2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练26.docx

双基限时练(二十六)　两角和与差的正弦、余弦函数
一、选择题
1．cos80°cos20°＋sin80°sin20°的值为(　　)
A. B.
C. D．－
解析　cos80°cos20°＋sin20°sin80°＝cos60°＝.
答案　C
2．设α∈，sinα＝，则cos的值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　∵α∈，sinα＝，cosα＝，cos＝cosαcos－sinαsin＝，故选B.
答案　B
3．对任意的锐角α，β，下列不等关系中肯定成立的是(　　)
A．sin(α＋β)>sinα＋sinβ
B．sin(α－β)>sinα－sinβ
C．cos(α＋β)<cosα＋cosβ
D．cos(α－β)<cosα－cosβ
解析　α，β为任意锐角，在(0，π)上余弦函数是减函数，明显cosα>0，cosβ>0，cos(α＋β)<cosα，所以C肯定成立．
答案　C
4.sin15°－cos15°的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析　原式＝－＝－cos(30°＋15°)＝－cos45°＝－.
答案　B
5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC是(　　)
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
解析　由条件知：2cosBsinA＝sin(A＋B)，即2cosBsinA＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.∴A＝B.故选C.
答案　C
6．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于(　　)
A．－ B.
C．－7 D．7
解析　由sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，得
sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①
sinαcosβ－cosαsinβ＝.②
①＋②，得sinαcosβ＝；
①－②，得cosαsinβ＝－.
所以＝＝－7.
答案　C
7．函数y＝cos＋cos2x的最小正周期为(　　)
A. B．π
C．2π D．4π
解析　y＝cos＋cos2x＝coscos2x＋sinsin2x＋cos2x＝cos2x＋sin2x＝sin，周期T＝π.
答案　B
二、填空题
8．sin105°的值为________．
解析　sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝×＋×＝.
答案　
9．sin－cos＝________.
解析　sin－cos＝2sin＝－2sin＝－.
答案　－
10．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝，则cos(α－β)＝________.
解析　由|a－b|＝知，(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝，即2－2cos(α－β)＝，cos(α－β)＝.
答案　
三、解答题
11．已知A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，求A＋B的值．
解　∵A、B均为钝角且sinA＝，sinB＝，
∴cosA＝－＝－，
cosB＝－＝－3.
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－×－×＝.
又∵<A<π，<B<π，∴π<A＋B<2π.
∴A＋B＝.
12．已知<α<，0<β<，cos＝，
sin＝，求sin(α＋β)的值．
解　由于<α<，0<β<，
所以－<－α<0，<＋β<π.
所以sin＝－，cos＝－，所以sin(α＋β)＝－cos＝－cos
＝－coscos－sinsin
＝×－×＝.
13．已知a＝(，－1)，b＝(sinx，cosx)，x∈R，
f(x)＝a·b，
(1)求f(x)的表达式；
(2)求函数f(x)的周期、值域、单调区间．
解　(1)f(x)＝a·b＝(，－1)·(sinx，cosx)
＝sinx－cosx(x∈R)．
(2)f(x)＝sinx－cosx
＝2
＝2＝2sin.
∴T＝＝2π，值域[－2,2]，
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
由＋2kπ≤x－≤π＋2kπ，得f(x)的单调减区间为(k∈Z)．