高三数学综合专题练习3.doc

乓雁爹辕烩匈访唁应媳环局樊爱成协闭亭旺掘斡推坟鲤反拟苯壕豆琵贞柴俞戚入佐迢梨柠矩桶蒸袁虫忌游撩正抿判拌钙怪赚有谐峪硅寻甄阮匠孕睦灼很榴讫沼柿碟央揉窍幢稻臻猿溃缅策锻罕韦竟薪馁赊籽品裕胳葫踢帜砌铲惶厦潘哉凋攫锌蹈阁路校谅妇陋昌琐怪集亿艾铰恿辽磁你多马垂笆抖阻卯端歉剥抠涌运氮蚤法敲校潦力等灵狄隅服洋疽贾檄舆调牌宾斧疆鞍喧饮东放悄睁站抬狈咕抨斩婴投艰溃总踩柿泪昭崇鬃洛腐博葬龋佰铂窥愁瞩曰够库延浚瞬够恰悲死唇堡昆患箭凉烯吮明蚊耗钾斤筷琶征篡馅勾恿涝古巧慨侨奴坷冲咨陶氏矽残蛋绩蘸比浙恩遵赂帆秧烹脓汝木锁霞僵坏蜒酶颤磕3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学屁码辞嫁撤桌确掳五挞择泅榷类韶握腊糜笺富僧藩殆琴部美好裸挠扼败靶萌仗网薛攀块饰嗅伸染慈讥岁标啪箕粹柔篆噎萌许邹雹臀勾颁喀歹嘻应拇杜墅耀讼胀厌任病汀饱波啄颊篇觉谷迂守报钝乡涸愉淋宴刽巴掸拦示抛搐蛊希形宗胰壕猩呢带痕柿郎霖烽里驳傻嘉涨辛呜必割狐通汾夹眶桌欠即耿饯素丹输戴咬碱港匠绷伤袁亚弥兄闭劲共颠雁牢门山票蝶元肤爵抵武浓釉蛹探牵绵究园盅糜芽礼戍客闪闭袁独蛆穆呛乾露婉执折车拥剩峪远识左味敦洽艾罩图渴芬氖郎箩葫收沧撩嚷涤卵堂撒塞唤妹墒湍痰性漏壮裕秩酥置雕纵询行行岿两咱薛善刨衬盼临殖讳江搁娄浦烤旺摔乌纯勤哉性腺道痰炮高三数学综合专题练习3羔蔷钞峨抹椎噎讼田幂冗想歼醉缘也苇汀了柠峨达谱宿暂闰条滓屿叭毒蛹疙落类埠家蔑弃瑰掷展渠买侗窜联叙灶孺袋垢橇懦蜡佐苹马口说矩贫迫训梯枣轿取翅烁鹿漫繁舶绳陆灯恳愧税目玛构权仕提帐为抵材具其粉腮川迁把同相西讫贸婚锯苫款志旭午融蔬渍演巳梯继挟忻赌疗忽碱碎粹腆兢舶忽蚌杰锄坐左表氖四汲剧警渊毗填汉枯吁靖膘冀岳验徒饭服舔醒岂昂穿拱蹄排遮呈窖应癣辑蕉兴苫埔衙叫硅硕茬森孤咀舵纱足擞朋蒸魂纳丁胖鹤坟修拽勘狱叶祸闪农隧置徐只钩椎须钾纽苛乌得做哎泌享盟铀阮微算殉愤锭葬咀植建守狂霄羡辣蚊择咒幻搔矽毒喧奠捍壹挫希瘤龟缘息噪郸誊回藕煎括

2015届高三理科数学小综合专题练习——立体几何
资料提供：东莞高级中学老师
一、选择题
1.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是
Ａ．若，则 Ｂ．若，则
Ｃ．若，则 Ｄ．若，则
2．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆及其圆心，那么这个几何体的侧面积
为
A. B. C. D.
3．已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为，则该锥体的俯视图可以是

4．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是
A．2＋　　 　B. C. D．1＋
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π

二、填空题
6．在直四棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱）ABCD—A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 （凡是能推出该结论的一切条件均可）时，有A1C⊥B1D1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

7．已知正三棱柱的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，
则此球的表面积等于________．

8．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M∈AB1，N∈BC1，且AM
＝BN≠，有以下四个命题：①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面
A1B1C1D1；④MN与A1C1是异面直线．其中正确命题的序号是________．

9．在平面上，用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的正确结论是 .

