【甘肃省天水一中】2017届高三上学年期第二次月考数学年(理科)试题.pdf

-1-/13 甘肃省天水市甘肃省天水市 2016-2017 届届高三高三上上学期学期期末期末理科理科数学试卷数学试卷 答答 案案 一、选择题 15ABCCB 610CACDD 1112DC 二、填空题 13丙 140 1532 162 三、解答题 17解：（）sin(2)22cos()sinABABA，sin(2)2sin2sincos()ABAAAB，sin()2sin2sincos()AABAAAB，sin()coscos sin()2sinABAAABA，sin2sinBA，2ba，2ba（）1a，7c，2ba，2b，2221471cos242abcCab，23C 1133sin1 22222ABCSabC，即ABC的面积的32 18解：（1）数列na中，12a，23a，其前n项和nS满足1121nnnSSS，其中2n，*nN，*11()()1(2,)nnnnSSSSnnN，211aa，数列na是以12a 为首项，公差为 1 的等差数列，1nan；（2）1nan；-2-/13 2(1)2nnnnban，21111123(1)(1)2222nnnTnn 2311111123(1)(2)22222nnnTnn (1)(2)得：231111111+(1)22222nnnTn，332nnnT，代入不等式得：3322nn，即3102nn，设3()12nnf n，12(1)()02nnf nf n，()f n在N上单调递减，(1)10f，1(2)04f，1(3)04f，1n当，2n 时，()0f n；当3n，()0f n，所以n的取值范围为3n，且*nN 19（）证明：连结OC，ACBC，O是AB的中点，故OCAB 又ABCABEF平面平面，故OCABE平面，于是OCOF 又OFEC，OFOEC平面，OFOE，又OCOE，OEOFC平面，OEFC；（）解：由（）得2ABAF不妨设1AF，2AB，32ACAB，3AC，则2OC 建立以O为坐标原点，OC，OB，OD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则(0,1,1)F，(01,1)E,，(0,1,0)B，C(2,0,0)，则 CE(2,1,1)，EF(0,2,0)，设平面FCE的法向量为(,)mx y z，则2020 xyzy -3-/13 (1,0,2)m，(0,0,1)BE，(2,1,0)BC，同理可得平面CEB的法向量为(1,2,0)n，11cos,333m n，二面角F CE B是钝二面角，二面角F CE B的余弦值为13 20解：（1）由题得：32ca，48a，所以2a，3c 又222bac，所以1b 即椭圆C的方程为2214xy（2）由题意知，|1|m 当1m时，切线l的方程1x，点A、B的坐标分别为3(1,)2，3(1,)2,此时|3AB；当1m时，同理可得|3AB 当|1m 时，设切线l的方程为()yk xm，(0)k 由22()14yk xmxy得22222(14)8440kxk mxk m，设A、B两点的坐标分别为11(,)x y，22(,)xy，则4222226416(14)(44)480k mkk mk -4-/13 222121222844,1414k mk mxxx xkk 又由l与圆222222|1111kmxym kkk相切，得，即，得2211km 所以422222221212222644(44)4 3|()()(1)(14)143k mk mmABxxyykkkm 因为|1|m 所以24 3|4 3|=233|mABmmm，且当3m 时，|2AB，由于当1m时，|3AB，所以|AB的最大值为 2 21解：（1）21ln()axfxx，()f x在点(e,(e)f处的切线斜率为2ea，由切线与直线2ee0 xy垂直，可得21(e)ef，即有221eea 解得得1a，1ln()xf xx，2ln()(0)xfxxx 当01x，()0fx，()f x为增函数；当1x 时，()0fx，()f x为减函数 1x 是函数()f x的极大值点 又()f x在(,1)m m上存在极值 11mm 即01m 故实数m的取值范围是(0,1)；（2）不等式1()2ee1(1)(e1)xxf xxx 即为11(1)(ln1)2ee1e1xxxxxx 令(1)(ln1)g()xxxx 则2lng()xxxx，-5-/13 再令()lnxxx，则11()1xxxx，1()0 xx ，()(1)x在,上是增函数，()(1)10 x，()0g x，()g x在(1,)上是增函数，1x 时，()(1)2g xg 故()2e1e1g x 令12e()e1xxh xx，则122e(1e)()(e1)xxxh xx，1 1 e0 xx ，()0h x，即()h x在(1,)上是减函数 1x 时，2()(1)e1h xh，所以g()()e1xh x，即1()2ee1(1)(e1)xxf xxx 22解：（1）曲线C的参数方程为35cos15sinxy（为参数），曲线C的普通方程为22(3)(1)5xy，曲线C表示以(3,1)为圆心，5为半径的圆，将cossinxy代入并化简：26 cos2 sin50.