2020-2021学年新课标B版数学选修1-2-模块综合测评2.docx

模块综合测评(二)　选修1－2(A版)
(时间：90分钟　满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题，共50分)
一、选择题：本大题共10小题，共50分．
1．若z1＝(1＋i)2，z2＝1－i，则等于(　　)
A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
解析：z1＝(1＋i)2＝2i，z2＝1－i，
＝＝＝＝－1＋i.
答案：B
2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“P·Q·R>0”是“P，Q，R同时大于0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：必要性明显成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种状况．假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数冲突．同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的状况亦得出冲突，故P，Q，R同时大于0，所以选C.
答案：C
3．在一个2×2列联表中，由其数据计算得到K2的观测值k＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为(　　)
A．99.9% B．95%
C．90% D．0
解析：∵13.097>10.828，∴有99.9%的把握认为两个变量有关系．
答案：A
4．设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)
A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1
C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3
解析：＝1＋i，则1＋2i＝(1＋i)(a＋bi)＝(a－b)＋(a＋b)i，
∵a，b∈R，∴解得
答案：A
5．在一次试验中，当变量x的取值分别为1、、、时，变量y的值依次为2、3、4、5，则y与x之间的回归曲线方程为(　　)
A.＝x＋1 B.＝2x＋1
C.＝＋3 D.＝＋1
解析：把变量x的值代入验证知，回归曲线方程为＝＋1.
答案：D
6．若关于x的一元二次实系数方程x2＋px＋q＝0有一个根为1＋i(i为虚数单位)，则p＋q的值是(　　)
A．－1 B．0
C．2 D．－2
解析：把1＋i代入方程得(1＋i)2＋p(1＋i)＋q＝0，
即2i＋p＋pi＋q＝0，即p＋q＋(p＋2)i＝0，
∵p，q为实数，∴p＋q＝0.
答案：B
7．满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是(　　)
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
解析：|z－i|＝|3－4i|＝5，
∴复数z对应点到定点(0,1)的距离等于5，故轨迹是个圆．
答案：C
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2·an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4猜想an等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵a1＝1，Sn＝n2·an，
∴a1＋a2＝22·a2，⇒a2＝；
由a1＋a2＋a3＝32·a3，得a3＝；
由a1＋a2＋a3＋a4＝42·a4，得a4＝，…，
猜想an＝.
答案：B
9．在流程图中，一个算法步骤到另一个算法步骤的连接用(　　)
A．连接点 B．推断框
C．流程线 D．处理框
答案：C
10．已知下表：
a1
a2　a3
a4　a5　a6
…
则a81的位置是(　　)
A．第13行第2个数 B．第14行第3个数
C．第13行第3个数 D．第17行第2个数
解析：第n行最终一项为，故当n＝13时，有a91，所以a81是第13行第3个数．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共70分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．观看数列，3，，，3，…，写出数列的一个通项公式an＝__________.
解析：观看数列，，，，，…，
被开方数3,9,15,21,27，…，
成等差数列，通项为3＋(n－1)×6＝6n－3，故an＝(n∈N*)．
答案：(n∈N*)
12．设θ∈，当θ＝____________时，z＝1＋sinθ＋i(cosθ－sinθ)是实数．
解析：若z为实数，则cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，
∵θ∈，∴θ＝，或θ＝.
答案：或
13．若f(a＋b)＝f(a)·f(b)，(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则＋＋＋＋＝________.
解析：由f(a＋b)＝f(a)·f(b)可知，对∀n∈N*有f(n＋1)＝f(n)f(1)＝f(n)·2，
∴＝2，
∴＋＋＋＋＝10.
答案：10
14．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
…　…　…　…　…　…
依据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是__________．
解析：排列规律是第n行有n个正整数，前n－1行共有1＋2＋…＋(n－1)＝个正整数，因此第n(n≥3)行左起第3个数是＋3＝.
答案：
三、解答题：本大题共4小题，满分50分．
15．(12分)某人酷爱买彩票，一次他购买了1 000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1 500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的争辩是否对中奖产生了较大的影响？
解：依据题意可知购买1 000注的彩票，中奖50注，未中奖的有950注；购买1 500注彩票，中奖75注，未中奖的有1 425注．列出对应的2×2列联表如下：

中奖注数
未中奖注数
总计
未分析
50
950
1 000
分析后
75
1 425
1 500
总计
125
2 375
2 500
假设H0：对彩票号码的争辩与中奖无关．(6分)
由表中数据，得K2的观测值为
k＝＝0.(8分)
由于0<2.706，所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关．(12分)
16．(12分)已知f(z)＝|1＋z|－，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.
解：f(z)＝|1＋z|－，f(－z)＝|1－z|＋，
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.(4分)
由f(－z)＝10＋3i，得
|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，
∴
解方程组得(10分)
∴复数z＝5－3i.(12分)
17．(12分)设函数y＝f(x)定义在R上，对任意实数m，n，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1.
(1)求证：f(0)＝1，且当x<0时，f(x)>1；
(2)证明：f(x)在R上是减函数．
证明：(1)∵对m，n∈R，恒有
f(m＋n)＝f(m)·f(n)，
∴令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
又0<f(1)<1，∴f(0)＝1.(3分)
当x<0时，－x>0，从而
f(0)＝f(x－x)＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)＝.
∵－x>0，∴0<f(－x)<1，从而f(x)>1.
(6分)
(2)任取x1，x2∈R，且x1<x2，
∴x2－x1>0，故0<f(x2－x1)<1，
即0<f(x2)·f(－x1)<1.
又f(0)＝f(x1－x1)＝f(x1)·f(－x1)＝1，
∴f(－x1)＝.(8分)
又当x∈R时，f(x)>0，
∴0<<1，
∴f(x2)<f(x1)，即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在R上是减函数．(12分)
18．(14分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应当抽取几名？
(3)在上述抽取的5名观众中，任取2名，求恰有一名观众的年龄为20至40岁的概率．
解：(1)由于在20岁至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名收看新闻节目，所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．(4分)
(2)应抽取大于40岁的观众人数为×5＝3(名)．(8分)
(3)用分层抽样方法抽取的5名观众中，20岁至40岁的有2名(设为y1，y2)，大于40岁的有3名(设为A1，A2，A3).5名观众中任取2名，共有10种不同的取法：y1y2，y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3，A1A2，A1A3，A2A3.
设A表示随机大事“5名观众中任取2名，恰有一名年龄在20岁至40岁”，则A中的基本大事有6种：
y1A1，y1A2，y1A3，y2A1，y2A2，y2A3.
故所求的概率为P(A)＝＝0.6.(14分)