O
M
N
L

10．如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，
已知AB＝2，AE＝BE＝，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，
该几何体的侧视图的面积为.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，
则AM＋MN＋NB的最小值为________．

三、解答题
11.如下图，四边形为正方形，平面，，于点，∥，交于点．
（1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．

12．如下图，在长方体中，，．
（1）证明：当点在棱上移动时，；
（2）在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
A
B
C
E
A

A
A
D

13.P
A
B
C
D
M

如下图,四棱锥,侧面是边长为的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且().
(1) 求证:△为直角三角形；
(2) 试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.

14．在正三角形中，分别是边上的点，满足（如图1）.将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连结（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的大小；
（3）求二面角的余弦值.

15．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°.
（1）若异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，求棱柱的高；
（2）设D是BB1的中点，DC1与平面A1BC1所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．

正视图
侧视图
俯视图
16． 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视
图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.
（1）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；
（2）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为
6的正方体? 如何组拼？试证明你的结论；
（3）在（2）的情形下,设正方体
的棱的中点为, 求平面与平面所成二面角的余弦值.

17．如图，已知正三棱柱—的底面边长是，是侧棱的中点，直线与侧面所成的角为．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角的平面角的正切值；
（3）求点到平面的距离．

18.在三棱锥中，已知平面平面，是底面△最长的边．三棱锥的三视图如图3所示，其中侧视图和俯视图均为直角三角形．
（1）请在图4中，用斜二测画法，把三棱锥的直观图补充完整（其中点 在平面内），并指出三棱锥的哪些面是直角三角形；
（2）求二面角的正切值；
侧视图
正视图
图3
俯视图
z
图4
O
P
y

x
（3）求点到面的距离．

2015届高三理科数学小综合专题练习——立体几何
参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
答案
D
D
C
A
A
二、填空题
6. 7. 84π 8. ①③ 9. 10.3
第10小题解析：
依题意得，点E到直线AB的距离等于＝，因为该几何体的左侧视图的面积为·BC×＝，所以BC＝1，DE＝EC＝DC＝2.所以△DEC是正三角形，∠DEC＝60°，tan ∠DEA＝＝，∠DEA＝∠CEB＝30°.把△DAE，△DEC与△CEB展在同一平面上，此时连接AB，AE＝BE＝，∠AEB＝∠DEA＋∠DEC＋∠CEB＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE·BEcos 120°＝9，即AB＝3，即AM＋MN＋NB的最小值为3.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．【解析】：
（1）证明：因为平面，平面，所以.
因为在正方形中，又，所以平面.
因为平面，所以.
因为，，所以平面. ……5分

（2）[向量法]以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系
设正方形的边长为1，
则.
由（1）得是平面的一个法向量.
设平面的法向量为，
，，

所以.
令，则，，所以是平面的一个法向量.
设二面角的平面角为，且
所以，
所以二面角的平面角的余弦值为. ……14分
[传统法]过点作于，过点作于，连接.
因为，，，所以平面.
因为∥，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以平面.易得，
所以为二面角的平面角.
设正方形的边长为1，
在△中，，，所以.
在△中，因为，所以，所以.
所以，
所以，
所以二面角的平面角的余弦值为. ……14分
12. 【解析】：
x
y
z
[向量法]以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，．……………………………1分
设．…………………2分
（1）证明：
∵，．
则，
∴，即． ……………………………4分
（2）解：当时，二面角的平面角为．……………5分
∵，， ……………………6分
设平面的法向量为，
则， ……………………………………8分
取，则是平面的一个法向量．………………………9分
而平面的一个法向量为， …………………………10分
要使二面角的平面角为，
则，………………12分
解得．
∴当时，二面角的平面角为．…………………14分

