湖南省郴州市长村中学2021年高三数学文期末试卷含解析.docx

湖南省郴州市长村中学2021年高三数学文期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某中学生为了能观看2008年奥运会，从2001年起，每年2月1日到银行将自己积攒的零用钱存入元定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2008年将所有的存款及利息全部取回，则可取回钱的总数（元）为                    （    ）
   A．    B．   C．   D． 
参考答案：
答案：D
2. 已知，点为斜边的中点，，则等于 （    ）
A． -14        B．-9       C.   9      D．14
参考答案：
C
3. 下列语句中是算法的个数为                                        （    ）
    ①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；
    ②统筹法中“烧水泡茶”的故事；
    ③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；
    ④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该三角形的面积。
    A．1                B．2                C．3               D．4
参考答案：
C
4. 已知命题：函数在R上为增函数，：函数在R上为
减函数，则在命题：，：；：；：；
其中为真命题的是：（   ）
     A．和     B. 和   C、 和  D、和
参考答案：
C
5. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（   ）

A．             B．            C．              D．
参考答案：
C
试题分析：由正视图得：该锥体的高是，因为该锥体的体积为，所以该锥体的底面面积是．A项的正方形的面积是，B项的圆的面积是，C项的三角形的面积是，D项的三角形的面积是，故选C．
考点：1、三视图；2、锥体的体积．
6. 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为 （     ）                                              
A．10             B．20             C．30            D．40
参考答案：
B
7. 已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右支上的一点P（x0，y0）到左焦点与到右焦点的距离之差为8，且到两渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
参考答案：
A
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义知a，根据双曲线方程可得它的渐近线方程为bx±ay=0，利用点到直线的距离，结合已知条件列式，可得b，再用平方关系可算出c=，最后利用双曲线离心率的公式，可以计算出该双曲线的离心率．
【解答】解：根据双曲线的定义知，2a=8，∴a=4，
双曲线两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，
点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为×=，
即=，
又已知双曲线右支上的一点P（x0，y0），∴，
∴=，即，
∴b=2，∴c==2，
则双曲线的离心率为e==．
故选：A．
【点评】本题给出双曲线一个焦点到渐近线的距离与到左焦点的距离与到右焦点的距离之差，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
8. 设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（　　）
A．?x∈Q，有x∈P B．?x?Q，有x?P
C．?x0?Q，使得x0∈P D．?x0∈P，使得x0?P
参考答案：
B
【考点】2I：特称命题．
【分析】根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn图判断元素与集合的关系即可．
【解答】解：∵P∩Q=P，∴P?Q
∴A错误；B正确；C错误；D错误．

故选B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查子集的关系．
9. 给出30个数：1,2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（  ）
A. B. .    D.

参考答案：
D
略
10. 若，则目标函数的取值范围是（   ）
A．          B．       
C．        D．
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2－x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[4，5]上是_________（填增.减）函数．
参考答案：

略
12. 在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是　　．
参考答案：

因为D在BC上，所以设，则。所以，因为，所以，即的取值范围数。
13. 曲线y=2x﹣lnx在点（1，2）处的切线方程是　　．
参考答案：
x﹣y+1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出曲线的导函数，把x=1代入即可得到切线的斜率，然后根据（1，2）和斜率写出切线的方程即可．
【解答】解：由函数y=2x﹣lnx知y′=2﹣，把x=1代入y′得到切线的斜率k=2﹣=1
则切线方程为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣y+1=0．
故答案为：x﹣y+1=0
14. 如果函数y=f（x）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:
①函数y=f（x）在区间（－3,－）内单调递增;
②函数y=f（x）在区间（－,3）内单调递减;
③函数y=f（x）在区间（4,5）内单调递增;
④当x=2时,函数y=f（x）有极小值;
⑤当x=－时,函数y=f（x）有极大值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    
则上述判断中正确的是____________
参考答案：
 ③
15. 三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为______.
参考答案：

