2017北京市石景山区初三第一学期期末数学试题含答案.doc

石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末试卷
数 学
考
生
须
知
1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本题共16分，每小题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．如果()，那么下列比例式中正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2．在Rt△ABC中，，，，则tanA的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若，则的度数为
（A）
（B）
（C）
（D）
4．如图，在⊙O中，弦垂直平分半径．若⊙O的半径为4，则弦的长为
（A）
（B）
（C）
（D）
第3题 第4题

5．如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次
函数的图象可能是

（A） （B） （C） （D）
6．若二次函数的图象与坐标轴有3个交点，则的取值范围是
（A）
（B）
（C） 且
（D） 且
7．如图，将函数的图象沿轴向上平移得
到新函数图象，其中原函数图象上的两点、
平移后对应新函数图象上的点分别为点、．
若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为
（A）
第7题
（B）
（C）
（D）
8．如图，点M为□ABCD的边AB上一动点，过点M
作直线l垂直于AB，且直线l与□ABCD的另一边
交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的
运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反
映S与t函数关第8题
系的图象是

二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．如果两个相似三角形的周长比为，那么这两个相似三角形的面积比为______．
10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，
AD=2，则EC=________．
11．如图，扇形的圆心角，半径为3cm．若点C、D是 的三等分点，则
图中所有阴影部分的面积之和是________cm2．

第11题
第10题

第12题
12． “平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到，那么立柱AC的长为_______米．
13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和点B．当时，的取值范围是_______．
14．如图，在Rt△ABC中，，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=________．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、
旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程： ．

第13题 第14题 第15题
16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备
绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三
个三角形，栽种三种不同的花草．

下面是小美的设计（如图2）．
作法：（1）作射线BM；
（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；
（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，
交BC于点C1、C2；
（4）连接AC1、AC2．
则．

请回答，成立的理由是：
① ；
② ．
三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．计算：．
18．用配方法求二次函数的顶点坐标．
19．在Rt△ABC中，，、、的对边分别为、、．若，
sin，求和．
20．小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗
匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两
人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．
（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由．

21．如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：，）

22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是 ．
23．如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于
点F．
（1）求证：△ADF∽△DCE；
（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．

24．二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当时，求y的取值范围．
25．如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）求证：∠ABC=∠AED；
（2）连接BF，若AD，AF=6，tan，求BF的长．

26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点和.
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线
的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．
27．在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．
（1）当点P在线段AC上时，如图1．
①依题意补全图1；
②若EQ=BP，则∠PBE的度数为 ，并证明；
（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，
请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）

28．在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，且，，若为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．

（1）已知点A的坐标为，点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；
（2）若点C的坐标为，点D在直线上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；
（3）⊙O的半径为，点N在双曲线上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标的取值范围．

石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，
只要考生将主要过程正确写出即可．
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分．
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
C
D
B
C

二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9． 10．1 11． 12．2.5 13． 14．
15．先以点C为中心顺时针旋转90º，再以y轴为对称轴翻折（答案不唯一）
16．①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
②等底同高的三角形面积相等

三、（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．（本小题满分5分）
解：原式=………………………………4分
=
=．………………………………………………………………5分

18．（本小题满分5分）
解：

………………………………………………… 4分
∴顶点坐标是．.…………………………………………… 5分
19．（本小题满分5分）
解：在Rt△中，，
∴sin， …………………………………………… 1分
∴， …………………………………………… 3分
∴． .……………………………… 5分

20. （本小题满分5分）
解：（1）树状图：
小丁
小红
6
8
10
3
6
8
10
3
6
8
10
3
10
8
6
3
…………………………………… 2分
列表：
小红
小丁
3
6
8
10
3

6，3
8，3
10，3
6
3，6

8，6
10，6
8
3，8
6，8

10，8
10
3，10
6，10
8，10

………………………………………… 3分
（2） 因为P（小红获胜）=， P（小丁获胜）= …………………… 4分
P（小红获胜）=P（小丁获胜）
所以这个游戏公平． ……………………………………………5分