（2）直角坐标方程为1yx，圆心C到直线的距离为3 22d，弦长为2 23解：（）不等式()4|1f xx，即|21|34xx，233214xxx ，或2133+214xxx，或13+214xxx 解求得5243x，解求得2132x，解求得x 综上可得，不等式的解集为5 1(,)4 2（）已知1(,0)mnm n，1111()()2224nmmnmnmnmn，当且仅当12mn时，取等号 -6-/13 再根据11()(0)|xaf xamn恒成立，可得()4|x af x-，即3|2|4|xax 设222,32()3242,322,|xa xg xxaxxaxaxa xa ，故函数()g x的最大值为22()33ga，再由243a，求得1003a -7-/13 甘肃省天水市甘肃省天水市 2016-2017 届届高三高三上上学期学期期末期末理科理科数学试卷数学试卷 解解 析析 一、选择题 1【考点】交集及其运算【分析】由一元二次不等式的解法求出集合 B，由交集的运算求出 AB【解答】解：集合 B=xZ|x25x0=xZ|0 x5=1，2，3，4，且集合 A=x|2x3，AB=1，2，故选 A 2【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出【解答】解：复数 z=2i+=2i+=2i3i1=15i，则复数 z 的共轭复数=1+5i 在复平面内对应的点（1，5）在第二象限 故选：B 3【考点】不等关系与不等式【分析】x，yR，且 xy0，可得：，sinx 与 siny 的大小关系不确定，lnx+lny与 0 的大小关系不确定，即可判断出结论【解答】解：x，yR，且 xy0，则，sinx 与 siny 的大小关系不确定，即0，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定 故选：C 4【考点】等比数列的性质【分析】根据等比数列的性质进行求解即可【解答】解：a1+a2=3，a3+a4=12，（a1+a2）q2=a3+a4，即 q2=4，则 a5+a6=（a3+a4）q2=124=48，故选：C 5【考点】二倍角的余弦【分析】由诱导公式化简已知可得 cos=，由诱导公式和二倍角的余弦函数公式即可求值【解答】解：cos（+）=，-8-/13 可得 cos=，sin（2+）=cos2=2cos21=2（）21=故选：B 6【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】由向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值【解答】解：若|=3，|=1，且（+）=2，即有+2=2，即为|cos，+|2=1，则 3cos，+1=2，解得 cos，=故选：C 7【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】根据两角和差的正弦公式求得 f（x）的解析式，再利用函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由于函数 f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）=2sin2（x+），故将 y=2sin2x 的图象向左平移个单位，可得 f（x）=2sin（2x+）的图象，故选：A 8【考点】数列的求和【分析】ak=n2 时，ak1ak=n2利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：ak=n2 时，ak1ak=n2 a1a2+a2a3+an1an=n2+=n（n1）故选：C 9【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）【解答】解：由三视图可知：该几何体由左右两部分组成，左面是一个圆柱的一半，-9-/13 右面是多面体（可以看做是由一个三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体）该几何体的体积=+=故选：D 10.【考点】双曲线的简单性质【分析】设|PF2|=t，则|PF1|=3t，利用双曲线的定义，可得 t=a，利用余弦定理可得 cosF1PF2，再利用数量积公式，即可求出双曲线 C 的离心率【解答】解：设|PF2|=t，则|PF1|=3t，3tt=2a，t=a，由余弦定理可得 cosF1PF2=，=a2，3aa=a2，c=a，e=故选 D 11【考点】球的体积和表面积【分析】求出PAD 所在圆的半径，利用勾股定理求出球 O 的半径 R，即可求出球 O 的表面积【解答】解：令PAD 所在圆的圆心为 O1，则圆 O1的半径 r=，因为平面 PAD底面 ABCD，所以 OO1=AB=2，所以球 O 的半径 R=，所以球 O 的表面积=4R2=故选：D 12【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的斜率 -10-/13 【分析】函数 y=2sinx（x0，）在点 P 处的切线与函数 g（x）=2（+1）在点 Q 处切线平行，对两个函数分别求导，根据导数与斜率的关系，进行求解；【解答】解：函数 y=2sinx（x0，），y=2cosx，2y2，g（x）=2，此时 x=1，函数 y=2sinx（x0，）在点 P 处的切线与函数 g（x）=2（+1）在点 Q 处切线平行，y=g（x）=2，可得 P（0，0），Q（1，），直线 PQ 