2020-2021学年高中数学人教版通用选修2-2双基限时练4.docx

双基限时练(四)
1．下列各式中正确的是(　　)
A．(sina)′＝cosa(a为常数)
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－x－6
答案　C
2．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则其切线方程有(　　)
A．1条　　　　　　　　 B. 2条
C．3条 D．不确定
解析　令f′(x)＝3x2＝1，得x＝±，
∴切线斜率为1的点有两个，故有两条．
答案　B
3．函数y＝cosx在x＝处的切线的斜率为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴k＝y′|x＝＝－sin＝－.
答案　D
4．曲线y＝在点(1,1)处的切线方程为(　　)
A．y＝x＋1 B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝－x＋
解析　∵y＝＝x，∴y′＝x－.∴k＝y′|x＝1＝.故切线方程为y－1＝(x－1)，即y＝x＋.
答案　C
5．已知f(x)＝xn.若f′(－1)＝－4，则n的值为(　　)
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析　∵f(x)＝xn，f′(x)＝nxn－1，
∴f′(－1)＝n(－1)n－1＝－4.∴n＝4.
答案　A
6．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．
解析　∵y＝ex，∴y′＝ex.
设切点为(x0，y0)，切线方程为y＝kx，
则
∴x0＝1，y0＝e.故切点(1，e)，k＝e.
答案　(1，e)　e
7．已知函数f(x)＝f′cosx＋sinx，则f的值为________．
解析　∵f(x)＝f′cosx＋sinx.f′为常数，
∴f′(x)＝－f′sinx＋cosx，
∴f′＝－f′×＋，得f′＝－1.
∴f(x)＝(－1)cosx＋sinx.
∴f＝(－1)×＋＝1.
答案　1
8．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.
解析　f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0.解得x＝－或x＝1，又x>0，∴x＝1.
答案　1
9．已知曲线y＝x3－3x，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．
解　设切点为(x1，y1)，则切线的斜率
k＝y′x＝x1＝3x－3，
∴切线方程为y＝(3x－3)x＋16.
又切点在切线上，
∴y1＝(3x－3)x1＋16.
∴x－3x1＝(3x－3)x1＋16，解得x1＝－2.
∴切线方程为y＝9x＋16，
即9x－y＋16＝0.
10．证明：过曲线y＝上的任何一点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．
证明　由y＝，得y′＝－.
∴k＝f′(x0)＝－.∴过点P(x0，y0)的切线方程为y－y0＝－(x－x0)．
令x＝0，得y＝y0＋＝；
令y＝0，得x＝2x0.
∴过点P(x0，y0)(x0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×2x0×＝2是一个常数．
11．在曲线y＝(x<0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．

解　由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x<0)相切的切点即为所求．
设切点P(x0，y0)，由y′＝－，得k＝y′|x＝x0＝－，
又x＋2y－4＝0的斜率为－，
∴－＝－，∴x0＝，或x0＝－.
∵x<0，∴x0＝－.y0＝－＝－.
∴P(－，－)为所求．
12．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求：
(1)过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；
(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解　(1)∵y′＝2x，且P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点，
∴过点P的切线的斜率为k1＝y′|x＝－1＝－2.
过点Q的切线的斜率为k2＝y′|x＝2＝4.
故过点P的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，
即2x＋y＋1＝0.
过点Q的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x)，
则y′|x＝x0＝2x0，又直线PQ的斜率k＝＝1，
∴2x0＝1，x0＝.故切点坐标为.
故平行于PQ的切线方程为y－＝x－，
即4x－4y－1＝0.