取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。
16. 为了了解某校高三男生的身体状况，抽查了部分男生的体重，将所得数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图）．已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则被抽查的男生的人数是　    　　．

参考答案：
48
设被抽查的男生的人数为．∵后两组的频率之和为，∴前三组的频率之和为．
又∵前三组的频数分别为，∴，得．
17. 若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k=　　．
参考答案：
﹣2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．
目标函数为2x+y=﹣6，
由，解得，
即A（﹣2，﹣2），
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2．

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】复合命题的真假．
【专题】简易逻辑．
【分析】对于p，先求出|x1﹣x2|∈[2，4]，再根据不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，得到|m+1|≥4，解得m的范围，
对于q，函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，则f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，根据判别式求出a的范围，
由于p且￢q为真命题，得到p真，q假，问题得解．
【解答】解：若命题p为真命题，
∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根
∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，
∴|x1﹣x2|==，
∵a∈[﹣2，2]，
∴|x1﹣x2|∈[2，4]，
∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立，
则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈[﹣2，2]成立即可
∴|m+1|≥4
∴m+1≥4或m+1≤﹣4，
∴m≥3，或m≤﹣5，
若命题q为真命题，
∵f（x）=x3+mx2+（m+）x+3，
∴f′（x）=3x2+2mx+（m+），
∵函数f（x）=x3+mx2+（m+）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，
∴f′（x）=3x2+2mx+（m+）=0有实根，
∴△=4m2﹣12m﹣40≥0，
解得m≤﹣2，或m≥5，
∵p且￢q为真命题，
∴p真，q假，
∴，
解得3≤m＜5，
实数m的取值范围为[3，5）
【点评】本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围，属于中档题．
19. 开口向下的抛物线在第一象限内与直
线相切．此抛物线与轴所围成的图形的面积记为．
（1）求与的关系式，并用表示的表达式；
（2）求使达到最大值的、值，并求
参考答案：
解：（1）依题设可知抛物线开口向下，且，
直线x＋y=4与抛物线y=ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点，
由方程组得ax2＋(b＋1)x－4=0，………4
其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a=0．………………5
把代入得：….6
（2）；…….7
令S(b)=0；在b＞0时得b=3，
且当0＜b＜3时，S(b)＞0；当b＞3时，S(b)＜0．,…9,,
故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，………10
即a=－1，b=3时，S取得最大值，且。……….16
20. （本小题满分13分）
设为公比不为1的等比数列，=16，其前n项和为，且5、2、成等差数列．
（l）求数列的通项公式；
（2）设，为数列的前n项和.是否存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式>恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
(1)解：∵5S1、2S2、S3成等差数列
∴，即 2分
∴
∵，∴q = 2 4分
又∵，即，
∴． 5分
(2)解：假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式都成立
则 7分
又 9分
所以 10分
显然Tn关于正整数n是单调递增的，所以
∴，解得k≥2． 12分
所以存在正整数k，使得对于任意n∈N*不等式都成立
且正整数k的最小值为． 13分
21. 已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点P（2，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：∠PFM＝∠PFB．
参考答案：
（1）（2）证明过程详见解析
【分析】
（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程，代入整理得
， 与椭圆有两个交点，.
设，，直线，的斜率分别为，，利用韦达定理证明
即可.
【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，
圆与直线相切，.，
由解得，
椭圆的方程为.
（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得
，
与椭圆有两个交点，，即.
设，，直线，的斜率分别为，
则，.

，
即.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力．
22. 已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；
（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．
解答： 解：（I） ，，a=4．…
（Ⅱ）令．…
令g'（x）＞0，即，解得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）=0，所以．…
（Ⅲ） 由题意可知，化简得，a＞．…
令h（x）=，则h′（x）=，
∴．…
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）＜h（e）=e﹣1．…，
∴a≥e﹣1．…
点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力．