华东师范大学《626数学分析》历年考研真题汇编（含部分答案）.pdf

目录1997年华东师范大学数学分析考研真题1998年华东师范大学数学分析考研真题1999年华东师范大学数学分析考研真题2000年华东师范大学数学分析考研真题2001年华东师范大学数学分析考研真题2002年华东师范大学数学分析考研真题2003年华东师范大学数学分析考研真题及详解2004年华东师范大学数学分析考研真题及详解2005年华东师范大学数学分析考研真题2006年华东师范大学326数学分析考研真题2007年华东师范大学626数学分析考研真题2008年华东师范大学626数学分析考研真题及详解2009年华东师范大学626数学分析考研真题2010年华东师范大学626数学分析考研真题2011年华东师范大学626数学分析考研真题2012年华东师范大学626数学分析考研真题2012年华东师范大学626数学分析（手写版参考答案）2013年华东师范大学626数学分析考研真题2013年华东师范大学626数学分析（手写版参考答案）2014年华东师范大学626数学分析考研真题1997年华东师范大学数学分析考研真题1998年华东师范大学数学分析考研真题1999年华东师范大学数学分析考研真题2000年华东师范大学数学分析考研真题2001年华东师范大学数学分析考研真题2002年华东师范大学数学分析考研真题2003年华东师范大学数学分析考研真题及详解2004年华东师范大学数学分析考研真题及详解参考答案一、（30分）计算题。1求解：2若求解：3求.解：4求幂级数的和函数解：时5为过和的曲线求解：6求曲面积分其中，取上侧.解：应用Gauss公式，并应用极坐标变换得：二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例）1若是互不相等的非无穷大数列，则至少存在一个聚点【答案】正确。【解析】在数轴上对应的点集必为有界无限点集，故由聚点定理，点集至少存在一个聚点2若在上连续有界，则在上一致连续.【答案】正确。【解析】在上连续有界，故与都有存在，不妨设为A，B设则在上连续，从而一致连续，故在上一致连续。3若，在上可积，则.【答案】正确【解析】，在上可积，故对且在上也可积，对故两边对分别取极限由夹逼性知.4若收敛，则收敛.【答案】错误【解析】反例 收敛，但发散.5若在上定义的函数存在偏导数，且，在（0，0）上连续，则在（0，0）上可微.【答案】正确【解析】有，在（0，0）上连续，所以当时，根据定义，可知在（0，0）上可微.6在上连续，若，则，【答案】错误【解析】将划分为两部分，其中取由积分区间可加性知三、（15分）函数在上连续，且 求证：在上有最大值或最小值。证：1）若，显然在同时有最大、最小值.2）否则当或时定义存在，使得或，或不妨设，（1）由在上连续，所以在上连续，由最值定理知存在，使得最大（或最小）.由（1）知因此当 时，在上有最大值或最小值。四、（15分）求证不等式：证：令则，对，有因此在上单调递减且连续，又故由介值定理知存在，使得那么在上单调递增，在上单调递减因此可在端点处取得最小值，又所以在上即，五、设，在上连续，且在上一致收敛于.若，.求证：使，证：由函数列的每一项在连续且一致收敛于，可知在上也连续，因此有界不妨设因为对任意，有所以在上一致收敛于，即对，对，有当取 时，有（1）对上述 则（1）式成立，且六、（15分）设满足（1）（2）级数收敛.求证：.证：级数收敛，由级数收敛的柯西准则：对任何，有（1）由于，；那么（2）而当p充分大时，成立，故因此有七、（15分）若函数在上一致连续，求证：在上有界。证：1）对，当充分大时，对，且满足时有（1）由极限存在的柯西准则知存在，不妨设为对（1）式中取极限，有则存在，当时（2）2）因为在上一致连续，则在上连续，所以在上有界.即存在，有那么对有（3）3）存在（2），（3）同时成立.即对 有八、（15分）设在有连续偏导数，而且对以任意点为中心，以任意正数为半径的上半球面：恒有求证：，2005年华东师范大学数学分析考研真题2006年华东师范大学326数学分析考研真题2007年华东师范大学626数学分析考研真题2008年华东师范大学626数学分析考研真题及详解2009年华东师范大学626数学分析考研真题一、判断下列各题是否正确。