《导学案》2021版高中数学(人教A版必修5)教师用书：1.5应用举例(二)-练习-.docx

1.在△ABC中,A=60°,b=1,面积为,则等于(　　).
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】由S=bcsin A,得c=4.又a2=b2+c2-2bccos A,解得a=.
所以==.
【答案】A
2.在△ABC中,内角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知c=2,C=,S△ABC=,则△ABC的周长为(　　).
A.6 B.5 C.4 D.4+2
【解析】由S△ABC=absin=ab=,得ab=4.
依据余弦定理知4=a2+b2-2abcos=(a+b)2-3ab,
所以a+b=4.故△ABC的周长为a+b+c=6.
【答案】A
3.在△ABC中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A=　　　　. 
【解析】∵(a+b+c)(b+c-a)=(b+c)2-a2=3bc,
∴b2+c2-a2=bc,cos A==,A=60°.
【答案】60°
4.在△ABC中,已知A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积.
【解析】由正弦定理可得:=,
∴sin C===.
∵A=120°,∴cos C==,
∴sin B=sin(180°-A-C)=sin(60°-C)=×-×=,
∴S=AB·BCsin B=×5×7×=.

5.若△ABC的三边长为a,b,c,它的面积为,那么内角C等于(　　).
A.30° B.45° C.60°　　　　 D.90°
【解析】S△ABC=absin C=,∴sin C==cos C,又∵C为△ABC的内角,∴C=30°.
【答案】A
6.在△ABC中,假如abcos C+bccos A+cacos B=c2,则△ABC的面积是(　　).
A.ab B.bc
C.ca D.(a2+b2+c2)
【解析】由余弦定理,得a2+b2=c2,则△ABC的面积是ab.
【答案】A
7.锐角△ABC中,若C=2B,则的范围是　　　　. 
【解析】由锐角三角形条件可知:

∴30°<B<45°,又依据正弦定理得:===2cos B,∴=2cos B∈(,).
【答案】(,)
8.在△ABC中,A,B为锐角,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且cos 2A=,sin B=.
(1)求A+B的值;
(2)若a-b=-1,求a,b,c的值.
【解析】(1)∵A、B为锐角,sin B=,
∴cos B==,
又cos 2A=1-2sin2A=,∴sin A=,cos A==,
∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=×-×=.
∵0<A+B<π,∴A+B=.
(2)由(1)知C=,∴sin C=.
由正弦定理==得:
a=b=c,即a=b,c=b,
∵a-b=-1,∴b-b=-1,∴b=1,
∴a=,c=.

9.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,cos A=,b=,则△ABC的面积为　　　　. 
【解析】∵cos A=,∴sin A=,
∴sin C=sin(A+B)=×+×=.
又由正弦定理,得a==,
∴S△ABC=absin C=×××=.
【答案】
10.在△ABC中,已知=,且cos(A-B)+cos C=1-cos 2C.
(1)试确定△ABC的外形;
(2)求的取值范围.
【解析】(1)设△ABC的外接圆半径为R,依据正弦定理得sin A=,sin B=,
代入=,得=,
∴b2-a2=ab.　①
∵cos(A-B)+cos C=1-cos 2C,
∴cos(A-B)-cos(A+B)=2sin2C,
∴sin Asin B=sin2C.
由正弦定理,得·=()2,∴ab=c2.　②
把②代入①得,b2-a2=c2,即a2+c2=b2,
∴△ABC是直角三角形.
(2)由(1)知B=,∴A+C=,∴C=-A,
∴sin C=sin(-A)=cos A.
依据正弦定理,==sin A+cos A=sin(A+).
∵0<A<,∴<A+<,
∴<sin(A+)≤1,
∴1<sin(A+)≤ ,
即的取值范围是(1,].