2021高中数学(人教A版)选修2-3课时作业21.docx

课时作业(二十一)
1．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　)
A．0.6和0.7　　　　　　 B．1.7和0.09
C．0.3和0.7 D．1.7和0.21
答案　D
解析　E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于(　　)
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
答案　B
解析　E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝(－1＋0.3)2×0.5＋(0＋0.3)2×0.3＋(1＋0.3)2×0.2＝0.61.
3．设X～B(n，p)，且E(X)＝12，D(X)＝4，则n与p的值分别为(　　)
A．18，　　　 B．12，
C．18， D．12，
答案　C
4．D(ξ－D(ξ))的值为(　　)
A．无法求 B．0
C．D(ξ) D．2D(ξ)
答案　C
解析　D(ξ)为一常数，利用性质D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
5．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：

ξ
0
1
2
3
P
0.7
0.1
0.1
0.1

η
0
1
2
P
0.5
0.3
0.2

据此判定(　　)
A．甲比乙质量好 B．乙比甲质量好
C．甲与乙的质量相同 D．无法判定
答案　A
解析　∵E(ξ)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
E(η)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＝0.7，
由于E(ξ)<E(η)，即甲生产的次品数平均值比乙生产的次品数少，故选A.
6．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝，P(ξ＝X2)＝，且X1<X2，又已知E(ξ)＝，D(ξ)＝，则X1＋X2的值为(　　)
A. B.
C．3 D.
答案　C
解析　X1、X2满足

解得或
∵X1<X2，∴X1＝1，X2＝2，∴X1＋X2＝3.
7．设ξ～B(n，p)，则有(　　)
A．E(2ξ－1)＝2np
B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1
C．E(2ξ＋1)＝4np＋1
D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)
答案　D
解析　∵ξ～B(n，p)，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)，
∴E(2ξ－1)＝2E(ξ)－1＝2np－1，E(2ξ＋1)＝2np＋1，
D(2ξ－1)＝4np(1－p)，D(2ξ＋1)＝4np(1－p)．
8．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝，则σ(X3)的值是(　　)
A．0.5 B.
C. D．3.5
答案　C
解析　∵X1～B(n,0.2)，∴E(X1)＝0.2n＝2.
∴n＝10，又X2～B(6，p)，
∴D(X2)＝6p(1－p)＝，∴p＝.
又X3～B(n，p)，∴X3～B(10，)．
∴σ(X3)＝＝＝.
9．若大事在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该大事在一次试验中发生的概率为________．
答案　0.5
解析　在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ听从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)，所以p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
10．已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.
X
－1
0
1
2
P
a
b
c

答案　　
解析　⇒
11．变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝，则D(ξ)的值是________．
答案　
解析　由a，b，c成等差数列可知2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝，a＋c＝.
又E(ξ)＝－a＋c＝，∴a＝，c＝.
故分布列为
ξ
－1
0
1
P

∴D(ξ)＝(－1－)2×＋(0－)2×＋(1－)2×＝.
12．设投掷一个骰子的点数为随机变量X，则σ(X)＝________.
答案　
解析　依题意X的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P

∴E(X)＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5，
D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝1×＋4×＋9×＋16×＋25×＋36×－()2＝.
∴σ(X)＝＝.
13．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．
(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；
(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．
解析　(1)X听从两点分布，
X
0
1
P

∴E(X)＝p＝.
D(X)＝p(1－p)＝×(1－)＝.
(2)由题意知，X～B(10，)．
∴E(X)＝np＝10×＝5，
D(X)＝npq＝10××(1－)＝.
14．有甲、乙两个建材厂，都想投标参与某重点建设项目，为了对重点建设项目负责，政府到两建材厂抽样验查，他们从中各取等量的样本检查它们的抗拉强度指数如下：
ξ
110
120
125
130
135
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
η
100
115
125
130
145
P
0.1
0.2
0.4
0.1
0.2
其中ξ和η分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性好．
解析　E(ξ)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(η)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，
D(ξ)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝50，
D(η)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，
由于E(ξ)＝E(η)，D(ξ)<D(η)，故甲厂的材料稳定性较好．
►重点班选做题
15．已知随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，随机变量Y＝，则D(Y)的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D.
答案　C
解析　∵E(X)，均为常数，
∴D(Y)＝D()＝·D(X)＝1.
16．设p为非负实数，随机变量X的概率分布为：
X
－1
0
1
P
－p
p

求E(X)与D(X)的最大值．
解析　依据题意，得解得0≤p≤.
由于E(X)＝－1×(－p)＋0×p＋1×＝p，
所以当p＝时，E(X)取得最大值，为.
由于D(X)＝(－1－p)2(－p)＋(0－p)2p＋(1－p)2×＝－p2－p＋1＝－(p＋)2＋，故当p＝0时，D(X)取得最大值，为1.