若正确给出证明，若错误举出反例（每题9分，共54分）（1）设，此处a，A，B均为实数。则。（2）设为闭区间上不恒为零的连续函数，为狄利克雷函数，则在上不可积。（3）存在实数使得（4）已知在处连续，且。证明在处可导。（5）如果在处可导，则在的一个邻域内连续。（6）若多项式函数列在上一致收敛于函数，则必是多项式函数。二、计算下列各题（每题12分，共36分）（1）设，求极限。（2）设圆盘上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此原盘的质量。（3）设 为中封闭光滑曲面，为任何固定方向，为曲线 的外法线方向。求三、证明下列各题（每题10分，共60分）（1）设是曲面S：外的一点，。若，求证直线是 在点处的法线。（2）证明在原点处函数连续、沿任何方向的方向导数存在、但不可微，此处（3）设ad均为实数。已知在上单调，其值域为。证明在上一致连续。（4）设数列满足条件：，且证明：数列无界。（5）设在上连续且有界。证明对任意正数T存在使得（6）设函数在闭区间上可积证明若对任意有，则存在使得对任意均有。2010年华东师范大学626数学分析考研真题2011年华东师范大学626数学分析考研真题2012年华东师范大学626数学分析考研真题2012年华东师范大学626数学分析（手写版参考答案）说明：2012和2013年手写版答案由武汉大学2017级研究生蒋同学整理（本硕均为武汉大学），限于时间和水平，答案难免存有不足之处，敬请广大读者批评指正！2013年华东师范大学626数学分析考研真题一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题6分，共36分）1如果对于任何，且，则级数收敛。2如果函数在点连续，且，则3如果对于任何，在上连续，级数在上收敛，且和函数在上连续，则在上一致收敛。4如果函数在有限区间上连续且有界，则在上一致连续。5如果函数在点处的两个二阶偏导数与都存在，则6如果在上可导，且，则。二、求解下列各题（每小题9分，共36分）1求和2计算积分，其中 为曲面与平面的交线在第一卦限中的部分。3计算积分4求极限三、证明下列各题（每小题13分，共78分）1证明：对于任何自然数，有2设在上不变号，收敛，且在上连续、有界。证明：存在，使得3设在上可微，且。证明：在上一致连续。4设函数在上连续，和 为常数。证明：5设函数和在区域上连续，且存在中的点列使得证明：存在，使得6设函数在上连续可微，且对于任何有证明：是线性函数，即存在常数 和 使得2013年华东师范大学626数学分析（手写版参考答案）说明：2012和2013年手写版答案由武汉大学2017级研究生蒋同学整理（本硕均为武汉大学），限于时间和水平，答案难免存有不足之处，敬请广大读者批评指正！2014年华东师范大学626数学分析考研真题一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题6分，共36分）1如果对于任何有则数列收敛。2如果偏导数和都存在，则在点连续。3如果级数在区间上一致收敛，则对于任何，级数是绝对收敛的。4如果函数在上存在原函数，则在上可积。5如果函数在有限开区间上连续，在上一致连续，则在上一致连续。6如果收敛，且在上有界，则二、求解下列各题（每小题9分，共36分）1求极限2设函数在上连续可导计算积分其中为锥面与球面及所围成的表面外侧。3将函数展开成 的幂级数，并求的和。4设函数在上具有连续二阶偏导数，且满足求积分三、证明下列各题（每小题13分，共78分）1设函数在上二阶可导，且，。证明：对于任何自然数n，有2设有数列：证明数列收敛。3设函数定义在上，且当时，有证明：存在且其极限值小于。4设函数在上一致连续，且对任意的，数列收敛于0。证明：。5设有级数，如果对于任何收敛于0的数列，级数都收敛。证明：级数绝对收敛。6设是定义在上的函数列，且存在常数满足：证明：（1）若在上收敛于，则在上一致收敛于。（2）若对于任何，数列都有界，则存在在上一致收敛的子列。