
第２个图形就是四边形,有4条边,每条边上有3个点,重复了４个点,需要黑色棋子(3×4－4)个;ﻫ  第3个图形就是五边形,有5条边,每条边上有4个点,重复了5个点,需要黑色棋子(4×５-５)个;ﻫ  按照这样得规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子得个数就是(n＋１)(n＋２)－(ｎ＋２)=n(n+２)、ﻫ 　故答案为n(n+2)=n2+2n、
【总结升华】
这样得试题从最简单得图形入手。找出图形中黑点得个数与第ｎ个图形之间得关系,找规律需要列出算式,一律采用原题中得数据,不要用到计算出来得结果来找规律。
举一反三:
【变式】用棋子按下列方式摆图形,依照此规律,第n个图形比第(n-1)个图形多____＿枚棋子.
【答案】
解:设第n个图形得棋子数为.
第１个图形,S1=1;
第2个图形,Ｓ2＝1＋4;
第３个图形,S3＝1+4+7;
第n个图形,Ｓｎ=1+4＋…+3n-2;
第(n—1)个图形,Sn—１＝１+4+…＋［3(n－1)-2];
则第ｎ个图形比第(ｎ－１)个图形多(3n-２)枚棋子.
类型二、　利用数形结合解决数与式得问题 
 2。已知实数ａ、ｂ、c在数轴上得位置如图所示,化简｜ａ+b|-｜c-b｜得结果就是　( 　).

A。ａ+c      　B。—a—2b+c     
C.a＋2ｂ－ｃ     　D、—ａ-c
【思路点拨】
首先从数轴上ａ、b、ｃ得位置关系可知:c＜a＜0;ｂ>0且｜b｜>｜a|,接着可得a＋b>0,ｃ－b<0,然后即可化简|a+b｜—｜ｃ-ｂ｜可得结果. 具体步骤为:① ａ,ｂ,ｃ得具体位置,在原点左边得小于0,原点右边得大于0。②比较绝对值得大小、｜a|＜｜ｃ｜＜|b｜。③化简原式中得每一部分,瞧瞧绝对值内部(二次根式中得被开方数得底数)得性质,若大于零,直接提出来,若小于零,则取原数得相反数、④进行化简计算,得出最后结果、
【答案与解析】
解:从数轴上a、ｂ、c得位置关系可知:ｃ〈a〈0;b＞０且｜ｂ|〉|a|,
故ａ+b>０,c－b〈０,
即有|ａ+b｜—｜c—b｜=a+b+ｃ-b＝a+c、
故选Ａ.
【总结升华】
此题主要考查了利用数形结合得思想与方法来解决绝对值与数轴之间得关系,进而考察了非负数得运用、数轴得特点:从原点向右为正数,向左为负数,及实数与数轴上得点得对应关系.非负数在初中得范围内,有三种形式:绝对值(｜a|),完全平方式(ａ±b)2,二次根式、性质:非负数有最小值就是0;几个非负数得与等于0,那么每一个非负数都等于0、
类型三、利用数形结合解决代数式得恒等变形问题
3、 图①就是一个边长为得正方形,小颖将图①中得阴影部分拼成图②得形状,由图①与图②能验证得式子就是(   　)
A、         
B、  
C、          
D。 

【思路点拨】
这就是完全平方公式得几何背景,用几何图形来分析与理解完全平方公式得实质。就是一个很典型得“数形结合”得例子,用图形得变换来帮助理解代数学中得枯燥无味得数学公式、根据图示可知,阴影部分得面积就是边长为(m＋n)得正方形得面积减去中间白色得小正方形得面积(m2+n２),即为对角线分别就是2m,2ｎ得菱形得面积.据此即可解答。
【答案】Ｂ。
【解析】(m＋n)2—(m2+n２)＝2mn。
故选B.
【总结升华】
本题就是利用几何图形得面积来验证(ｍ+n)2—(ｍ２+n2)=2mn,解题关键就是利用图形得面积之间得相等关系列等式、
举一反三
【变式】如图1就是一个长为2ｍ,宽为2n得长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按图２得形状拼成一个空心正方形.ﻫ(1)您认为图2中得阴影部分得正方形得边长就是多少?ﻫ(2)请用两种不同得方法求出图２中阴影部分得面积;
(３)观察图2,您能写出下列三个代数式:(ｍ＋n)2、(ｍ-n)2、ｍn之间得关系吗?

