湖南省衡阳八中2020-2021学年高二下学期第一次九科联赛-数学-Word版含答案.docx

衡阳市八中2021年高二第一次九科联赛
数 学 试 题
命题人：刘 喜 审题人：谷中田
（请留意：时量120分钟 满分120分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，，则( C )
A． B. C. D.
2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ D ）

A． ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
3．的值为（ A ）
A． B. C. D.
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是
，则a等于(　D　)
A． 10.5　　 　B. 5.15　　 　 C. 5.2　　　 D. 5.25
5．若圆关于直线：对称，则直线的斜率是（A ）
A． B. C. D.
6． 在等比数列的值为（ C ）
A． 1 B. 2 C. 3 D. 9
7．阅读下图所示的程序框图，若输入的分别为21，32，75，则
输出的分别是（A ）
A．75，21，32 B. 21，32，75 C. 32，21，75 D. 75，32，21
8．若偶函数满足，则不等式的解集是( D )
A． B. C. D.
9．在四边形中，，,则该四边形的面积为（ D ）.
A． B. C. 5 D. 15
10．变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解有很多个，则实数的取值集合是（ B ）
A． B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为BC、C1C的中点，
那么异面直线MN与AC所成的角等于_________
12．在等比数列中，，公比，若，则的值为 ．7
13．将二进制数101 101(2)化为八进制数，结果为__________．
14．已知函数在上为奇函数，则_________,-1
15．已知函数上为增函数，则实数的取值范围是 . [1，2]
三、解答题(本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
16．（本小题满分6分）为了了解高一同学的体能状况，某校抽取部分同学进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，其次小组频数为12.
（Ⅰ）其次小组的频率是多少？样本容量是多少？
（Ⅱ）若次数在110以上（含110次）为达标，试估量该学校全体高一同学的达标率是多少？
解: （Ⅰ）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，
因此其次小组的频率为：=0.08.
又由于频率=，所以样本容量===150.
（Ⅱ）由图可估量该学校高一同学的达标率约为
×100%=88%.
17．（本小题满分8分）在中，内角对边分别为，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的值.
解：（Ⅰ）由于，由正弦定理
得：，,由于，所以
（Ⅱ）由于 ①
由余弦定理得 ②
由①②得。
18、（本小题满分8分）如图，在正方体中，M为的中点，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的表面积和体积.
解:
（Ⅰ）连结BD交AC于O，连结OM，证明即可。
（Ⅱ）体积为，表面积为
19．（本小题满分8分）已知二次函数的最小值为1，且,
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在区间上，的图像恒在的图像上方，试确定实数的取值范围．
解析：（1）设 则，
∴ ∴ ∴．
（2）由（1）知图象的对称轴为直线，∴ 即．
（3） 时，恒成立，
即在时恒成立。
∴
即

20．（本小题满分10分）已知圆C的方程
（Ⅰ）若点在圆C的内部,求m的取值范围；
（Ⅱ）若当时
①设为圆C上的一个动点，求的最值；.
②问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
解：（1）,∴m>-5.
又有 点A（m，-2）在圆C的内部，可得 ，即：

（2）①当m=4时，圆C的方程即，而表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，由于|HC|==5，故的最大值为 （5+3）2=64，的最小值为 （5-3）2=4．
②法一：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点即N,以AB为直径的圆经过原点，∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，
∴|AN|=.又|ON|=由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.
∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1．
法二：假设存在直线l，设其方程为：
由得： ①
设A（），B（）
则： ∴

又∵OA⊥OB∴ ∴
解得b=1或 把b=1和分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或
∴存在满足条件的直线方程是：
四、附加题(本大题共2小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
21. (文科●本题满分8分)已知函数f(x)=()．
（Ⅰ）求函数f(x)的周期和递增区间；
（Ⅱ）若函数在[0，]上有两个不同的零点，求m的取值范围．
解：(1)∵f(x)=()．
由()，∴函数
f(x)的周期为，递增区间为[，]()；
(2)∵方程同解于；
在直角坐标系中画出函数f(x)=在[0，]上的图象(图象省略)，由图象可知，当且仅当，时，方程在[0，]上有两个不同的解．
22.（文科●本小题满分12分）已知数列满足且。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求实数，使得且为等差数列；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下求数列的前n项和.
解：(1)当n=2时，，当n=3时，
，.
（2）当时，
.
要使为等差数列，则必需使1+2t=0, ,
即存在，使为等差数列.
(3) 由于当t= -1/2时，为等差数列，且，
所以 ，所以 ，
于是，

令 ①
　　　　②
①—②得
化简得 ∴
21. （理科●本小题满分8分）“ALS冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动，活动规定：被邀请者要么在24小时内接受挑战，要么选择为慈善机构捐款（不接受挑战），并且不能重复参与该活动.若被邀请者接受挑战，则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容，然后便可以邀请另外3个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，且互不影响.
（Ⅰ）若某被邀请者接受挑战后，对其他3个人发出邀请，则这3个人中至少有2个人接受挑战的概率是多少？
（Ⅱ）假定（Ⅰ）中被邀请到的3个人中恰有两人接受挑战.依据活动规定，现记为接下来被邀请到的6个人中接受挑战的人数，求的分布列和均值（数学期望）.
解：解法一：
（Ⅰ）这3个人接受挑战分别记为、、，则分别表示这3个人不接受挑战．
这3个人参与该项活动的可能结果为：，，，，，，，．共有8种；
其中，至少有2个人接受挑战的可能结果有：，，，，共有4种． 依据古典概型的概率公式，所求的概率为．
（Ⅱ）由于每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．
所以，，
，，
，，

故的分布列为：

所以．
故所求的期望为．
解法二：由于每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的，
所以每个人接受挑战的概率为，不接受挑战的概率也为．
（Ⅰ）设大事M为“这3个人中至少有2个人接受挑战”，
则．
（Ⅱ）由于为接下来被邀请的6个人中接受挑战的人数，所以．
所以，，
，，
，，

故的分布列为：
所以．故所求的期望为．

22. （理科●本小题满分12分）求解下列问题：
（Ⅰ）已知，，求的最小值；
（Ⅱ）已知，求函数的最小值；
（Ⅲ）已知正数，，，，
求证：
（Ⅰ）解：（法一），
而，当且仅当时取到等号，则，
即的最小值为.
（法二） 由柯西不等式可得：

当且仅当时取到等号，则，
即的最小值为.
（Ⅱ）解：（法一），
而，，
当且仅当，即时取到等号，则，
所以函数的最小值为.
（法二） 由柯西不等式可得：

当且仅当，即时取到等号，则，
所以函数的最小值为.

（Ⅲ）证明：
（法一）

当且仅当时取到等号，则.
（法二） 由柯西不等式可得：
当且仅当时取到等号，则.