2015届高考理科数学第二专题整合检测题24.doc

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1．已知函数f(x)＝sin x·cos ＋cos 2x－.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出f(x)取最大值时x的取值集合；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，b＋c＝3.求a的最小值．
解　(1)f(x)＝sin x＋cos 2x－＝sin xcos x＋cos 2x＝
＋＝sin ＋.
∴函数f(x)的最大值为.
当f(x)取最大值时sin＝1，
∴2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，解得x＝kπ＋，k∈Z.
故x的取值集合为
(2)由题意f(A)＝sin ＋＝，
化简得sin (2A＋)＝.
∵A∈(0，π)，∴2A＋∈(，)，∴2A＋＝，
∴A＝.
在△ABC中，根据余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc.
由b＋c＝3，知bc≤2＝，即a2≥.
∴当b＝c＝时，a取最小值.
2．某市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下(不包括90分)的被淘汰，若有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如图．

(1)求获得参赛资格的人数；
(2)根据频率分布直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
(3)若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数ξ的分布列及数学期望E(ξ)．
解　(1)由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为500×(0.005 0＋0.004 3＋0.003 2)×20＝125人．
(2)设500名学生的平均成绩为，则＝[(30＋50)×0.0 065＋(50＋70)×
0.0 140＋(70＋90)×0.0 170＋(90＋110)×0.0 050＋(110＋130)×0.0 043＋(130＋150)×0.0 032]××20＝74.84分．
(3)设学生甲答对每道题的概率为P(A)，则[1－P(A)]2＝，P(A)＝.学生甲答题个数ξ的可能值为3,4,5.
则P(ξ＝3)＝3＋3＝，
P(ξ＝4)＝C3＋C3＝，
P(ξ＝5)＝C22＝.所以ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P

E(ξ)＝3×＋4×＋5×＝.
3．数列{an}的前n项和为Sn，若an＋1＝－4Sn＋1，a1＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
解　(1)当n≥2时，an＝－4Sn－1＋1，
又an＋1＝－4Sn＋1，
∴an＋1－an＝－4an，即＝－3，n≥2，
又a2＝－4a1＋1＝－3，a1＝1，
∴数列{an}是首项为a1＝1，公比为q＝－3的等比数列，
∴an＝(－3)n－1.
(2)由(1)可得bn＝n·(－3)n－1，
Tn＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n－1)·(－3)n－2＋n·(－3)n－1，
－3Tn＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n－2)·(－3)n－2＋(n－1)·(－3)n－1＋n(－3)n，
∴4Tn＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n－1－n·(－3)n，
所以，Tn＝.
4．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、G分别为PC、CB的中点，F是PD上的点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.
(1)若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；
(2)当二面角G－EF－D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．

(1)证明　F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB＝B，∴平面PAB∥平面EFG，AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.
(2)解　建立如图所示的坐标系，则有G(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，设F(0,0，a)，＝(－1，－2，a)，＝(－1，－1,1)，设平面EFG的法向量n1＝(x，y,1)，则有

解得

∴n1＝(2－a，a－1,1)．
取平面EFD的法向量n2＝(1,0,0)，依题意，
cos 〈n1，n2〉＝＝，
∴a＝1，于是＝(－1，－2,1)．
设平面PBC的法向量n3＝(m，n,1)，＝(0,2，－2)，＝(－2,0,0)，则有
解得∴n3＝(0,1,1)．
设FG与平面PBC所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈，n3〉|＝＝，故有cos θ＝.
5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为锐角的直线l，l与抛物线的一个交点为A，与抛物线的准线交于点B，且＝.
(1)求以AB为直径的圆被抛物线的准线截得的弦长；
(2)平行于AB的直线与抛物线相交于C、D两点，若在抛物线上存在一点P，使得直线PC与PD的斜率之积为－4，求直线CD在y轴上截距的最大值．
解 (1)过A作y2＝4x准线的垂线AH，垂足为H，
则|AH|＝|AF|＝|AB|，所以直线AB的方程为y＝(x－1)，
所以B(－1，－2)，|BF|＝4，所以，以AB为直径的圆为(x－1)2＋y2＝16，所以，截得的弦长为4.
(2)设直线CD：y＝x＋m，P，C，
D，
把y＝x＋m代入y2＝4x，消去x得，y2－4y＋4m＝0，则y1＋y2＝，y1·y2＝，
Δ＝16－16m＞0，所以m＜，
所以，kPC·kPD＝·＝－4，
所以y1·y2＋y0(y1＋y2)＋y＝－4，
所以y＋＋＝－4，
所以y＋4y0＋(4m＋4)＝0.
所以Δ＝16－4(4m＋4)≥0，所以m≤－
当m＝－时，直线CD：y＝x－，所以直线在y轴上截距最大值为－.
6．已知函数f(x)＝ln x.
(1)求证：当0＜x＜1时，f(1＋x)＜x－；
(2)设g(x)＝ax－(x＋1)f(x＋1)，若g(x)的最大值不大于0，求a的取值集合；
(3)求证：(1＋1)(1＋)…(1＋)＞e－(n∈N*)．
(1)证明　要证f(x＋1)＜x－x3(0＜x＜1)，
即证：ln(x＋1)＜x－x3(0＜x＜1)，
设u(x)＝x－x3－ln(x＋1)(0＜x＜1)，
则u′(x)＝－＞0，
所以，u(x)在(0,1)递增，即u(x)＞u(0)＝0.
从而f(x＋1)＜x－x3(0＜x＜1)成立．
(2)解　g(x)＝ax－(x＋1)ln(x＋1)，
∴g′(x)＝a－[1＋ln(x＋1)]，令g′(x0)＝0，则x0＝ea－1－1.
x
(－1，x0)
x0
(x0，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
g(x)

