湖南省郴州市碧塘中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析.docx

湖南省郴州市碧塘中学2020年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若全集，则集合的真子集共有（    ）
A  1个   B  2个   C  3个   D  4个
参考答案：
C
2. 已知函数f（x）＝为增函数，则实数a的取值范围为
  A.［1，＋）　B.（1，＋）　C.（一，1）　D．（一，1］
参考答案：
A
3. 已知为锐角，且，则等于 
A.            B.        
C.       D.
参考答案：
D
4. 若样本数据，，，的标准差为4，则数据，，，的方差为（      ）
A. 11       B．12          C．36         D．144
参考答案：
D
5. 下列给出的同组函数中，表示同一函数的是（    ）

   A．(1)、 (2)       B．(2)          C． (1)、(3)        D．(3)
参考答案：
B
6. 已知m,n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（   ）
A.若m,n，则mn              B.若
C.若                 D.若
参考答案：
D
略
7. 若点是圆外任意一点，当点P在圆外运动时，直线与圆的位置关系是（    ）
A. 相交 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相离
参考答案：
A
【分析】
由点是圆外，得到，再利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判断直线与圆的位置关系.
【详解】因为点是圆外，故，
圆心到直线的距离：
因此直线和圆相交.
故选：A
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系综合，考查了学生转化划归、数形结合、数学运算的能力，属于中档题.
8. 下列函数中，满足“对任意，（0，），当<时，>      
   的是                                                  (       )
（A）= （B）=   （C）=    （D）
参考答案：
A
略
9. 设是轴上的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为，则直线的方程是（    ）
A．  B．  C．  D．
参考答案：
A
10. 在中,，则一定是(     )
A．锐角三角形    B．钝角三角形   C．等腰三角形   D．等边三角形
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是      （写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜时，S为四边形；
②当CQ=时，S为等腰梯形；
③当＜CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；
⑤当CQ=1时，S的面积为．

参考答案：
①②④⑤
考点： 平面与平面之间的位置关系．
专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： 由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面可判断选项的正误．
解答： 如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1=，
故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；
由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；
当CQ=时，如图，
延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故④正确；
由上可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；
⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1?PF=，故正确．
故答案为：①②④⑤

点评： 本题考查命题真假的判断与应用，涉及正方体的截面问题，属中档题．
12. 某单位计划建造如图所示的三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则每个矩形的长宽之比为________时，围出的饲养场的总面积最大．
参考答案：
3:2
13. 已知数列{an}，满足a1=2，an=3an﹣1+4（n≥2），则an=　   　．
参考答案：
4×3n﹣1﹣2
【考点】数列递推式．
【分析】an=3an﹣1+4（n≥2），变形为：an+2=3（an﹣1+2），利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：an=3an﹣1+4（n≥2），变形为：an+2=3（an﹣1+2），
∴数列{an+2}是等比数列，首项为4，公比为3．
∴an+2=4×3n﹣1，可得：an=4×3n﹣1﹣2，（n=1时也成立）．
故答案为：4×3n﹣1﹣2．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14. 如图，在边长为1的正六边形中，，
，，则           .

参考答案：
-1
15. 已知，．则=______       __ .
参考答案：

略
16. （3分）近几年，每年11月初，黄浦江上漂浮在大片的水葫芦，严重影响了黄浦江的水利、水质、航运和市容景观．为了解决这个环境问题，科研人员进行科研攻关．如图是科研人员在实验室池塘中观察水葫芦的面积与时间的函数关系图象．假设其函数关系为指数函数，并给出下列说法：
①此指数函数的底数为2；
②在第5个月时，水葫芦的面积会超过30m2；
③水葫芦从4m2蔓延到12m2只需1.5个月；
④设水葫芦蔓延至2m2、3m2、6m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1+t2=t3；
其中正确的说法有       ．（请把正确的说法的序号都填在横线上）．

参考答案：
①②④
考点： 函数的图象．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据其关系为指数函数，图象过（4，16）点，得到指数函数的底数为2，当t=5时，s=32＞30，利用指对互化做出三个时间的值，结果相等，根据图形的变化趋势得出命题③错误．
解答： ∵其关系为指数函数，
图象过（4，16）点，
∴指数函数的底数为2，故①正确，
当t=5时，s=32＞30，故②正确
4对应的t=2，经过1.5月后面积是23.5＜12，故③不正确；
∵t1=1，t2，=log23，t3=log26，
∴有t1+t2=t3，故④正确，
综上可知①②④正确．
故答案为：①②④．
点评： 本题考查指数函数的变化趋势，解题的关键是题目中有所给的点，根据所给的点做出函数的解析式，从解析式上看出函数的性质．
17. 已知，，映射满足．则这样的映射有
____________个．
参考答案：
35
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知集合A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}．
（1）若a=﹣2，求A∩?RB；
（2）若A?B，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）由已知中全集U=R，集合A={x|x≤1}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，求出CRB，代入A∩（CRB）中，由集合交集的定义，即可得到答案．
（2）由A?B得到集合A是集合B的子集，即集合A包含在集合B中，建立关于a的不等关系式即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣2时，集合A={x|x≤1}  CRB={x|﹣1≤x≤5}
∴A∩CRB={x|﹣1≤x≤1}
（2）∵A={x|x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}
由于A?B
∴a+3＜﹣1
∴a＜﹣4
【点评】本题考查的知识点是集合的交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是一道综合题．
19. 在中，，，分别为内角，，所对的边，为的面积，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，为的中点，且，求的值.
参考答案：
（1）由已知得∴，
∴，∴，∵∴.
（2）由，由余弦定理得：
，∵中点中点，
∴，∴，即，
∵∴，
∵∴，.∴.
20. 在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．
（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；
（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．

参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．
【分析】（1）取AB的中点D，连结SD，MD，说明三角形SDM是等边三角形，推出异面直线SM与AC成60°角．
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，说明SA与平面ABC所成的角α=∠SAM，通过求解三角形即可，二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA，通过三角形求解即可．
【解答】解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD，
显然
所以三角形SDM是等边三角形…
所以异面直线SM与AC成60°角…
（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，

因为SM⊥BC，AM⊥BC
所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO
所以SO⊥平面ABC
则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM…
因为SA⊥SB，SA⊥SC
所以SA⊥平面SBC，所以SA⊥SM，
…
因为SM⊥BC，AM⊥BC
则二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA…，
…

21. 已知函数f（x）=
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明f（x）是R上的增函数．
参考答案：
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）可知定义域为R，进而可得f（﹣x）=﹣f（x），可判奇函数；
（2）用单调性的定义法，设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，化简可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由单调性的定义可得结论．
【解答】解：（1）由题意可知定义域为x∈R，
而f（﹣x）=，
∴（x）是奇函数；
（2）设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=
==，
∵a＞1，∴，且
∴＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）是R上的增函数．
【点评】本题考查函数奇偶性，和单调性的判断与证明，属基础题．
22. 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？

参考答案：
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．
【解答】解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，
∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，
在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，
由正弦定理得：，
∴BC===．
在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB
=3+（）2﹣2??=5，
∴AB=．
故施工单位应该准备电线长为=5km．