21．（本小题满分5分）
解：过点A作AD⊥MN于D，设山AD的高度为x米，………………………1分
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=90°，∠ABN=30°，
∴BD=x，…………… 2分
在Rt△ACD中，
∵∠ADC=90°，∠ACN=45°，
∴CD=AD=x，
∵BC=BD-CD，
∴，
解得：x=136.5．…………………………………………… 5分
即山的高度为136.5米；
答：这座山的高度约为136.5米．

22．（本小题满分5分）
解：（1）一次函数的图象与x轴交于点A(2，0)，
∴．
可得，．
∴． …………………………………………………………1分
当时，，
∴点B（3，1）．
代入中，可得，
∴反比例函数的表达式为． ……………………………………3分
（2）点P的坐标是(6，0)或（-2，0）． ……….……………………………5分

23．（本小题满分5分）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DAF =∠CDE， ……………………………………………… 1分
∵ DF⊥BA，CE⊥AD，
∴∠F=∠CED=90°，……………………………………………… 2分
∴△ADF∽△DCE； ………………………………………………3分
（2）解：∵△ADF∽△DCE，
∴
∴，
∴DC=9．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC
∴AB=9．…………………………………………………………5分
24．（本小题满分5分）
解：（1）∵二次函数的图象经过点(1,-2).
∴
解得 .………………………………………………………1分
∴二次函数的表达式
∴二次函数的对称轴为：直线．………………………2分
（2）二次函数的表达式.
当时，， …………………………………………3分
当时，，
当时，，
∴时，的取值范围是. …………………5分

25．（本小题满分6分）
（1）证明：连接CD
∵AC是⊙O的直径
∴∠ADC=90°………………………………………………………1分
∴∠DAC+∠ACD =90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ACB=90°
∴∠DAC+∠AB C=90°
∴∠ABC=∠ACD…………………………………………………2分
∵∠AED=∠ACD
∴∠ABC=∠AED…………………………………………………3分

（2）解：连接BF
∵∠AED=∠ACD=
∴tan∠ACD = tan∠AED ==
∴tan∠ACD =
即
∴CD=………………………………………………………………4分
∴AC=8
∵AF=6，
∴FC=2
∵=，即
∴BC=6………………………………………………………..…….5分
∴BF=……………………………………………………… 6分

26．（本小题满分7分）
解：（1）∵抛物线过点和.
∴
解得：
∴抛物线的表达式为：…………………………3分
（2）∵抛物线
∴抛物线的顶点，对称轴为直线
令得：，
解得：
∴ 点C的坐标为
∵直线BC经过点和C
∴
∴直线与直线BC的交点为、与x轴的交点
如图所示
∴2<t<3 ……………………………………………………………7分

27．（本小题满分7分）
（1）解：①正确作图 ………………………1分
②45° ………………………2分
连接PD，PE
易证△CPD≌△CPB
∴DP=BP，∠CDP=∠CBP
∵P、Q关于直线CD对称
∴EQ=EP
∵EQ=BP
∴DP=EP
∴∠CDP=∠DEP ………………………………………………3分
∵∠CEP+∠DEP=180°
∴∠CEP+∠CBP=180°
∵∠BCD=90°
∴∠BPE=90°
∵BP=EP
∴∠PBE=45°． …………………………………………………………4分
（2）解：连接PD，PE
易证△CPD≌△CPB
∴DP=BP，∠1=∠2
∵P、Q关于直线CD对称，
∴EQ=EP，∠3=∠4
∵EQ=BP，
∴DP=EP
∴∠3=∠1，
∴∠3=∠2
∴∠5=∠BCE=90°
∵BP=EP，
∴∠PEB=45°
∴∠3=∠4=22.5°，
在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长． ……………7分

28. （本小题满分8分）
解：（1）120º； …………………………………………………………………2分
（2）∵C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与轴平行，
∴直线CD与轴成60°角，与轴成30°角，通过解直角三角形可得的坐标为或，进一步得直线CD的表达式为或. …………………………………………5分
（3）或. ……………………8分