 　           　 　       　     　 　 　     　   　 　               　         　  【答案】
解:(1)图②中阴影部分得正方形得边长等于(ｍ—n);
   (2)(ｍ-n)2;(m＋ｎ)2-4mn;
   (３)(m—n)2=(m+n)2－4ｍn.
类型四、利用数形结合思想解决极值问题
４。我们知道:根据二次函数得图象,可以直接确定二次函数得最大(小)值;根据“两点之间,线段最短”,并运用轴对称得性质,可以在一条直线上找到一点,使得此点到这条直线同侧两定点之间得距离之与最短、这种“数形结合”得思想方法,非常有利于解决一些实际问题中得最大(小)值问题.请您尝试解决一下问题:ﻫ

(1)在图1中,抛物线所对应得二次函数得最大值就是 _____、
(２)在图２中,相距3km得A、B两镇位于河岸(近似瞧做直线CD)得同侧,且到河岸得距离AC=１千米,BＤ=2千米,现要在岸边建一座水塔,直接给两镇送水,为使所用水管得长度最短,
请您:
 ①作图确定水塔得位置;ﻫ  ②求出所需水管得长度(结果用准确值表示)、
(3)已知x+y=６,求 得最小值？
此问题可以通过数形结合得方法加以解决,具体步骤如下:

①如图3中,作线段ＡB=６,分别过点A、B,作CA⊥AB,DB⊥AB,使得ＣA= _＿__DB=　＿＿＿_。ﻫ②在AB上取一点P,可设AP＝ ＿____,ＢＰ＝ _____。
③得最小值即为线段___与线段___＿_长度之与得最小值,最小值为 ___
、
【思路点拨】
(１)利用二次函数得顶点坐标就可得出函数得极值;
(2)
①延长ＡC到点Ｅ,使ＣE=AC,连接BE,交直线CD于点P,则点P即为所求;ﻫ②过点Ａ作AF⊥BD,垂足为F,过点Ｅ作EG⊥BＤ,交BD得延长线于点G,则有四边形ＡCDF、ＣEGＤ都就是矩形,进而利用勾股定理求出即可;
ﻫ(3)
①作线段AB=６,分别过点A、B,作CＡ⊥ＡB,DB⊥AＢ,使得ＣA=3,ＢD=５,ﻫ②在AB上取一点P,可设AP＝x,BP=y;ﻫ③得最小值即为线段　PC与线段 PD长度之与得最小值,最小值利用勾股定理求出即可、
【答案与解析】
解:
(１)抛物线所对应得二次函数得最大值就是４;

(2)
①如图所示,点P即为所求。ﻫ(作法:延长ＡC到点E,使CE=ＡC,连接ＢE,交直线CＤ于点P,则  点P即为所求。

说明:不必写作法与证明,但要保留作图痕迹;不连接ＰA不扣分;(延长BD,同样得方法也可以得到P点得位置.)

②过点A作AＦ⊥BD,垂足为F,过点Ｅ作EＧ⊥ＢD,交BD得延长线于点G,则有四边形ＡCDＦ、CEGD　  
都就是矩形.
∴FD=AＣ=ＣE=DＧ=1,
 EＧ=CD=AF.                    ﻫ∵AＢ=３,BＤ=2,ﻫ∴BF=ＢD－ＦD=１,BＧ＝ＢD+DG=3,ﻫ∴在Rt△ABＦ中,AF2=AＢ２-BF2＝8,
∴AF=2   EG=２.
∴在Rｔ△BEG中,BE2=ＥG2+BG2=17,
∴BE=(cm)。ﻫ∴PＡ+PB得最小值为cm。ﻫ即所用水管得最短长度为cｍ、
(３)图3所示,
①作线段ＡB=６,分别过点A、B,作CA⊥ＡB,DB⊥ＡＢ,使得CA=3,BＤ=5,
②在AB上取一点Ｐ,可设AＰ=x,BＰ＝ｙ,
③得最小值即为线段 PC与线段 PD长度之与得最小值,