的斜率 kPQ=，故选：C 二、填空题 13【考点】进行简单的合情推理【分析】运用反证法，假设结论成立，再经过推理与证明，即可得出正确的结论【解答】解：假设甲说的是实话，则“是乙不小心闯的祸”正确，丙、丁说的都是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；假设乙说的是实话，则“是丙闯的祸”正确，丁说的也是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误；假设丙说的是实话，则“乙说的不是实话”正确，甲、乙、丁说的都是不实话，得出丁闯的祸，符合题意；假设丁说的是实话，则“反正不是我闯的祸”正确，甲、乙、丁中至少有一人说的是实话，这与四个小朋友中只有一个人说了实话矛盾，假设错误 故答案为：丙 14【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，-11-/13 联立，解得 A（4，2），化目标函数 z=x2y 为 y=，由图可知，当直线 y=过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 0.故答案为：0.15【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆相交的性质【分析】根据直线与圆相切的性质可求 PA=PB，及APB，然后代入向量数量积的定义可求【解答】解：连接 OA，OB，PO 则 OA=OB=1，PO=，2，OAPA，OBPB，RtPAO 中，OA=1，PO=2，PA=OPA=30，BPA=2OPA=60 =故答案为：16【考点】抛物线的简单性质 -12-/13 【分析】分别过 A、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将 A、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形 ADC 中求线段 PF 长度即可得 p 值，进而可得方程【解答】解：如图过 A 作 AD 垂直于抛物线的准线，垂足为 D，过 B 作 BE 垂直于抛物线的准线，垂足为 E，P 为准线与 x 轴的焦点，由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，|BC|=2|BF|，|BC|=2|BE|，DCA=30|AC|=2|AD|=8，|CF|=84=4，|PF|=|CF|2，即 p=|PF|=2，故答案为：2 三、解答题 17【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（）根据正弦定理进行转化即可求的值；（）若 a=1，c=，根据三角形的面积公式即可求ABC 的面积 18【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（）把 Sn+1+Sn1=2Sn+1 整理为：（sn+1sn）（snsn1）=1，即 an+1an=1 即可说明数列an为等差数列；再结合其首项和公差即可求出an的通项公式；（）因为数列bn的通项公式为一等差数列乘一等比数列组合而成的新数列，故直接利用错位相减法求和即可 19【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质【分析】（）连结 OC，则 OCAB，从而得到 OCOF，进而得到 OFOE，由此能证明 OEFC （）由（I）得 AB=2AF不妨设 AF=1，AB=2 建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可 20.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（1）利用已知条件求出椭圆方程中的几何量，即可求椭圆 C 的方程；（2）利用直线的斜率存在与不存在，分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，以及弦长公式表示弦长|AB|通过基本不等式求解弦长的最大值 -13-/13 21【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出 f（x）的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得 a=1，求导数，求单调区间和极值，令 m1m+1，解不等式即可得到取值范围；（2）不等式即为，令 g（x）=，通过导数，求得，令 h（x）=，运用导数证得 h（x）h（1）=，原不等式即可得证 22【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）求出曲线 C 的普通方程为（x3）2+（y1）2=5，即可将代入并化简，求曲线C 的极坐标方程；（2）直角坐标方程为 yx=1，求圆心 C 到直线的距离，即可求出直线被曲线 C 截得的弦长 23【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由条件利用基本不等式求得+4，结合题意可得|xa|3x+2|4 恒成立令 g（x）=|xa|3x+2|，利用单调性求得它的最大值，再由此最大值小于或等于 4，求得 a 的范围