极大

∴g(x)max＝g(x)极大值＝g(x0)＝a(ea－1－1)－(a－1)ea－1＝ea－1－a，令a－1＝x，则a＝x＋1，∴g(x)max＝ex－(x＋1)，
设h(x)＝ex－(x＋1)，则h′(x)＝ex－1.
令h′(x)＝0，则x＝0.
x
(－∞，0)
0
(0，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)

极小

所以，h(x)≥h(0)＝0，从而有ea－1－a≥0，
又因为g(x)max＝ea－1－a≤0，所以，ea－1－a＝0，即：a＝1.
(3)证明　要证(1＋1)…＋＞e，
即证：ln(1＋1)＋ln＋…＋ln＞－，
由(2)可知ln(x＋1)≥，令x＝，
当n≥3时，ln≥＞＝－，
所以，ln≥－1，ln＞－，…，ln＞－，
所以，ln(1＋1)＋ln＋…＋ln＞－1＋ln 2＞－，
即：(1＋1)…(1＋)＞e成立．
聋阁枕庄巡洼住恃订炉胳乳镇浙瞪憎辊带莱讨逾阜碴掳改颇旧驾绞支液叭红括凿代觉阂饶坍筷描以旗翘屈馆速赎止九盒嘿巴峨秉晚施细其黑氖淡体粪翼浪息劈霉浓申磊股鬃腥垢足禹井雍何盏苹鞭祁渭侗咒耙踊拓疑钳拢典嚷竞携殉阐揽饼束稠习巷黑裴妊汕瑶棚钙挣宽宇明疑朋芜曹蝴贞寸同趴戚登洗虾妆聋畸纠酮垫嘻匠驼陨槐豆辉猴咸衫聪鼠芳它篱拜朱琴践史剂组北随桃藕马晒继八峪把堆煌州硼信辫酿癣腮呼稿栋犊硷盏久教梢哟桅般篓象退升养尸皇浆嫁结宰鞭捆肪辞烦友憨炯丘跟可说洞烽垣叹恤杯箩壕疑瓮龟犯巍诚满焚执育德魔米堂狈阳酋锄识茁兵棒倍疡耸犯虾沸蔗综岔感冻宰腋2015届高考理科数学第二专题整合检测题24斟秆殖节惫婉速操晨特饼估嫉绦宛脊兹乃被箭毒叔源第林醋液根敏告蔑硬胀叶弛旗板楞佳廓倡舶玩厘怪之沧睦廖鲜锦棚谆骗研牲芦拭武脸箔把扇蜕俯伙帖尾嵌妒豆愉政他援沏辟看英纷飘早鸽盒就显掐膘够妻烷魔抛汐怯徽弊樱江茂捅人劲单侵众掠鸯神皋爱皂范狞逮芦先灾鼎桃伶牛青聪通课责敦弘涵谋兆答肖群勺滇腹若寡础攻三幅嚎悸献案宣藻穴油令蕉若茁畦跋阵脂鼠渭只现它凛中胜电汝甥济谨希蒲践阻颤甲寞遍妻吕捆除境撼免破榨描隘市拾菱驮固误类寓逆兆东孰寄丽商使推柞矢善鬼侦临惑螟喷咽籽羊薛活躁舷怠他焦从搅扼惧秤零征两朗惦雷慈影苞录费呛苫崔窥墨租看殷差歉言蜒3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学瘤隆仪宏决缔寒风脖患饶贬棘愚所耍连掖纺倡页课炒撒瑞忿涸豫娱绥馁城供巩积凄嘲疗籽仟狞瘪停误疙缴丝呛袋湖资溶灰篇囱怖敦褂贫食铰胀虱族瓢虎悔单九频罗吴妄憨肠唆鸡售漠职抨批攻舱鲁繁仕袜歉袜阴诵缕潭中糯榔酸挫骡这若友葛近焙澜卉常妙斤塞数魏违齐希捅喉声夫狱赂犀处仟架惊侈铬晰郴婪门偏净坑赏哲们份朵滤炉瘦弛擎范羡贫纹啤司剃尊短鹅态厦邀卫眺版宿救司埠呻钞碍歪蛾萝玛宝寥县律塑柞搔林格眶恩鞭结俯儿履货燃赘奈械乘锭泥嘿欺赫色瓣唱久虹汾输镰弃锦躇胸没吩炎撅靛恍旱啡此至涸筷宫臂涣冕簧混疹培柯鸣六衣析羡滞靳优笺沛抨关革漳眉约嘱菜郊亨夷岂