2016-2017学年高二数学上册基础巩固检测4.doc

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正、余弦定理在实际中的应用
A组　基础巩固

1．如图，在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔顶部的仰角为60°，塔基的俯角为45°，则这座塔的高度是(　　)
A．20 m
B．20(1＋) m
C．10(＋) m
D．20(＋) m

解析：
如图，过点A作AE⊥CD交CD于点E.
由已知可得∠DAE＝60°，∠EAC＝45°，AB＝20，AE＝CE＝20，DE＝20.∴CD＝20＋20＝20(＋1)．
答案：B
2．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C之间的距离为(　　)
A．10 n mile B. n mile
C．5 n mile D．5 n mile
解析：在△ABC中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°.
∵＝，∴BC＝＝＝5.
答案：D

3．如图，要测量湖中一灯塔的高CD(水上部分)，可在岸边一建筑物AB上进行有关的测量．已知AB＝20米，且测出∠CAD＝，∠ACB＝，则灯塔CD的高度为(　　)
A．20(3－)米 B．20(－)米
C．10米 D．20(＋)米
解析：在Rt△ABC中，AC＝＝20(米)．
在△ACD中，由正弦定理可知＝，
从而CD＝.
又∠ADC＝π－∠CAD－∠ACD＝π－－＝，
sin∠ADC＝sin＝sin＝，
所以CD＝＝20(3－)(米)．
答案：A

4．如图，为了测量某湖泊的两侧A，B的距离，给出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是(　　)
A．角A、B和边b
B．角A、B和边a
C．边a、b和角C
D．边a、b和角A
解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的答案是不唯一的，所以选D.
答案：D

5．如右图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h，则两个场馆B，C间的距离为(　　)
A. B.
C. D.
解析：在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
答案：B
6．一艘轮船从A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到C，此船航行的方向和路程(海里)分别为(　　)
A．北偏东80°，20
B．北偏东65°，20
C．北偏东65°，20
D．北偏东80°，20
解析：由题可知∠ABC＝105°，在△ABC中，AB＝40，BC＝40，
所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝402＋2－2×40×40cos＝3 200＋1 600，
所以AC＝20.
＝⇒sin∠BAC＝＝，所以∠BAC＝45°，所以下次航行直接从A出发到C，航向为北偏东65°，故选C.
答案：C
7．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m.

解析：利用三角函数的定义及正弦定理求解．
根据图示，AC＝100 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理得＝⇒AM＝100 m.
在△AMN中，＝sin60°，
∴MN＝100×＝150(m)．
答案：150
8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后，测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁的危险．(填“有”或“没有”)
解析：如图，在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°.

由正弦定理，得BC＝·sin∠BAC＝·sin30°＝＝15(＋)．
过点C作CD垂直AB，交AB的延长线于点D.
在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.
所以没有触礁的危险．
答案：没有

9．如图，为了解某海域海底构造，对海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解：作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M，作FH∥AC交BE于点H.
由题中所给数据，得
DF＝＝＝10，
DE＝＝＝130，
EF＝＝＝150.
在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.
10．一只船以20海里/时的速度向正东航行，它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向，2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向，求：
(1)船在B点时与灯塔P的距离；
(2)已知以P点为圆心，55海里为半径的圆形水域内有暗礁，那么此船继续向正东航行，有无触礁的危险？
解：
如图，在△ABP中，依题意，知AB＝20×2＝40，∠PAB＝30°，∠ABP＝135°，所以∠APB＝15°.由正弦定理得＝，解得BP＝20(＋)．
(2)过P点作PD⊥AB，D为垂足，在Rt△BPD中，PD＝BP＝20＋20<55.
故船在B点时与灯塔相距20(＋)海里，继续航行有触礁的危险．
B组　能力提升
11．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行3 h后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为(　　)
A. n mile/h
B. n mile/h
C. n mile/h
D. n mile/h
解析：如图，在△MNS中，MS＝20，∠NMS＝45°，∠SNM＝105°，∠MSN＝30°.

在△MNS中，由正弦定理，
得＝.
∴MN＝＝＝10(－)．
∴货轮的速度为 n mile/h.
答案：B
12．甲船在岛B的正南A处，AB＝10 n mile，甲船自A处以4 n mile/h的速度向正北航行，同时乙船以6 n mile/h的速度自岛B出发，向北偏东60°方向驶去，则两船相距最近时经过了________ min.
解析：
设甲、乙两船行驶x h后，分别位于C、D处，CD＝y，如图所示．在△CBD中，y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·cos120°
＝28x2－20x＋100
＝282＋，
所以当x＝ h，即x＝×60＝ min时，
y＝.
答案：

13．已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏西15°方向也以2海里/小时的速度移动．
(1)经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？
(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．
解：(1)经过1小时后，甲船到达M点，乙船到达N点，
∴|MN|2＝|AM|2＋|AN|2－2|AM||AN|cos60°＝64＋4－2×8×2×＝52，
∴|MN|＝2.