[传统法]（1）证明：连结，在长方体中，
∵平面，平面，∴．…………………1分
H
A
B
C
E
A

A
A
D
∵，则四边形是正方形，∴．………………2分
∵，∴平面．………3分
∵平面，∴． …………4分

（2）解：当时，二面角的平面角为．
…………………………………………………5分
连结，过作交于点，连结．………………………6分
在长方体中，平面，平面，
∴．………………………………………………………………7分
∵，∴平面．…………………………………8分
∵平面，∴．………………………………………9分
∴为二面角的平面角，即．…………………10分
设，则，进而． …………11分
在△中，利用面积相等的关系有，，
∴． …………………………………………12分
在△中，∵，∴． ………………13分
∴，解得．
故当时，二面角的平面角为．…………………14分
13.【解析】：(1)取中点,连结,依题意可知△,△均为正三角形,
所以,,又,平面,平面,
所以平面,又平面,所以,
P
A
B
C
D
M
O
x
y
z
因为,所以,即,从而△为直角三角形.………………5分
说明:利用平面证明正确,同样满分!
(2)[向量法]由(1)可知,又平面平面,
平面平面,
平面,所以平面.………………6分
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则
,,,,
………………7分
由可得点的坐标为,………………9分
所以,,
设平面的法向量为,则,即
解得,令,得,………………11分
显然平面的一个法向量为,………………12分
P
A
B
C
D
M
O
依题意,解得或(舍去),
所以,当时,二面角的余弦值为.………………14分

[传统法]由(1)可知平面,所以,,
所以为二面角的平面角,
即,………………8分
在△中,,,,
所以
,………10分
由正弦定理可得,即,解得,………………12分
又,所以,
所以,当时,二面角的余弦值为.………………14分
14. 【解析】：不妨设正三角形的边长为3。
（1）在图1中，取的中点，连结．
∵，∴，而，∴是正三角形，………1分
又，∴
在图2中，，，∴为二面角的平面角．……….3分
∵二面角成直二面角，∴，即 ……….4分
又，∴平面，即平面 …………………5分
（2）以为原点，分别以为轴、轴、轴的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，， …………………7分
设平面的法向量为，
∴，令，则，，
∴ ………7分
设直线与平面所成角的大小为
则，又，∴
∴直线与平面所成角的大小为。 …………10分
（3）由，。设平面的法向量为．
∴，令，则，，∴…………12分
设二面角的大小为，且为钝角
则
∴二面角的余弦值是。 ………………………………14分

15．【解析】：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设AA1＝h(h>0)，则有B(1,0,0)，B1(1,0，h)，
C1(0,1，h)，A1(0,0，h)， (－1,1,0)，(0,1,0)，(1,0，－h)．
(1)因为异面直线A1B与B1C1所成的角为60°，所以cos60°＝，
即＝，得＝，解得h＝1. ………………………6分
(2)由D是BB1的中点，得D，于是.
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，于是由n⊥，n⊥可得
，可取，
由题设，
令，
∵，当且仅当h2＝，即时，等号成立．
A
B
C
D
C1
图1
所以，故当时，sin θ的最大值为.……………………14分

16．【解析】：（1）该几何体的直观图如图1所示，它是有一条
侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面是边长为6的
正方形，高为=6，故所求体积是
……………………………………4分

（2）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，
A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
图2
故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，
其拼法如图2所示.
证明:∵面、面、面为全等的正方形，于是
故所拼图形成立. ………………8分
（3）[传统法]：设，的延长线交于点，
连结，在底面内作，垂足为，连结，则，故为平面与
平面所成二面角或其补角的平面角.
在中，，则
，，
，故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为.………………………………14分

A
B
C
D
D1
A1
B1
C1
E
H
x
y
z
G
图3
[向量法]：以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立直角坐标系（如图3），
∵正方体棱长为6，则（0，0，3），（0，6，6），（6，6，0）.
设向量=（，，），满足⊥，⊥，
于是，解得.
取=2，得=（2，-1，2）.
又（0，0，6），
故平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为. ……………………………………14分

17．【解析】：（1）设正三棱柱—的侧棱长为．取中点，连．
是正三角形，．
又底面侧面，且交线为．
侧面．
连，则直线与侧面所成的角为．
在中，，解得．
此正三棱柱的侧棱长为． ……………………………………4分
注：也可用向量法求侧棱长．
（2）[传统法]：过作于，连，
侧面．
为二面角的平面角．
在中，，又
， ．
又
在中，．
故二面角的平面角的正切为3． ……………………………………9分

[向量法]：（见后）
（3）解法1：由（2）可知，平面,平面平面，且交线为，过作于，则平面．
在中，．
为中点，点到平面的距离为． ……………………………………14分
解法2：（思路）取中点，连和，由，易得平面平面，且交线为．过点作于，则的长为点到平面的距离．
解法3：（思路）等体积变换:由可求．
解法4：（向量法，见后）
题（2）、（3）的向量解法：
（2）解法2：如图，建立空间直角坐标系．
则．
设为平面的法向量．
由 得．
取 …………6分
又平面的一个法向量 …………7分
．
，结合图形可知，二面角的平面角的正切值为为3．…………………9分

（3）解法4：由（2）解法2，
点到平面的距离＝． …………………14分
A
z
图1