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数学思维在高中生物遗传学中的应用举例

数学作为一门工具学科，常渗透到高中各学科教学中，而高中生物学科核心素养之“科学思维”的培养同样离不开数学的支撑，尤其在高中生物遗传学概率计算等问题中的应用甚是广泛，因此，教师应在教学过程中对学生利用数学思维解决生物学问题的意识上起引领和示范作用。
1、牛顿二项式定理在生物学中的应用举例
牛顿二项式定理公式如下所示： = + + +...+ + 。
很明显，上述定理中的通项式为 。下面介绍利用上述通式解决遗传学相关计算问题。
例1:低能这种性状为隐性基因控制，正常杂合的双亲若有4个孩子，其情形如下，
（1）4个孩子均不正常的概率为多少？（2）4个孩子均正常的概率为多少？（3）3个正常1个低能？
解:假定双亲的基因型为Aa，则各型子女出现的概率是：
= =
3/4正常 1/4低能
于是各种情形之概率与（3/4正常+1/4低能）的4次方的各项展开式对应:
（1）全不正常: = = （2）全部正常: = =
（3）3个正常1个低能: =4 =
例2:基因型为AaBbDdEeGgHhKk的个体自交，假定这7对等位基因自由组合，则后代出现:（1）1对等位基因杂合，6对等位基因纯合的概率为多少？（2）5对等位基因杂合，2对等位基因纯合的概率为多少?
解：含一对等位基因Aa的杂合个体，自交后代基因型为AA、Aa、aa，其中纯合体比例为1/2，杂合子比例也为1/2。
同理： 1对等位基因杂合，6对等位基因纯合的概率为: = ；5对等位基因杂合，2对等位基因纯合的概率为: =
2. 放大缩小原理在遗传学比例计算中的应用
在解答遗传学问题时，我们常要对配子比、基因型比、表现型比进行分配。如Aa个体自交后代的基因型、表现型比例可以写成如下格式：
写法1： →基因型： 表现型：
写法2： →基因型： 表现型：
上述第二种写法，其实就是写法1基础上放大4倍的效果。这两种写法孰优孰劣，是因题而异的，如果能在计算过程中恰当地选择其中一种，可在一定程度上提升解题的速度。
例4：在一个生物种群中 ，若所有个体进行随机交配，其后代基因型比和表现型比分别为多少？
第一种：分数形式
配子比例： 合计后为
由于雌雄配子比例一致，因此，可利用棋盘法，如下表所示：
雄配子
雌配子

第二种：整数形式
配子比例： 合计为：
计算结果如下：
雄配子
雌配子

基因型比： ；表现型比：
两种方法得到的结果一样，但在直观和简洁性上，整数形式要优于分数形式，而计算某种基因型概率时，分数形式则会显得更直接。
变式：若加深题目难度，如 雌配子有 致死，这时统一成整数形式就优于分数形式。
原雌配子比例： ： ， 雌配子有 致死,则雌配子比例变为： ： = ：
雄配子
雌配子

由上表可知，基因型比为： ；表现型比为：显性：隐性=125:8
若仍采用分数形式表达，过程将变得非常繁琐，因此，遇此类情况，最好用整数形式，并且在计算基因型概率时更简洁，如上述棋盘中 个体所占的比例的计算，总的后代个体数= ，而 为 ，因此，后代中 个体的概率为 。
例5： （两对基因独立遗传）个体自交得到的 中的所有双显个体，再分别自交，则它们的 中各表现型比例为多少？
解：本题若采用常规算法，可得出正确答案，但解题速度上慢，如果我们采用如下方法，可快速得答案。

双显个体中有：
第一步：不考虑前面系数直接写出后代表现型比。
双显 一显一隐 一隐一显 双隐

第二步：将后边后代个体总数统一成比例 。
未进行放大前，上述几种基因型自交后代个体总数比例为 ，很明显要将该比例变换成 ，只需要将前三种基因型的个体的后代总数进行放大，即分别放大 倍，放大 倍，放大 倍，然后，得到如下结果。
双显 一显一隐 一隐一显 双隐

第三步：将各种表现型个体比例对应累加。最终得到表现型比为：双显：一显一隐：一隐一显：双隐=
2. 加法原理和乘法原理在遗传概率计算中的运用
加法原理:当一个事件出现时，另一个事件就被排除，这样的两个事件即为互斥事件，这种互斥事件发生的概率为两个事件发生的概率之和。乘法原理：当两个互不影响的独立事件，同时发生，或相继发生时，其概率为两个事件各自独自发生的概率的乘积。在计算两种遗传病的患病概率问题时，就是两种原理的应用。单独考虑一种病时，若甲病患病概率为 ，则不患甲病的概率为 ；若乙病患病概率为 ，则不患乙病的概率为 。
项目
概率
完全正常

患甲病而不患乙病

患乙病而不患甲病

只患一种病
或 +
两病皆患

在进行各类遗传概率计算时，特别是关于自由组合一类的计算题目，其实就是在交替运用两种原理。
4、数学极限思想的应用

杂合子
纯合子
显性纯合子
隐性纯合子
所占比例

完全显性的一对相对性状的杂合子（ ）连续自交，子n代的各种情况及比例

利用数学中极限思想，如果 ，则 杂合子所占比例无限接近于 ，纯合子则无限接近于 ，而显性纯合子和隐性纯合子则无限接近于 ，下图曲线则是对以上情况的直观表达。这种利用数学中的极限思想来帮助学生理解生物学相关知识的方法，将有助于启发学生运用数学思维学习自然学科的兴趣和意识。

5、集合思想在概念学习中的运用

（注：a代表细胞核；b代表染色体；c代表DNA；d代表核基因）
上图采用子集模型图，清晰地反映了几个概念包含与被包含之间的关系，有助于学生理解知识的内涵与外延，以此达到建构知识体系的目的。

上图用交集图示，很直观的表述了DNA与RNA在化学组成上的区别，有助于学生对相关概念的辨析。
教学时，教师若常能以数学思维引领学生理解内化纷繁复杂的生物学核心概念，这也将改变以往学生普遍认为生物是理科中文科的认知。因此，我们在挖掘生物与数学之间的交叉问题上，可时常多做一些思考和探索。
参考文献：
［1］刘国瑞，遗传学三百题解（M）北京师范大学出版社,1988:4。

姓名：黄清亮 工作单位：眉山冠城七中实验学校 联系地址：四川眉山市东坡区景观花都 联系电话：[phone] 邮箱：664778167@
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