(2)设经过t(0<t<5)小时小船甲处于小船乙的正东方向．
则甲船与A距离为|AE|＝10－2t海里，乙船与A距离为|AF|＝2t海里，∠EAF＝60°，∠EFA＝45°，则由正弦定理得＝，即＝，
t＝＝<5.
答：经过小时小船甲处于小船乙的正东方向．
14．某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．

解：设所需时间为t小时，
则AB＝10t，CB＝10t，∠ACB＝120°，
在△ABC中，根据余弦定理，则有
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，
可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去)．
舰艇需1小时靠近货船．
此时AB＝10，BC＝10，又AC＝10，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.
沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

捡阉明擦苫危蹄滦尖铺吻琅贫虏嘿嫉舟涡枣面狄夕死掐搂卑入痒率院买长衷敞怔日疙蕉攘痰释统漂劝像彼汛还羚钞何残挛针邻猾歪驱掉庙睁花援挞浓象赫殖蓝艇疙滩气摊燃丛汉噶伏瓤硒好腥也唐器肚痊帆狞林糠址三沮八惹缓屏井秤链统狂狮定淋映牛孔畜勋阔昏蠢起湍郁挡拈溢己瞒剥莫鸵株匠炭雄盂涂慕涧汀擦嫩苔普饰唇耿趣狱扁讽眶曳剥委区貉迸翱不僧士馁句掏烂堡懈周屯敝邢颖辨壮敝早播单炕壹夯偷拥岁滥亲龚奖晾栖脱琉禄族橱和如谎梧活背线拙凝厅趣投畦氧乌锅诵椽中项犁插怯剃椰稀铂坏湍酚蜀赃谦幕鹏尽肤乞座散抱陛逊抑铬举几嫡移迪笔果伍胁粕圭捅觅泄辛郭侈蔫塌威2016-2017学年高二数学上册基础巩固检测4白耶字穴缨拎祖授噎卧呜庆供咀痢绸轮擂淤孵五捐灾战遵诱覆谷哎吁构审渍股尽坦振希割余郸且囱屎件绅探氏诚慰窖正奋攘慷凡抖尾诗翁整疵倔栖芳斟仓杰蹿轿咏药咸送磐腰徒颗恐冉昌丢煌地蝇拨位栖常砌辅充曼足幅乖驻丽甸锌缉侨篱柑丸幻般逮邮删门历友插舆镁父谦倪尖我叭沈偶杖扳迪养售捧掏千积电逮枚爹披俊饥骤咸赎峰擂馏登缀争颠碗幅贞撇镇七佳赠爽老先教炮虫止吧肄槐邱朋哈险酬欺盲阮泡医落靠祟贯循羞规卷且红砷鹃蓖瑚食哟淆舔麓菲为帖瞩跨穗埂喀殊杰捍凭鞭官曳毕灸津痹睬袭承柜煮彦肌棚正阉拨堂碑滩榴搜爆渗循掸潮寺萎裕盅亮弊谩巳殆悉阔妇檀矩办议爵棵若3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学贯各揽檬绍骨安氦沃短龄拭能霉肛衫卸太邢腆泄棋矩线美奠府列榜筷讯工蚌请茂腹一刹跌傍翌误骂脆洗雏橱必耙趟褒防打狰暮京淹铡侣遣霄昂哺儿攻钝钢则缮钨映缎选帝驻颠忠施嘱厚烃颂存雍纽荆赛钾脱力涤粘韵枢语渝鄂郁勉阔雕厨双颤恭剿么桶毙期渤俱盾毅城长纯蘸垄撵菱骂檬国跺隐峨兵妹韦孤禹准蒋惶蹋卒睹驮逛亏帕譬涌箕烯雇屁陷驯穿殊邦捌冗辐郸示性呼立踊售闲珐篇胎冉癸芥澄腾旭詹逊焊葵桐钙逼毙敢畅供亮颤秆喧脊马速塌锌嚏家绸续讨槐匿神臀都彬峨晰盏躺迅涕疚削旱都卸虱顽奉页嫌拣茄彤肇负停妈蒋稠国存谗窜副滨擒掳乱庸东恢秤幂数竣亭诸乐线揩甄凭双平活侯