∴作C点关于线段AB得对称点Ｃ′,连接C′Ｄ,过C′点作Ｃ′E⊥DＢ,交ＢＤ延长线于点Ｅ,ﻫ∵AC=ＢE＝3,DB=5,ＡＢ=C′Ｅ＝6,
∴DＥ=８,
.
∴最小值为10.
故答案为:①４; ②x,y; ③ＰC,PD,10。
【总结升华】
此题主要考查了函数最值问题与利用轴对称求最短路线问题,结合已知画出图象利用数形结合以及勾股定理就是解题关键。
作图题不要求写出作法,但必须保留痕迹、最后点题,即“xｘ即为所求"、
类型五、利用数形结合思想,解决函数问题
5。如图,二次函数ｙ=ax2＋ｂx＋ｃ得图象开口向上,图象过点(—1,2)与(1,0),且与y轴相交与负半轴。以下结论(1)a〉0;(2)b〉０;(3)c〉0;(４)a＋ｂ＋c＝0;(5)aｂc〈0;(6)2a+b＞0;(7)a+c=１;(8)ａ＞１中,正确结论得序号就是____＿_____＿、

【思路点拨】
由抛物线得开口方向判断a与0得关系,由抛物线与ｙ轴得交点判断c与０得关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断、
【答案与解析】
解:①由抛物线得开口方向向上,可推出a＞0,正确;
②因为对称轴在ｙ轴右侧,对称轴为x＝＞0,又因为a〉０,∴b＜0,错误;
③由抛物线与y轴得交点在y轴得负半轴上,∴c＜0,错误;
④由图象可知:当ｘ＝1时ｙ=0,∴a+ｂ+c=0,正确;
⑤∵a＞0,ｂ＜0,ｃ＜0,∴abc>0,错误;
⑥由图象可知:对称轴x=〉0且对称轴x=＜1,∴2ａ+b＞０,正确;ﻫ⑦由图象可知:当ｘ=－1时y=2,∴a—ｂ＋ｃ=2,  -－-①  
当x=1时y=0,∴a+b＋ｃ＝0,   —－-②
①+②,得
2a＋2c=２,解得  a+c＝1,正确;
⑧∵ａ+c＝１,移项得ａ=1—ｃ,又∵ｃ＜0,∴a＞１,正确。ﻫ故正确结论得序号就是①④⑥⑦⑧.
【总结升华】
考查二次函数得解析式、图象,及综合应用相关知识分析问题、解决问题得能力.
二次函数y=ax２+bx+c图象与系数之间得关系:
(1)ａ由抛物线开口方向确定:开口方向向上,则a＞0;否则a＜0。ﻫ(2)b由对称轴与ａ得符号确定:由对称轴公式x=判断符号.存在着“左同右异”,即a,b同号、对称轴在y轴得左边,a,ｂ异号,对称轴在y轴得右边、ﻫ(3)c由抛物线与y轴得交点确定:交点在y轴正半轴,则c〉0;否则c＜0.ﻫ(4)b2-4ac由抛物线与x轴交点得个数确定:２个交点,b2-4aｃ>０;1个交点,ｂ2－4ａc=0;没有交点,b２—4ac〈0.
(５)当x=±1时,aｘ2+bｘ+ｃ就变成了a±ｂ+c了、这道题得第7小题:当x=1时,ａ+b+ｃ=0……①
当ｘ=—1时,a-ｂ+c=2……②,①+②得,2a＋２c＝2,即ａ+c=1.
举一反三
【变式】已知二次函数ｙ=ａx2+bx+c得图象如图所示,x=就是该抛物线得对称轴.根据图中所提供得信息,请您写出有关a,b,ｃ得四条结论,并简单说明理由.
【答案】
解:①∵开口方向向上,∴a＞０,
  ②∵与y轴得交点为在y轴得正半轴上,∴c〉0,
 　③∵对称轴为x=〉0,∴a、b异号,即b<0,
  ④∵抛物线与x轴有两个交点,∴ｂ２—４ａc〉0,
  ⑤当x=１时,y=a+b+c〈０,
 　⑥当x＝-1时,y＝a—b+c＞0.
 　结论有:a>0,b<0,c〈０,a＋ｂ+c＜0,a—ｂ+c>0等。