高中数学(北师大版)必修五教案：2.3-典型例题：应用举例2.docx

应用举例
利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的学问，例析如下：
一、测量问题
例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，
∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度．

分析：求河的宽度，就是求△ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定．
解析：由正弦定理得，∴AC=AB=120m，
又∵，解得CD=60m．
点评：虽然此题计算简洁，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”．
二、遇险问题
例2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北．若此灯塔四周10海里内有暗礁，问此舰艇连续向东航行有无触礁的危急？

解析：如图舰艇在A点处观测到灯塔S在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B点，测得S在东30°北的方向上． 在△ABC中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S作SC⊥直线AB，垂足为C，则SC=15sin30°=7．5．
这表明航线离灯塔的距离为7．5海里，而灯塔四周10海里内有暗礁，故连续航行有触礁的危急．
点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）精确     理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所争辩问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．
三、追击问题
例3、如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？

解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇．
在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β．
∴α=180°－45°－15°=120°．依据余弦定理，
，，（4t－3）（32t+9）=0，
解得t=，t=（舍）∴AC=28×=21 n mile，BC=20×=15 n mile．
依据正弦定理，得，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin，又＜＜，∴arcsin＜，∴甲船沿南偏东－arcsin的方向用h可以追上乙船．
点评：航海问题常涉及到解三角形的学问，本题中的 ∠ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关．这样依据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值．
四、最值问题
例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为，半径为a的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？
分析：从实际动身，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法．一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种状况下的最大值，再比较结果的出最佳方案．
解：方案一，

如图1，矩形有两个顶点在半径OA上，设∠AOP =，则PM = a·sin，
∵扇形中心角为，∴∠PQO =，由正弦定理，得：=，
即PQ =·a·sin（－），
∴矩形的MPQR的面积为：S=PM·PQ =·a·sin·sin（－） =·a[cos（－）－cos]≤·a·（1－） =a，
当=时，cos（－） = 1，S取得最大值a．
方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA、OB上，
设∠AOM =，∠MRA =×=，∠MRO =，由正弦定理，得：=，
即RM = 2a·sin，
又=，∴OR = 2a·sin（－），∴矩形的MPQR的面积为：
S= MR·PQ = 4a·sin·sin（－） = 2a·[cos（－）－cos]
≤2a·（1－） = （2－）a．
即在此状况下，∠AOM ==时，可求出M点，然后作出MPQR面积为最大．
由于S－S=a－（2－）a=（－12）＞0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即∠AOP ==，使P取在AB弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR，即为最大矩形．